第十二章動(dòng)量矩定理

1、第12章動(dòng)量矩定理通過上一章的學(xué)習(xí)我們知道動(dòng)量是表征物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理量。但是在某些情況下，一個(gè)物體的動(dòng)量不足以反映它的運(yùn)動(dòng)特征。例如，開普勒在研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，行星在軌道上各點(diǎn)的速度不同，因而動(dòng)量也不同，但它的動(dòng)量的大小與它到太陽中心的距離之乘積稱為行星對太陽中心的動(dòng)量矩，總是保持為常量，可見，在這里，行星對太陽中心的動(dòng)量矩比行星的動(dòng)量更能反映行星運(yùn)動(dòng)的特征。在另一些情況下，物體的動(dòng)量則完全不能表征它的運(yùn)動(dòng)。例如，設(shè)剛體繞著通過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)椴徽搫傮w轉(zhuǎn)動(dòng)快慢如何，質(zhì)心速度總是等于零，所以剛體的動(dòng)量也總是零。但是，剛體上各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量大小與其到軸的距離的乘積之和即剛體對軸的動(dòng)量矩卻不等于零

2、?？梢姡谶@里，不能用動(dòng)量而必須用動(dòng)量矩來表征剛體的運(yùn)動(dòng)。§12-1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理例2.人造地球衛(wèi)星本來在位于離地面的圓形軌道上，如圖所示，為使其進(jìn)入的另一圓形軌道，須開動(dòng)火箭，使衛(wèi)星在點(diǎn)的速度于很短時(shí)間內(nèi)增加，然后令其沿橢圓軌道自由飛行到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)，再進(jìn)入新的圓形軌道。問：（1）衛(wèi)星在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)處時(shí)的速度是多少？（2）為使衛(wèi)星沿新的圓形軌道運(yùn)行，當(dāng)它到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，應(yīng)如何調(diào)整其速度？大氣阻力及其它星球的影響不計(jì)。地球半徑。圖12-5解：首先求出衛(wèi)星在第一個(gè)圓形軌道上的速度，可由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程求出。衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)只受地球引力的作用，即 式中是衛(wèi)星與地面的距離。當(dāng)衛(wèi)星沿第一圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)

3、，有 即 （b）將，代入上式，得衛(wèi)星在第一個(gè)圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的速度 所以衛(wèi)星在橢圓軌道上的點(diǎn)的速度為 衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍然只受地球引力作用，而該引力始終指向地心，對地以的矩等于零，所以衛(wèi)星對地心的動(dòng)量矩應(yīng)保持為常量。設(shè)衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為，則有 所以設(shè)衛(wèi)星沿新的圓形軌道運(yùn)行時(shí)所需的速度為，則 由此可見，為使衛(wèi)星沿著第二個(gè)圓形軌道運(yùn)行，當(dāng)它沿橢圓軌道到達(dá)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)再開動(dòng)火箭，使其速度增加一個(gè)值 順便指出，在（b）式中令，就得到，這就是為使衛(wèi)星在離地面不遠(yuǎn)處作圓周運(yùn)動(dòng)所需的速度，稱為第一宇宙速度。§12-2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理 例1.質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓輪繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。輪上纏繞

4、細(xì)繩,繩端懸掛質(zhì)量為的物塊,試求物塊的加速度。均質(zhì)圓輪對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。圖12-8 解:以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。設(shè)在圖示瞬時(shí)，物塊的速度為，加速度為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，圓輪的角速度為，因此系統(tǒng)的動(dòng)量矩為 再進(jìn)行受力分析。系統(tǒng)所受外力如圖所示，其中、為主動(dòng)力，、為軸處的約束力。根據(jù)動(dòng)量矩定理 有即 得物塊的加速度 例2.高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖所示。已知鼓輪為均質(zhì)圓盤，半徑為，重為。在鉛垂平面內(nèi)繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總重為，作用在鼓輪上的力矩為，軌道的傾角為。繩的重量及各處的摩擦忽略不計(jì)，求小車的加速度。均質(zhì)圓盤對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖12-9解：研究對象：小車及鼓輪系統(tǒng)。系統(tǒng)所受的外力

