第3章一元函數(shù)積分學(xué)7-12(微積分基本定理)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A3.2.4 3.2.4 牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式3.2 3.2 定積分定積分3.2.4 3.2.4 牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式 問題的提出問題的提出 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式積分上限函數(shù)習(xí)例積分上限函數(shù)習(xí)例2-8 Newton-Leibniz公式公式習(xí)例習(xí)例9-16 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)微積分基本公式微積分基本公式一、問題的提出一、問題的提出 變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)

2、與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動中路程為變速直線運(yùn)動中路程為 21)(TTdttv 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運(yùn)運(yùn)動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 1. 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的

3、一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，.)()( 00 xadttfx且且abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)， 則積分上限的函上連續(xù)， 則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是數(shù)是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 2. 積分上限函

4、數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證 dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx , 0 xx 且且),( fx abxyoxx )( x x)(limlim)(00 fxxxx ).()(lim0 xff 結(jié)論結(jié)論1若若f(x)在在a,b上連續(xù)，則原函數(shù)一定存在，且上連續(xù)，則原函數(shù)一定存在，且 xadttfx)()(就是就是f(x)在在a,b上的原函數(shù)上的原函數(shù).2sin .xxex分別寫出與的一個原函數(shù)解解 ,)(

5、22 xatxdtexe的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是.sin)( sin xadtttxxx的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是例例1 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理結(jié)論結(jié)論2 ).()()()()()(xxfdttfdttfdxdxaxa 結(jié)論結(jié)論3 ).()()()()()(xxfdttfdttfdxdbxbx 結(jié)論結(jié)論4).()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 問問: ?)( badxxfdxd?)( badxxfdbd積分上限函數(shù)習(xí)例積分上限函數(shù)習(xí)例 .)cos( 2cossin2dttdxdxx 計算計算例例.0 320202dxdyxydttdtexyt的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對對所

6、確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由求由例例 .,)2)(1( 402求其極值點(diǎn)求其極值點(diǎn)設(shè)設(shè)例例dxxxyx .lim 521cos02xdtextx 求求例例).()(,)()( ,)( 6xfxFdttxtfxFbaxfxa 證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在若若例例解解dttdxdxx cossin2)cos( )(sin)sincos()(cos)coscos(22 xxxx xxxxcos)sincos(sin)coscos(22 .)cos( 2cossin2dttdxdxx 計算計算例例解解方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)得，求導(dǎo)得，024222 xyyey.422yyexdxdy .0 32020

7、2dxdyxydttdtexyt的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對對所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由求由例例 解解,)2)(1(2 xxy, 2, 1, 0 xxy得得令令x)1 ,(1)2 , 1(2), 2(y 00 y. 1 x極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)為.,)2)(1( 402求其極值點(diǎn)求其極值點(diǎn)設(shè)設(shè)例例dxxxyx 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用型不定式，應(yīng)用LHospital法則法則.解解 xxexdtexxxtx2)(coslimlim22cos021cos0 xexxx2sinlim2cos0 .21e .lim 521cos02xdtextx 求求例例證證 xaxadtttfdttfxxF)(

8、)()( xadttfxF)()()(xxf )(xxf xadttf)().()(xfxF ).()(,)()( ,)( 6xfxFdttxtfxFbaxfxa 證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在若若例例證證 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()(020 xxdttftxdttfxf)0(, 0)( xxf, 0)(txxf 又又, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx從而從而).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證 , 1)(2)(0 dttfxxFx令令,1 , 0上連續(xù)上

9、連續(xù)在在, 01)0( F且且 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 ;1 , 00)(上上至至少少有有一一個個解解即即原原方方程程在在由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理知知 xF, 1)( xf又又, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.三、三、Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式定理定理2（微積分基本公式微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxf

10、ba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證 ,)()(CdttfxFxa 即即,)(,CaFax 得得令令),()()(aFdttfxFxa ),()()(aFdttfbFbxba 得得再令再令).()()(aFbFdttfba 注意注意: ).()()()( )1(aFbFxFdxxfbaba (2) 當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立. ).()()()( )3(afbfxfdxxfbaba ).()()()(aFbFxFdxxf

11、baba 定積分計算習(xí)例定積分計算習(xí)例 例例9 . baxdxe計算計算例例10.112 dxx計算計算例例11.)(,31 310 1)(302 dxxfxxxxxf求求設(shè)設(shè)例例12.231 dxx計算計算例例13.,max222 dxxx計算計算例例14,21 10 )(2 xxxxxf設(shè)設(shè) xdttfx0)()(求求.)2 , 0()(,2 , 0內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性在在并討論并討論上的表達(dá)式上的表達(dá)式在在x 例例15,1 , 0)(上連續(xù)且單調(diào)不增上連續(xù)且單調(diào)不增在在設(shè)設(shè)xf.)()(),1 , 0(100 dxxfadxxfaa有有證證明明對對任任意意的的例例16.)()()(:22

12、 babadxxfabdxxf證明不等式證明不等式例例9. baxdxe計算計算解解 baxbaxedxe .abee 例例10.112 dxx計算計算解解 1212ln1 xdxx. 2ln2ln1ln 注意：注意：21111112 xdxx例例11.)(,31 310 1)(302 dxxfxxxxxf求求設(shè)設(shè)解解 311030)()()(dxxfdxxfdxxf 31102)3()1(dxxdxx312103)23()3(xxxx )213()299(0)131( .310 例例12.231 dxx計算計算解解 322131222dxxdxxdxx 3221)2()2(dxxdxx322

13、212)22()22(xxxx . 1)42()629()212()24( 例例13.,max222 dxxx計算計算解解,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 例例14,21 10 )(2 xxxxxf設(shè)設(shè) xdttfx0)()(求求.)2 , 0()(,2 , 0內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性在在并討論并討論上的表達(dá)式上的表達(dá)式在在x 解解 ,10時時當(dāng)當(dāng) x xdttfx0)()( xdtt02;33x ,21時時當(dāng)當(dāng) x xdttfx0)()( xtdtdtt1102.6122 x 21 61210 3)(23xxxxx,)(

14、,2110連續(xù)連續(xù)時時或或當(dāng)當(dāng)xxx ,313lim)(lim311 xxxx而而,31)612(lim)(lim211 xxxx,31)1( .)2 , 0()(內(nèi)的連續(xù)內(nèi)的連續(xù)在在x 例例15,1 , 0)(上連續(xù)且單調(diào)不增上連續(xù)且單調(diào)不增在在設(shè)設(shè)xf.)()(),1 , 0(100 dxxfadxxfaa有有證證明明對對任任意意的的證證 )10( ,)(1)(0 adxxfaaa 設(shè)設(shè).)()1(10 dxxf 且且20)()()(adxxfaafaa 200)()(adxxfdxafaa 20)()(adxxfafa )0( )()(axxfaf . 0 .)(單調(diào)遞減單調(diào)遞減a ).1()( a故故.)()(100 dxxfadxxfa即即例例16.)()()(:22 babadxxfabdxxf證明不等式證明不等式證證,)()()()(22 xaxadttfaxdttfxF設(shè)設(shè), 0)( aF則則 xadttfxfxF)()(2)( xadttf)(2)()(2xfax xadttfxf)()(2 xadttf)(2 xadtxf)(2 xadtxftfxftf)()()(2)(22 xadtxftf2)()(. 0 .)(單調(diào)遞減單調(diào)遞減故故xF. 0)()(, aFbFab時時當(dāng)當(dāng)3.微積分基本公式微積分基本公式