正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)(方差分析)

1、 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是利用正交表確定試驗(yàn)方正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是利用正交表確定試驗(yàn)方案案.下面通過一個實(shí)例來回顧如何利用正交表制定試驗(yàn)方下面通過一個實(shí)例來回顧如何利用正交表制定試驗(yàn)方案的步驟案的步驟.例例1 某棉紡廠為了研究并條機(jī)的工藝參數(shù)對條子條干某棉紡廠為了研究并條機(jī)的工藝參數(shù)對條子條干不勻率的影響，選擇了羅拉加壓、后區(qū)牽伸、后區(qū)隔距不勻率的影響，選擇了羅拉加壓、后區(qū)牽伸、后區(qū)隔距三個因素進(jìn)行試驗(yàn)，因素及水平如下表：三個因素進(jìn)行試驗(yàn)，因素及水平如下表： 因因子子水水平平 10 101.501.501313141413133 3 8 81.671.671111121210102 2

2、6 6 （原工藝）（原工藝）1.80 1.80 （原工藝）（原工藝）1010111110 10 （原工藝）（原工藝）1 1C C后區(qū)隔距后區(qū)隔距B B后區(qū)牽伸后區(qū)牽伸A A羅拉加壓羅拉加壓返回 首先首先要選擇一個合適的正交表要選擇一個合適的正交表,選選 來制定試驗(yàn)來制定試驗(yàn)方案方案. )3(49L 其次其次，將，將A、B、C三個因素隨機(jī)地填在表的三列上，三個因素隨機(jī)地填在表的三列上，如如A、B、C依次放在依次放在1，2，3列，第列，第4列為空列，這個過列為空列，這個過程叫程叫表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì). 列列號號試試驗(yàn)驗(yàn)號號1 12 23 33 39 93 31 12 23 38 82 23 31 13

3、 37 72 21 13 32 26 61 13 32 22 25 53 32 21 12 24 43 33 33 31 13 32 22 22 21 12 21 11 11 11 11 1空列空列C CB BA A)3(49L（一）（一） 極差分析法極差分析法 下面仍以例下面仍以例1試驗(yàn)方案為例，回顧極差分析法的思想方試驗(yàn)方案為例，回顧極差分析法的思想方法法.依照上表安排的試驗(yàn)方案，進(jìn)行依照上表安排的試驗(yàn)方案，進(jìn)行9次試驗(yàn)（一般不要次試驗(yàn)（一般不要按序號順序來做這按序號順序來做這9個試驗(yàn)，而應(yīng)隨機(jī)地挑選試驗(yàn)號來完個試驗(yàn)，而應(yīng)隨機(jī)地挑選試驗(yàn)號來完成這些試驗(yàn)成這些試驗(yàn).），），并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)填寫在

4、上表的數(shù)據(jù)列并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)填寫在上表的數(shù)據(jù)列中中.(該數(shù)據(jù)是將原始數(shù)據(jù)減該數(shù)據(jù)是將原始數(shù)據(jù)減20而得到的，這并不影響分析而得到的，這并不影響分析結(jié)果結(jié)果.)( ) jiK 分別計(jì)算第分別計(jì)算第j j列的第列的第i i水平數(shù)據(jù)之和水平數(shù)據(jù)之和 以及其平均值以及其平均值)( jit)( jR、 極差極差 并填入表中并填入表中. . 1 1 數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算 例例1 1 試驗(yàn)結(jié)果分析表試驗(yàn)結(jié)果分析表列列號號試試驗(yàn)驗(yàn)號號0 01 12 23 33 39 90.40.43 31 12 23 38 82.82.82 23 31 13 37 70.30.32 21 13 32 26 61.41.41 13 3

5、2 22 25 52.62.63 32 21 12 24 40.20.23 33 33 31 13 31.31.32 22 22 21 12 21.51.51 11 11 11 11 1簡化數(shù)據(jù)簡化數(shù)據(jù)x xi i2020誤差列誤差列C CB BA A返回返回31返回4列列號號各各數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)0.340.340.800.802.472.470.360.360.930.931.331.330.170.171.071.071.271.271.301.301.031.031.231.230.970.970.530.532.302.300.870.872.82.84.04.00.50.53.23.23.8