5、有：力矩，重力、，軸承反力、，軌道的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸的矩為 因?yàn)樗?運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)鼓輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，小車作直線運(yùn)動(dòng)的速度為，顯然，則系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為 將，代入上式得 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理 得 可解得小車的加速度 例3.水渦輪轉(zhuǎn)子以勻角速繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求從渦輪葉片間流過的水流給渦輪機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。圖12-10解：設(shè)為單位時(shí)間內(nèi)流過整個(gè)渦輪轉(zhuǎn)子的水流的體積，即總流量。水流的質(zhì)量密度為，渦輪進(jìn)口和出口處的半徑分別為和，進(jìn)口與出口處的水流的絕對速度分別為和，方向分別與輪緣切線方向成夾角和。水流作用在渦輪轉(zhuǎn)子上的轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)子給水流的反力矩大小相等而轉(zhuǎn)向相反。取兩葉片之間的流體為研究的質(zhì)點(diǎn)系。

6、水在葉片中流運(yùn)時(shí)，由于葉片的作用，質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩將隨時(shí)間而變化。設(shè)在瞬時(shí)，兩葉片間的流體占有體積為。而在瞬時(shí)，水流流至，設(shè)水的流動(dòng)是定常的，則公共容積內(nèi)流體的動(dòng)量矩保持不變。因此，在時(shí)間內(nèi)兩葉片之間流體動(dòng)量矩的變化為 令兩葉片間水的流量為，則 可得到在時(shí)間內(nèi)流過整個(gè)渦輪轉(zhuǎn)子的水流的動(dòng)量矩變化為 水流受到的外力有重力和轉(zhuǎn)子葉片的反力，其中重力與平行，其力矩為零，故只有轉(zhuǎn)子上葉片給水流的反力矩。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理 可得 而水流作用在渦輪上的力矩 上式稱為歐拉渦輪方程。它表明在定常流動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)矩只同進(jìn)口與出口處水流的絕對速度有關(guān)。例4.一半徑為，重為的均質(zhì)水平圓形轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心并垂直于臺(tái)面

7、的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。重的物塊按規(guī)律沿臺(tái)的邊緣運(yùn)動(dòng)。開始時(shí)，圓臺(tái)是靜止的。求物塊運(yùn)動(dòng)以后，圓臺(tái)在任一瞬時(shí)的角速度與角加速度。均質(zhì)水平圓臺(tái)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。圖12-11解：研究對象：轉(zhuǎn)臺(tái)及物塊質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 受力分析：轉(zhuǎn)臺(tái)重力，物塊重，約束力，對鉛垂軸取矩和始終為零，質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即常數(shù)，因系統(tǒng)初始靜止，故有 由對時(shí)間求導(dǎo)可得，設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為，則由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論 可得 則任一瞬時(shí)系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為 則可得 將上式對時(shí)間求導(dǎo)則可得轉(zhuǎn)臺(tái)角加速度 例5.均質(zhì)鼓輪重，半徑為，對轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑為，在半徑為的軸頸上繞一不可伸長的細(xì)繩，繩端系一重為的重物，可變形的細(xì)繩簡化一彈性剛度系數(shù)為的彈簧繞于輪緣上，

8、試列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。均質(zhì)鼓輪對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。解：研究對象：整個(gè)系統(tǒng)。受力分析：如圖所示，靜止時(shí)系統(tǒng)處于平衡。運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)+平動(dòng)，取鼓輪轉(zhuǎn)角坐標(biāo)，并取系統(tǒng)靜平衡時(shí)轉(zhuǎn)角坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)靜平衡時(shí)鼓輪靜轉(zhuǎn)角為，則由靜平衡方程 再由質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動(dòng)量矩定理圖12-12 即有 整理為 為一單自由度無阻尼的振動(dòng)方程。§12-3剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.平行移軸定理例3.如圖所示的鐘擺，已知均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，桿長為，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量，直徑為，圖示位置時(shí)擺的角速度為。試求擺對于通過點(diǎn)的水平軸的動(dòng)量矩。圖12-18解：本題先用組合法計(jì)算擺對于水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即 其中 而圓盤對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用平行軸

