第四章平面問題有限元分析及程序設(shè)計(jì)

1、第四章第四章 平面問題有限元分析及程序設(shè)計(jì)平面問題有限元分析及程序設(shè)計(jì)4.1 平面問題單元離散4.2 平面問題單元位移模式4.3 平面問題單元分析4.4 平面問題整體分析4.5 平面問題有限元程序設(shè)計(jì)有限單元法及程序設(shè)計(jì)有限單元法及程序設(shè)計(jì)有限元網(wǎng)格劃分的基本原則有限元網(wǎng)格劃分的基本原則網(wǎng)格數(shù)目網(wǎng)格疏密單元階次網(wǎng)格質(zhì)量網(wǎng)格分界面和分界點(diǎn)位移協(xié)調(diào)性網(wǎng)格布局結(jié)點(diǎn)和單元編號網(wǎng)格自動(dòng)剖分網(wǎng)格數(shù)量20萬最小網(wǎng)格尺度150m最大網(wǎng)格尺度3500m平面問題單元：平面問題單元：平面應(yīng)力：平面應(yīng)力：三角形板三角形板平面應(yīng)變：平面應(yīng)變：三棱柱三棱柱平面問題結(jié)點(diǎn)：平面問題結(jié)點(diǎn)：平面問題約束：平面問題約束：平面問題荷

2、載：平面問題荷載：三角形單元三角形單元絞結(jié)點(diǎn)絞結(jié)點(diǎn)絞支座、鏈桿絞支座、鏈桿結(jié)點(diǎn)荷載和非結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)荷載和非結(jié)點(diǎn)荷載幾個(gè)重要概念：幾個(gè)重要概念：4.1 平面問題單元離散平面問題單元離散基本量和方程的矩陣表示基本量和方程的矩陣表示xyfff體積力體積力xyfff面力面力應(yīng)力應(yīng)力xyxy應(yīng)變應(yīng)變xyxy基本量和方程的矩陣表示基本量和方程的矩陣表示位移位移udv 物理方程物理方程2101011002xxyyxyxyE簡寫為簡寫為D只要知道了單元的位移函數(shù)，就可由幾何方程求出應(yīng)變，再由物只要知道了單元的位移函數(shù)，就可由幾何方程求出應(yīng)變，再由物理方程就可求出應(yīng)力。理方程就可求出應(yīng)力。幾何方程：幾何方程：4

3、.2 單元位移模式單元位移模式 Tyuxvyvxu Tmmjjiievuvuvu有限單元法：未知量是有限單元法：未知量是結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的位移分量的位移分量那么單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移跟結(jié)點(diǎn)位移有什么關(guān)系呢？那么單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移跟結(jié)點(diǎn)位移有什么關(guān)系呢？因此說，只要知道了位移場的分布，即可解決上述問題。因此說，只要知道了位移場的分布，即可解決上述問題。i (xi, yi)位移模式：單元位移場分布形式位移模式：單元位移場分布形式4.2 單元位移模式單元位移模式iujujvivmumvxyj (xj, yj)m (xm, ym),(yxfuu),(yxfvv),(iiuiyxfu ),(jjujyxfu )

4、,(mmumyxfu ),(iiviyxfv ),(jjvjyxfv ),(mmvmyxfv 建立一個(gè)坐標(biāo)系，如下圖所示：建立一個(gè)坐標(biāo)系，如下圖所示：假定位移模式如下所示：假定位移模式如下所示：三個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移也必定滿足三個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移也必定滿足位移場函數(shù)，因此有：位移場函數(shù)，因此有：位移函數(shù)的選取是任意的，所選取的位移函數(shù)越接近于真實(shí)情況，所位移函數(shù)的選取是任意的，所選取的位移函數(shù)越接近于真實(shí)情況，所求得的形變和內(nèi)力結(jié)果就越準(zhǔn)確。求得的形變和內(nèi)力結(jié)果就越準(zhǔn)確。yxu321 最簡單的位移場函數(shù)是線性函數(shù)，即最簡單的位移場函數(shù)是線性函數(shù)，即：yxv654 iiiuyx321 iiivyx654 jj