6、3.83.93.93.13.13.73.72.92.91.61.66.96.92.62.6誤差列誤差列C CB BA A各數(shù)據(jù)說明各數(shù)據(jù)說明( )1jK( )2jK( )3jK( )1jk( )2jk( )3jk)( jR( ) jiK( ) jik)( jR 91iixT其中其中：為第為第j j列的第列的第i i水水平數(shù)據(jù)之和平數(shù)據(jù)之和為其平均值為其平均值為第為第j j列的極差列的極差9.5 例例1 1 試驗(yàn)結(jié)果分析表續(xù)試驗(yàn)結(jié)果分析表續(xù)返回2 分析因素的影響分析因素的影響根據(jù)極差根據(jù)極差)( jR的數(shù)據(jù)知，第的數(shù)據(jù)知，第2列和第列和第3列的極差較大，列的極差較大，這反映了當(dāng)因素這反映了當(dāng)因素

7、B、C的水平波動時的水平波動時,指標(biāo)波動較大指標(biāo)波動較大,說明因說明因素素B、C對指標(biāo)影響較大；對指標(biāo)影響較大； 第第1列的極差較小列的極差較小,說明因素說明因素A的水平變動時的水平變動時,指標(biāo)變動指標(biāo)變動較小，說明因素較小，說明因素A對指標(biāo)影響較小；對指標(biāo)影響較?。?而第而第4列是空列列是空列,極差為極差為0.34,這是由隨機(jī)誤差產(chǎn)生的這是由隨機(jī)誤差產(chǎn)生的,又又因?yàn)橐蛩匾驗(yàn)橐蛩谹的極差的極差0.36與空列的極差與空列的極差0.34接近，所以可粗略接近，所以可粗略地認(rèn)為因素地認(rèn)為因素A對指標(biāo)影響不顯著對指標(biāo)影響不顯著 由此可以根據(jù)極差的大小順序排出因素的主次：由此可以根據(jù)極差的大小順序排出因素

8、的主次： 主主 次次 B B、C C、A A 由因素的主次可以看出后區(qū)牽伸（因素由因素的主次可以看出后區(qū)牽伸（因素B）對指標(biāo)影響）對指標(biāo)影響最主要最主要,其次是后區(qū)隔距（因素其次是后區(qū)隔距（因素C），羅拉加壓影響最小），羅拉加壓影響最小.3選出最優(yōu)工藝參數(shù)選出最優(yōu)工藝參數(shù)（1）直接看直接看： 直接比較已做的直接比較已做的9次試驗(yàn)得到的條子條干不勻率，容易次試驗(yàn)得到的條子條干不勻率，容易看出第看出第6號試驗(yàn)條干不勻率最小號試驗(yàn)條干不勻率最小, 第第6號試驗(yàn)的水平組合號試驗(yàn)的水平組合A2B3C1稱為稱為“直接看直接看”的好條件的好條件.它是通過試驗(yàn)的實(shí)踐直接它是通過試驗(yàn)的實(shí)踐直接得到的得到的,比較

9、可靠比較可靠. （2）算一算算一算： 通過比較通過比較( ) jik的大小可選出排在第的大小可選出排在第j列的因素的最好水平，列的因素的最好水平， 如第如第1列的因素列的因素A： (1)10.87k(1)21.23k(1)31.07k， 分別表示因素分別表示因素A的三個水平的平均條干不勻率的三個水平的平均條干不勻率,經(jīng)比較可知當(dāng)經(jīng)比較可知當(dāng)因素因素A取取A1水平時，條干不勻率最小，所以水平時，條干不勻率最小，所以A1的效果最好的效果最好. 同理可選出因素同理可選出因素B和因素和因素C的最好條件分別為的最好條件分別為B3、C1。于是通過于是通過 “算一算算一算”得到一個較優(yōu)的水平組合得到一個較優(yōu)

10、的水平組合A1 B3C1.稱為稱為“算一算算一算” 的好條件的好條件. 比較比較“直接看直接看”的好條件的好條件A2B3C1與與 “算一算算一算”的好條的好條件件A1 B3C1，除了因素，除了因素A的水平不同外，其它兩個因素所取的水平不同外，其它兩個因素所取的好條件是一致的。又因?yàn)榈谝涣械臉O差與誤差列的極差的好條件是一致的。又因?yàn)榈谝涣械臉O差與誤差列的極差接近，認(rèn)為因素接近，認(rèn)為因素A對條干不勻率的影響不顯著對條干不勻率的影響不顯著,為方便操作為方便操作選取原工藝選取原工藝A1.最后確定最優(yōu)工藝為最后確定最優(yōu)工藝為A1B3C1.方差分析的基本步驟與格式方差分析的基本步驟與格式 設(shè)：設(shè)：o用正交