9、定理計(jì)算 得 于是擺對于水平軸的動(dòng)量矩為 例4 直徑為，質(zhì)量為的均質(zhì)圓盤，在離圓心處挖去一半徑為的圓，如圖所示，試求其對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖12-19解：把該物體看成由半徑分別為及的兩個(gè)均質(zhì)圓盤組成，設(shè)這兩個(gè)圓盤的質(zhì)量分別為和，它們對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、，則物體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 由于 得 因，故，。將,代入上式，得 例4.圓輪的輞重，外徑為，內(nèi)徑為，輪輻為6根均質(zhì)桿，各重。一繩跨過圓輪，兩端懸掛重及的重物。設(shè)圖示瞬時(shí)圓輪以角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求整個(gè)系統(tǒng)對軸的動(dòng)量矩。解：輪輞的面積質(zhì)量密度圖12-20§12-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例1.復(fù)擺（物理擺）如圖所示，擺的質(zhì)量為，質(zhì)心為，擺對懸掛點(diǎn)（或懸

10、點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。試求復(fù)擺微幅擺動(dòng)的周期。解：取為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?。?fù)擺在任意位置處的受力如圖所示，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，得圖12-22當(dāng)復(fù)擺微幅擺動(dòng)時(shí)，有，此時(shí)，上式可改寫為 此微分方程的解為 這是復(fù)擺微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。其中為角振幅，為初相，由上式可得到復(fù)擺微小擺動(dòng)時(shí)的周期為 工程中，對于幾何形狀復(fù)雜的物體，常用實(shí)驗(yàn)方法測定其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中，復(fù)擺法是一種較為簡單的常用方法，即先測出零部件的擺動(dòng)周期后，應(yīng)用上式計(jì)算出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。    例如，欲求剛體對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則由上式，得由平行軸定理知 于是得 例2.均質(zhì)桿長，質(zhì)量為，其端用鉸鏈

11、支承，端用細(xì)繩懸掛，如圖所示，試求將細(xì)繩突然剪斷瞬時(shí)，鉸鏈的約束反力。圖12-23解：將細(xì)繩突然剪斷，桿受有重力，鉸鏈處的約束反力及。桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該瞬時(shí)，角速度，但角加速度。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 有得桿在細(xì)繩突然剪斷瞬時(shí)的角加速度 再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求處反力，在此瞬時(shí) 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理自然軸上的投影方程有 由此解得 這類問題稱為突然解除約束問題，簡稱為突解約束問題。該類問題的力學(xué)特征是：在解除約束后，系統(tǒng)自由度會(huì)增加；解除約束前后的瞬時(shí)，其一階運(yùn)動(dòng)量（速度、角速度）連續(xù)，但二階運(yùn)動(dòng)量（加速度、角加速度）會(huì)發(fā)生突變。因此，突解約束問題屬于動(dòng)力學(xué)問題，而不是靜力學(xué)問題。在本題中，在剪斷繩子前，

12、桿在重力、鉸鏈處的反力和繩子的拉力作用下保持平衡。在剪斷繩子后，此時(shí)桿可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)；在剪斷繩子前后的瞬時(shí)，角速度均為零，但角加速度發(fā)生突變。因此，本題中處的反力既不等于，也不等于，是動(dòng)約束力，必須用動(dòng)力學(xué)定理來求解。    從本題的討論可見，在外力已知的情況下，應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可求得剛體的角加速度，在剛體的運(yùn)動(dòng)確定后,如要求轉(zhuǎn)軸處的約束反力，則可應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。例3.為了測定軸承中的摩擦力矩，在軸上裝一質(zhì)量，回轉(zhuǎn)半徑的飛輪。當(dāng)飛輪有的轉(zhuǎn)速時(shí)，切斷動(dòng)力，任其轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)而停止。設(shè)摩擦力矩為一常量，試求其大小。解： 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程 即