5、juyx321 jjjvyx654 mmmuyx321 mmmvyx654 位移模式的選取位移模式的選取邊界條件：邊界條件：在三個(gè)結(jié)點(diǎn)也應(yīng)滿足位移場函數(shù)；在三個(gè)結(jié)點(diǎn)也應(yīng)滿足位移場函數(shù)；i 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)j 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)m 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)其中，其中， 、 、 、 、 、 是系數(shù)，由邊界條件求得。是系數(shù)，由邊界條件求得。1231234.2 單元位移模式單元位移模式4.2 單元位移模式單元位移模式寫成矩陣形式123456100000011000=000110000001iiiiiijjjjjjmmmmmmxyuxyvxyuxyvxyuxyvyxu321 2A iycxbaNiiimmiyaxyx jjmiyb1y1

6、- jmixc1x1 j位移模式的選取位移模式的選取因此，因此， 、 、 是是 、 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；123iujumu同樣，同樣， 、 、 是是 、 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；455ivjvmv代入位移場函數(shù)，則代入位移場函數(shù)，則 是是 、 、 的線性函數(shù)，即：的線性函數(shù)，即：uiujumummjjiiuNuNuN其中，其中， 、 、 是系數(shù)，是是系數(shù)，是 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；iNjNmNxy可以求得：可以求得：mmjjiiyxyxyxA11121 其中：其中：注意：注意：i, j, m 必須是逆時(shí)針必須是逆時(shí)針排列，否則面排列，否則面積為負(fù)。積為負(fù)。(i, j, m )

7、同理，可求得同理，可求得 、 ，且下標(biāo)可輪換，且下標(biāo)可輪換 ；jNmNmmjjiivNvNvNyxv654 同理可得：同理可得：4.2 單元位移模式單元位移模式j(luò)上式也可以寫成：上式也可以寫成：形函數(shù)的性質(zhì)：形函數(shù)的性質(zhì)：mmjjiimmjjiyxyxyxyxyxyxN111111 iiNjiNmiNj i oiNoiN jiidsNAidxdyN(i, j, m) 、 、 表明了單元的位移表明了單元的位移形態(tài)（位移在單元的變化規(guī)律）形態(tài)（位移在單元的變化規(guī)律）iNjNmN稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)形函數(shù) 、 、 是坐標(biāo)是坐標(biāo) (x 、y ) 的的線性函數(shù)；線性函數(shù)；iNjNm

8、Nim11/21/3j i21A311002131(i, j, m)4.2 單元位移模式單元位移模式位移函數(shù)：位移函數(shù)：mmjjiiuNuNuNyxu321 mmjjiivNvNvNyxv654 由于由于 、 、 是坐標(biāo)是坐標(biāo) (x 、y ) 的線性函數(shù)，的線性函數(shù)，iNjNmN),(mjiuuu因此，因此， u、v 也是也是 、 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。),(mjivvvjimiujumujimivjvmv4.2 單元位移模式單元位移模式因此，因此， u、v 在坐標(biāo)空間應(yīng)該為一平面。在坐標(biāo)空間應(yīng)該為一平面。位移寫成向量形式：位移寫成向量形式： mmjjiimmjjiivNvNvNuNuNuN

9、vud mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNN000000 eNdmmmjjjiiimmmjjjiiivNuvNuvNuvuNvuNvuN000000 N稱為形函數(shù)矩陣。稱為形函數(shù)矩陣。4.2 單元位移模式單元位移模式有限元分析中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣、剛度矩陣都是依賴于位移模式建立有限元分析中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣、剛度矩陣都是依賴于位移模式建立起來的，因此，位移模式必須能夠反映彈性體的真實(shí)位移形態(tài)，才起來的，因此，位移模式必須能夠反映彈性體的真實(shí)位移形態(tài)，才能得到正確的解答。能得到正確的解答。位移模式需要滿足的條件：位移模式需要滿足的條件：（1）位移模式必須能夠反映單元的剛體位移；）位移模式必須