11、表用正交表Ln(rm)來安排試驗(yàn)來安排試驗(yàn) o試驗(yàn)結(jié)果為試驗(yàn)結(jié)果為yi（i=1,2,n） （1）計(jì)算離差平方和）計(jì)算離差平方和 總離差平方和總離差平方和 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn1niiTy21niiQy2211()niiTPynn設(shè)：設(shè)：各因素引起的離差平方和各因素引起的離差平方和 o第第j列所引起的離差平方和列所引起的離差平方和 ：22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS因此：因此：交互作用的離差平方和交互作用的離差平方和 o若交互作用只占有一列，則其離差平方和就等于所在列的離若交互作用只占有一列，則其離差平方和就等于所在

12、列的離差平方和差平方和SSj o若交互作用占有多列，則其離差平方和等于所占多列離差平若交互作用占有多列，則其離差平方和等于所占多列離差平方和之和，方和之和， 例：例：r=3時時 12A BA BA BSSSSSS（）（）試驗(yàn)誤差的離差平方和試驗(yàn)誤差的離差平方和 o方差分析時，在進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)時一般要求留方差分析時，在進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)時一般要求留有空列有空列，即，即誤差誤差列列 o誤差的離差平方和為所有空列所對應(yīng)離差平方和之和誤差的離差平方和為所有空列所對應(yīng)離差平方和之和 ：eSSSS空列（2）計(jì)算自由度）計(jì)算自由度總自由度總自由度 ：dfTn1任一列離差平方和對應(yīng)的自由度任一列離差平方和對應(yīng)的自由度

13、 ： dfjr1交互作用的自由度交互作用的自由度 ：（以：（以AB為例）為例）odfABdfA dfBodfAB( r1 )dfjn若若r 2， dfABdfjn若若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB誤差的自由度：誤差的自由度： dfe空白列自由度之和空白列自由度之和（3）計(jì)算均方）計(jì)算均方o以以A因素為例因素為例 ：AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdfn以以AB為例為例 ：n誤差的均方：誤差的均方： 注意：注意：o若某因素或交互作用的均方若某因素或交互作用的均方MSe，則應(yīng)將它們歸入誤差列，則應(yīng)將它們歸入誤差列o計(jì)算新的誤差、均方計(jì)算新的誤差、均方

14、例：若例：若MSA MSe 則：則：eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdf（4）計(jì)算）計(jì)算F值值o各均方除以誤差的均方，例如：各均方除以誤差的均方，例如： AAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或或或（5）顯著性檢驗(yàn)）顯著性檢驗(yàn)o例如：例如：n若若 ，則因素，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響 n若若 ，則交互作用，則交互作用AB對試驗(yàn)結(jié)果有對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響顯著影響 (,)AAeFFdfdf(,)A BA BeFF dfdf（6）列方差分析表）列方差分析表 空列（誤差）因素SSSSSST空列（誤列（因素Tdfdfdf

15、誤差誤差誤差因素因素因素dfSSMSdfSSMS ，誤差因素因素MSMSF9T-KKK31 9y9.y2y1y9y8y7y6y5y4y3y2y131SS22322212222A）（修正項(xiàng)）（）（）（）（CTQSSr1QCTQSSxQnT CTxTjjijTTniiT2niim12ij121K nxxSSn1i2in1i2iT）（），（）（k.21j nxKr1SSn1i2im1i2ijj），（）（k.21j K-K n1SS22j1jjn-1dfT為因素水平個數(shù)，m j1mdf例例2 2（例例1 1續(xù)續(xù)）方差分析法首先計(jì)算各列的離差平方和）方差分析法首先計(jì)算各列的離差平方和jS1SjS以因素以