13、有 積分有 式中 例4.均質(zhì)桿長，重，端剛連一重的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），桿上點(diǎn)連一彈簧常數(shù)為的彈簧，使桿在水平位置保持平衡。設(shè)給小球一微小初位移，而，試求桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖12-24解：受力分析如圖，設(shè)彈簧靜伸長，桿水平時(shí)平衡，有 由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有 將上式線性化，即考慮微振動(dòng)，角很小，則，則 整理有 對上式進(jìn)行積分有 注意初始條件為 ， 可確定積分常數(shù)例5.落重法測算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如圖裝置，為被測物體，若測得質(zhì)量為的重物下落一段距離所經(jīng)過的時(shí)間為，即可算出物體對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。鼓輪，滑輪及繩子的質(zhì)量以及各軸承處的摩擦都忽略不計(jì)，并假定繩子是不可伸長的。鼓輪半徑為。解：分別以物體及物體為研究對

14、象。 受力分析：物體及鼓輪組成的系統(tǒng)受有繩子張力，物體重力及軸承處的約束力（因?yàn)樗鼈儗S的矩都等于零，將不出現(xiàn)在動(dòng)量矩方程中，圖上亦未畫出）。物體受有重力，繩子張力。因?yàn)椴挥?jì)滑輪的質(zhì)量，所以。 運(yùn)動(dòng)分析：物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)角加速度為。設(shè)物體下落的加速度為。列出動(dòng)力學(xué)方程有 聯(lián)立以上二式，可解得 圖12-25可見物體勻加速下降，則有 由此求得 §12-5質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§12-6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程例1 半徑為質(zhì)量為的均質(zhì)圓輪沿水平直線純滾動(dòng)，設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為，作用于圓輪上的力偶矩為，圓輪與地面間的靜摩擦因數(shù)為，試求：（1）輪心的加速度；（2）地面對圓輪的約束力；（

15、3）使圓輪只滾不滑的力偶矩的大小。圖12-27解：受力分析如圖所示，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有 式中，與均為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，故按正負(fù)號(hào)規(guī)定，在前面加負(fù)號(hào)。因，所以，在純滾動(dòng)（即只滾不滑）的條件下，有 以上方程聯(lián)立求解，得 欲使圓輪只滾動(dòng)而不滑動(dòng)，必須滿足，即 于是得圓輪只滾不滑的條件為 對于均質(zhì)圓盤故     從本題可見，應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解動(dòng)力學(xué)的兩類問題時(shí)，除了要列出微分方程外，還需寫出補(bǔ)充的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程或其他所需的方程，在本題中補(bǔ)充方程為。例2 均質(zhì)細(xì)桿長，重，兩端分別沿鉛垂墻和水平面滑動(dòng)，不計(jì)摩擦，如圖所示。若桿在鉛垂位置受干擾后，由靜止?fàn)顟B(tài)沿鉛

16、垂面滑下。求桿在任意位置的角加速度。圖12-28解：桿在任意位置的受力如圖所示。為分析桿質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則質(zhì)心的坐標(biāo)為 將上式分別對時(shí)間求一階及二階導(dǎo)數(shù)，有 列出桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 即 （1） （2） （3）求解微分方程，將式(1)乘以 ，式(2)乘以 ，然后兩式相減得 （4）式(4)與式(3)聯(lián)立求解，可得任意瞬時(shí)的角加速度為     本題中，如要求桿在任意位置時(shí)的約束力，則可將上式分離變量后積分求出桿在任意瞬時(shí)的角速度，再代入式(1)、式(2)，即可求得約束力、，請讀者自行計(jì)算。例3.車輪的質(zhì)量為，半徑為，對中心的回轉(zhuǎn)半徑為，