10、能夠反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能夠反映單元的常應(yīng)變；）位移模式必須能夠反映單元的常應(yīng)變；（3）位移模式盡可能反映位移的連續(xù)性；）位移模式盡可能反映位移的連續(xù)性；必要條件必要條件充分條件充分條件yxu321 yxv654 xvvyuu0010 u40 v2 35剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)作業(yè)：作業(yè)：P141 6-14.2 單元位移模式單元位移模式53531222xyy53534622yxx單元應(yīng)變單元應(yīng)變4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.1 單元的應(yīng)變向量單元的應(yīng)變向量 xvyuyvxummjjiimmjjiimjimjivuvuvuxNyNxNyNxNyNy

11、NyNyNxNxNxN000000mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbbA00000021由幾何方程求。由幾何方程求。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.1 單元的應(yīng)變向量單元的應(yīng)變向量 eB mmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021 iiiiibccbAB0021可以簡寫為可以簡寫為:mjiBBB其中其中: B是單元的應(yīng)變矩陣，且是單元的應(yīng)變矩陣，且:所以所以:(i, j, m)常量常量因此，單元應(yīng)變是常數(shù)。因此，單元應(yīng)變是常數(shù)。所以，三角形單元又稱為所以，三角形單元又稱為常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元。4.3 平面問題的單

12、元分析平面問題的單元分析4.3.2 單元的應(yīng)力向量單元的應(yīng)力向量 eBDD eeSBD mjiSSSS iiiiiiibccbcbAES2121)1 (2221E1E單元應(yīng)力單元應(yīng)力由物理方程求。由物理方程求。其中其中:其中其中: S是單元的應(yīng)力矩陣，且是單元的應(yīng)力矩陣，且:平面應(yīng)力平面應(yīng)力:平面應(yīng)變平面應(yīng)變:(i, j, m)常量常量因此，應(yīng)力也與坐標(biāo)無關(guān)，所以單元應(yīng)力是常數(shù)。因此，應(yīng)力也與坐標(biāo)無關(guān)，所以單元應(yīng)力是常數(shù)。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析單元性質(zhì)分析單元性質(zhì)分析位移位移是是x、y的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；誤差是誤差是 x、 y的二階小量；的二階小量；應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力常

13、量；常量；相鄰單元連續(xù)相鄰單元連續(xù)相鄰單元不連續(xù)相鄰單元不連續(xù)誤差是誤差是 x、 y的一階小量；的一階小量；提高精度方法：提高精度方法：1）減小單元尺寸；）減小單元尺寸；2）采用高次位移函數(shù)，提高位移、應(yīng)變和應(yīng)力的精度；）采用高次位移函數(shù)，提高位移、應(yīng)變和應(yīng)力的精度；收斂速度和精度估計(jì) 若單元的插值函數(shù)是若單元的插值函數(shù)是完備完備而而協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)的，當(dāng)單元尺寸不的，當(dāng)單元尺寸不斷縮小而趨于零時(shí)，有限元解將趨于真正解。斷縮小而趨于零時(shí)，有限元解將趨于真正解。 在有些情況下，如果用于有限元場函數(shù)近似解的多在有些情況下，如果用于有限元場函數(shù)近似解的多項(xiàng)式能精確地?cái)M合真正解，則在有限數(shù)目的單元?jiǎng)澐郑?xiàng)式能

14、精確地?cái)M合真正解，則在有限數(shù)目的單元?jiǎng)澐郑ㄉ踔羶H僅是一個(gè)單元）的條件下，也能得到精確的解答甚至僅僅是一個(gè)單元）的條件下，也能得到精確的解答。例如真正解是二次函數(shù)，若有限元的插值函數(shù)也包含。例如真正解是二次函數(shù)，若有限元的插值函數(shù)也包含了二次的完全多項(xiàng)式，則有限元解就能得到精確的解答了二次的完全多項(xiàng)式，則有限元解就能得到精確的解答。由此我們可以得到精度與單元尺寸的關(guān)系。例如位移。由此我們可以得到精度與單元尺寸的關(guān)系。例如位移可以展開成可以展開成TaylorTaylor級數(shù)：級數(shù)：iiiuuuuxyxy 這只是形式上的精度估計(jì)，并不能對有限元解的誤差做出具體的估計(jì)。而后者在這只是形式上的精度估計(jì)，