16、因素A A所在的第一列所在的第一列為例，給出為例，給出的計(jì)算公式的計(jì)算公式. . 在因素在因素A每個水平的三次試驗(yàn)中，因素每個水平的三次試驗(yàn)中，因素B、C三個水平三個水平都分別各出現(xiàn)一次，因此都分別各出現(xiàn)一次，因此,可以理解為因素可以理解為因素A有三個水平，有三個水平，每個水平重復(fù)做三次試驗(yàn)，按照單因子方差分析每個水平重復(fù)做三次試驗(yàn)，按照單因子方差分析: 因素因素A的離差平方和的離差平方和 202. 093/92312)1(1 TTSii同理可計(jì)算出因素同理可計(jì)算出因素B、C及誤差列的離差平方和分別為：及誤差列的離差平方和分別為： 129. 92 S229. 13 S202. 04 S返回原數(shù)

17、據(jù)NTpNTSpijij212)(/ 一般的，一般的， T)( jiT其中：其中： N _N _正交表的試驗(yàn)號數(shù)（試驗(yàn)次數(shù)）；正交表的試驗(yàn)號數(shù)（試驗(yàn)次數(shù)）； p_p_第第j j列的水平數(shù)；列的水平數(shù)；_ N_ N次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之和次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之和; ; _ _為第為第j j列的第列的第i i水平數(shù)據(jù)之和水平數(shù)據(jù)之和. .24321 ffffjf其次，計(jì)算各列自由度其次，計(jì)算各列自由度p p1, 1, 得：得：,將離差平方和與自由度填入下表：將離差平方和與自由度填入下表：列列號號各各數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)2 22 22 22 20.2020.2021.2291.2299.1299.1290.2020.2020.34

18、0.340.800.802.472.470.360.360.930.931.331.330.170.171.071.071.271.271.301.301.031.031.231.230.970.970.530.532.302.300.870.872.82.84.04.00.50.53.23.23.83.83.93.93.13.13.73.72.92.91.61.66.96.92.62.6誤差列誤差列C CB BA A各數(shù)據(jù)說明各數(shù)據(jù)說明 )(1jT)(2jT)(3jT)(1jt)(2jt)(3jt)( jRjSjf)( jiT)( jit)( jRjSjf 91iixT其中其中：為第為第j

19、j列的第列的第i i水水平數(shù)據(jù)之和平數(shù)據(jù)之和為其平均值為其平均值為第為第j j列的極差列的極差為第為第j j列的離差平列的離差平方和，方和，為第為第j j列的自由度列的自由度9.5 例例2 2 試驗(yàn)結(jié)果分析表續(xù)試驗(yàn)結(jié)果分析表續(xù)返回3637最后進(jìn)行誤差估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)最后進(jìn)行誤差估計(jì)和顯著性檢驗(yàn):1.誤差估計(jì)誤差估計(jì) 41SS 1S4S 因因 ，所以，所以, ,認(rèn)為認(rèn)為是由誤差引起的，將它與是由誤差引起的，將它與合并，最后求得誤差的離差平方和為：合并，最后求得誤差的離差平方和為：404. 0202. 0202. 041 SSSE42241 fffE101. 04404. 0 EEEfSS其自由度

20、為：其自由度為：方差為：方差為：ESEf 一般的，將所有空列的離差平方和，以及方差不大一般的，將所有空列的離差平方和，以及方差不大于空列方差的那些列的離差平方和加在一起作為誤差于空列方差的那些列的離差平方和加在一起作為誤差的離差平方和的離差平方和 ，將這些列的自由度求和作為誤差，將這些列的自由度求和作為誤差的自由度的自由度 .2顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn) H0:排在第排在第j列的因素對所考察的指標(biāo)影響不顯著列的因素對所考察的指標(biāo)影響不顯著H1:排在第排在第j列的因素對所考察的指標(biāo)影響顯著列的因素對所考察的指標(biāo)影響顯著Nxxx,212 jFF可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng)H H0 0為真時，在滿足試驗(yàn)結(jié)果為真時，在滿足試驗(yàn)結(jié)果來自于相互獨(dú)立且服從同方差來自于相互獨(dú)立且服從同方差的正態(tài)分布總體時的正態(tài)分布總體時, ,統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量服從服從分布，即分布，即),(EjEjjffFSSF 于是，對給定的顯著水平于是，對給定的顯著水平 時時當(dāng)當(dāng)),(,1EjjffFF 著水平著水平 下拒絕下拒絕H0， ,則在顯則在顯推斷該因素對指標(biāo)影響顯著；否則影推斷該因素對指標(biāo)