17、在一力偶的作用下沿水平直線軌道純滾（無滑動(dòng)），力偶的力偶矩為常數(shù)。作用在輪心上的鉛垂力和水平力亦為常量。求輪心的加速度和車輪與地面間的摩擦力。若已知摩擦系數(shù)為，求車輪不產(chǎn)生滑動(dòng)的條件。圖12-29解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)，故應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程式求解。以車輪為研究對象。作用在車輪上的力有、和，其中摩擦力的方向向右。選如圖坐標(biāo)系，則車輪的運(yùn)動(dòng)微分方程式為 （1） （2） （3）由純滾運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，有 （4）還有 （5） 上面五個(gè)方程包含五個(gè)未知數(shù)，故可求解。將式（4）代入式（3），并與式（1）聯(lián)立消去，得輪心的加速度為 （6）將式（6）代入式（1），即可求得摩擦力，即 （7）由式（6）可知，若驅(qū)動(dòng)力

18、矩，則輪心的加速度為正，即沿軸正向，為加速運(yùn)動(dòng)。若，則輪心的加速度為負(fù)，即沿軸負(fù)向，為減速運(yùn)動(dòng)。顯然，若車原來靜止，必須，才能啟動(dòng)。由式（7）可知，摩擦力為正值，即與原設(shè)定的方向相同。當(dāng)，為正時(shí)，必大于阻力，才能使輪心產(chǎn)生向前的加速度，所以在汽車啟動(dòng)和加速時(shí)，作用在驅(qū)動(dòng)輪上的摩擦力不是阻力，而是驅(qū)動(dòng)力，也就是汽車的牽引力。在十分光滑的路上（如積雪和泥濘的道路），由于摩擦系數(shù)很小，地面便不能提供足夠的摩擦力用來克服汽車阻力而產(chǎn)生加速度，所以汽車不能前進(jìn)。若車輪和路面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，則地面所能提供的摩擦力的最大值為 不產(chǎn)生滑動(dòng)的條件為，即 或 取等號(hào)就是在不滑動(dòng)條件下汽車驅(qū)動(dòng)力矩的最大值。例4

19、.重物質(zhì)量為，當(dāng)其上落時(shí)，借一無重量且不可伸長的繩子，使鼓輪沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。鼓輪的質(zhì)量為，外輪半徑為，內(nèi)輪半徑為，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，定滑輪的質(zhì)量忽略不計(jì)，求重物的加速度。解：這是已知力求運(yùn)動(dòng)的問題。系統(tǒng)中包含兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體，其中鼓輪作平面運(yùn)動(dòng)，重物作直線運(yùn)動(dòng)。圖12-30根據(jù)系統(tǒng)約束情況，需將繩子切斷，分別以鼓輪和重物作為研究對象。鼓輪受的外力有重力，繩子拉力，法向約束力和摩擦力。選如圖坐標(biāo)系，則鼓輪的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （1） （2） （3）重物受的外力有重力，繩子張力，其運(yùn)動(dòng)微分方程為 （4）運(yùn)動(dòng)學(xué)條件有 （5） （6） 由式（1）、（3）消去得 （7）由式（4）得 （8）而 （9）

20、將式（5）、（6）、（8）、（9）代入式（7），可得 所以重物的加速度為 方向向下例5.兩均質(zhì)圓柱和，質(zhì)量為和，半徑為和，繞以輕質(zhì)軟繩，繩子繞在兩圓柱的正中，圓柱繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)、圓柱在重力作用下向下運(yùn)動(dòng)，其軸線垂直于圖面。求、圓柱的角加速度和圓柱中心的加速度。圖12-31解：這是已知力求運(yùn)動(dòng)的問題。系統(tǒng)中包含兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體，柱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，柱作平面運(yùn)動(dòng)。將繩子切斷，分別以、柱為研究對象。、柱受力情況如圖。柱的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 （a）柱的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （b） （c）由運(yùn)動(dòng)學(xué)知柱中心的加速度為 （d）其中是牽連加速度，是相對加速度。由于，故由（a）、（c）式得 （e）由（a）式得 （f）將（d）式