15、并不能對有限元解的誤差做出具體的估計(jì)。而后者在實(shí)際分析工作中更有用。一般可以通過兩種途徑解決：實(shí)際分析工作中更有用。一般可以通過兩種途徑解決：單元結(jié)點(diǎn)力單元結(jié)點(diǎn)力4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.3 單元的單元的 剛度矩陣剛度矩陣 TmymxjyjxiyixemjieFFFFFFFFFF eeSBD Tmmjjiiemjievuvuvu Tmmjjiiemjievuvuvu* eB*單元結(jié)點(diǎn)位移單元結(jié)點(diǎn)位移單元應(yīng)力向量：單元應(yīng)力向量：給定一個(gè)虛位移：給定一個(gè)虛位移：單元虛應(yīng)變：單元虛應(yīng)變：i (xi, yi)iujujvivmumvxyj (xj, yj)m (xm, ym)

16、虛功原理虛功原理: :內(nèi)力虛功等于外力虛功內(nèi)力虛功等于外力虛功4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.3 單元的單元的 剛度矩陣剛度矩陣 eTeF* tdxdyFATeTe* eATetdxdyBDBF eek tdxdyAT* tdxdyBDBAeTe* tdxdyBDBAeTTe* eATTetdxdyBDB*t 為單元厚度為單元厚度由于虛位移是任意給定的可能位移，故：由于虛位移是任意給定的可能位移，故： ek其中，其中， 是單元的剛度矩陣是單元的剛度矩陣 (6 6)；4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 emmemjemiejmejjejieimeijeiiekkkk

17、kkkkkk AtBDBksTrerssrsrsrsrsrsrsrsrersbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1 (42 tdxdyBDBkATe tdxdyBDBAT tABDBT單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為：寫成分塊矩陣：寫成分塊矩陣：其中：其中：平面應(yīng)力：平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：平面應(yīng)變：;,mjir ;,mjis 21E1E 211111122222211111122222211224 1iiiiiiiiijijijijimimimimiiiiiiiijijiijijm im iimimijijjijiebbccbccbbbccbccbbbccbccbbccb

18、ccbbb cc bccbbb cc bccbbbbccb cc bEtkA111122221111112222221111122222jjjjjjjjjmjmjmjmijijijijjjjjjjjjmjmjjmjmimimm im ijmjmmjmjmmmb bc cb cc bb bc cb cc bbccbccbbb cc bc cb bb cc bc cb bbbccb cc bb bc cb cc bb bc12111111222222mmmmmimimimimjmjmjmjmmmmmmmmmcb cc bbccbccbbb cc bc cb bb cc bc cb b寫成元素矩陣：

19、寫成元素矩陣：4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析ersk單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：1) 對稱性：對稱性：esrk2) 與單元尺寸無關(guān)，放大或縮小尺寸，單元?jiǎng)偠染仃嚥蛔?；與單元尺寸無關(guān)，放大或縮小尺寸，單元?jiǎng)偠染仃嚥蛔儯?）奇異性：它不存在逆陣）奇異性：它不存在逆陣4）主元（對角線元素）恒正）主元（對角線元素）恒正4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為： 2222222222222222102121002102121212121212121021002121021)1 (4 hlhlhlhhlhhlhlhlhhllhllhlhhlh

20、lhlhllhllhllhlhllAEtk單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為： kk作用在單元上的荷載，既有結(jié)點(diǎn)荷載，也有非結(jié)點(diǎn)荷載，作用在單元上的荷載，既有結(jié)點(diǎn)荷載，也有非結(jié)點(diǎn)荷載，因此需要將非結(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)換成等效的結(jié)點(diǎn)荷載。因此需要將非結(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)換成等效的結(jié)點(diǎn)荷載。4.3.4 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載和原荷載在任何虛位移產(chǎn)生的虛功相等；等效結(jié)點(diǎn)荷載和原荷載在任何虛位移產(chǎn)生的虛功相等；剛體：剛體：等效原則：等效原則：4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析結(jié)點(diǎn)荷載：結(jié)點(diǎn)荷載：非結(jié)點(diǎn)荷載：非結(jié)點(diǎn)荷載：直接集成到荷載列向量；直接集成到荷載列向量；等效成結(jié)點(diǎn)荷載；等效成結(jié)點(diǎn)荷載；原荷

21、載與等效結(jié)點(diǎn)荷載在任一軸上的投影之和相原荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載在任一軸上的投影之和相等，對任一軸的力矩之和也相等。等，對任一軸的力矩之和也相等。等效結(jié)點(diǎn)荷載向量：等效結(jié)點(diǎn)荷載向量： TLmyLmxLjyLjxLiyLixeLFFFFFFF靜力等效靜力等效4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 eTNyxvyxud*),(),( Tyxggf Tmmjjiievuvuvu* tdxdyfdFATeLTe*1）體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載）體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載單元結(jié)點(diǎn)為單元結(jié)點(diǎn)為 i, j, m，密度為，密度為 ，任意一點(diǎn)的體積力向量為：，任意一點(diǎn)的體積力向量為：假設(shè)單元各結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移：假設(shè)單元各結(jié)點(diǎn)

22、發(fā)生虛位移：則單元內(nèi)任意一點(diǎn)的虛位移為：則單元內(nèi)任意一點(diǎn)的虛位移為：根據(jù)虛功原理：根據(jù)虛功原理： tdxdyfNATTe* tdxdyfNATTe*4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 tdxdyfNFATeL1）體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載）體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載因此，則有：因此，則有：一般情況下，重力與一般情況下，重力與y軸軸方向相反：方向相反： Tgf 00LmxLjxLixFFFdxdyNgtFAiLiygtA31因此，則有：因此，則有：LiyLmyLjyFFFgtA31 0000=000000TeLAiijAjmmTijmAFNfdxdy tNNNdxdy tNgNNgNgNgNdxd

23、y t結(jié)論：三個(gè)結(jié)點(diǎn)各承擔(dān)結(jié)論：三個(gè)結(jié)點(diǎn)各承擔(dān)總荷載的三分之一。總荷載的三分之一。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析2）分布荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載）分布荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載ixyjmqxqyq Tyxqqqf TeLqijFNfds t如圖所示均布荷載，集度如圖所示均布荷載，集度為為q，則：，則：則等效結(jié)點(diǎn)荷載為：則等效結(jié)點(diǎn)荷載為： *TeTeLqijFdfds t *TeTqijNfds t *TeTqijNfds tj itqFFxLjxLix210LmxFj itqFFyLjyLiy210LmyF 000=000TeLqijiixjyjijmmTxiyixjyjxmymijFNfds

24、 tNNqNds tqNNNq Nq Nq Nq Nq Nq Nds t結(jié)論：沿該荷載作用的結(jié)論：沿該荷載作用的邊上的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)各承擔(dān)邊上的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)各承擔(dān)總荷載的一半?？偤奢d的一半。如圖所示線性分布荷載：荷載如圖所示線性分布荷載：荷載與與x軸夾角為軸夾角為xyijm TeLqijTxiyixjyjxmymijFNfds tq Nq Nq Nq Nq Nq Nds tqcosxsqql1isNl 1122cossincossin003 23 23 23 2TeLqtlqtlqtlqtlF xyijmiljliiFqlslss TeLqijTxiyixjyjxmymijFNfds tq Nq Nq

25、Nq Nq Nq Nds t1isNl Fcos1Fsin1FcosFsin00TeiiiiLllllFtllll 4.4.1 整體剛度矩陣的集成步驟1 1、定位、定位單元單元結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)編號編號 2 2、累加、累加整體整體結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)編號編號 ijrs單元?jiǎng)偠认禂?shù)單元?jiǎng)偠认禂?shù) 整體剛度系數(shù)整體剛度系數(shù)4.4 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成eiikrrKeijkrsKejiksrKejjkssKmteimkrtKejmkstKemiktrKemjktsKemmkttK4.4.1 整體剛度矩陣的集成步驟例：例：P121P1214.4 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成單元號IIIIIIIV局部編碼整體自由度編碼i i159311 i2610412j j11395 J224106m m13759 m248610以以整體自由度編碼整體自由度編碼總剛的集成總剛的集成4.4.2 邊界條件的處理方法4.4 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成1 1）劃行劃列法）劃行劃列法2 2）0 0、1 1置換法（填