21、代入（b）式得 （g）將（e）、（f）式代入（g）式，得 于是得 （h）這就是柱的角加速度。將（h）式代入（e）式得柱的角加速度為 （i）將（h）、（i）式代入（d）式得柱中心的加速度為 （j）例6.已知均質(zhì)桿重，求當(dāng)被剪斷的瞬時(shí)，繩中的張力。解：研究對象桿。受力分析如圖。運(yùn)動(dòng)分析為平面運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，剪斷瞬時(shí)點(diǎn)速度為零，故只有切向加速度，并設(shè)為。設(shè)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為，方向如圖。由平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法公式有圖12-32 該瞬時(shí)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零，故上式中，。取軸如圖，建立剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 即 聯(lián)立上面二式，可解得 例7.均質(zhì)細(xì)長桿質(zhì)量為，長為，在鉛垂位置由靜止釋放，借端的小滑輪沿傾角為的軌道

22、滑下，如圖所示，不計(jì)摩擦，不計(jì)小滑輪的質(zhì)量及尺寸。求剛釋放時(shí)點(diǎn)的加速度。解：研究對象：桿。受力分析如圖。運(yùn)動(dòng)分析：剛體平面運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度為，并設(shè)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為，方向逆時(shí)針如圖，則由求加速度的基點(diǎn)法公式有 由于該瞬時(shí)桿的角速度為零，故，圖12-33取、軸如圖，應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 即 聯(lián)立上三式，可解得 例8.半徑為的均質(zhì)圓柱體重，放在粗糙的水平面上，如圖所示，其質(zhì)心的初速度為，方向水平向右。同時(shí)，圓柱體如圖所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為。如圓柱體與水平面的摩擦系數(shù)為，問經(jīng)過多少時(shí)間，圓柱體才能滾動(dòng)而不滑動(dòng)，并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度，并分析此后圓柱體的運(yùn)動(dòng)。解：研究以象:圓柱

23、體。受力分析如圖。運(yùn)動(dòng)分析：圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，但點(diǎn)并不是速度瞬心，圓柱體不作純滾動(dòng)，與地面有相對滑動(dòng)，設(shè)任一瞬時(shí)圓柱體的圓柱體的角速度、角加速度及輪心的速度為、及，方向如圖所示。圖12-34由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有 聯(lián)立上四式，可得 分別積分，并注意初始條件為，得 當(dāng)圓柱體只滾不滑時(shí)應(yīng)有，設(shè)此時(shí)，則有 得 此時(shí) （以向右為正） （以為逆時(shí)針為正）此后運(yùn)動(dòng)分析如果，則時(shí)，、圓柱體向右純滾動(dòng)。如果，則時(shí)，、圓柱體向左純滾動(dòng)。如果，則時(shí)，、圓柱體停止運(yùn)動(dòng)。例9.一半徑為的均質(zhì)圓輪，在半徑為的圓弧面上只滾動(dòng)而不滑動(dòng)，初瞬時(shí)，而，求圓弧面作用在圓輪上的法向反力（表示為的函數(shù)）。 圖12-35解：研究對象為均質(zhì)圓輪。受力分析如圖所示。運(yùn)動(dòng)分析：均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，取弧坐標(biāo)及自然軸坐標(biāo)軸如圖，且有，則任一瞬時(shí)均質(zhì)圓輪質(zhì)心的速度為 質(zhì)心切向加速度為 質(zhì)心法向加速度 均質(zhì)圓輪純滾動(dòng)的角速度及角加速度為 應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程自然軸投影式 即 （a） （b） （c）式（c）代入式（a）有 積分上式，并注意初始條件 得 代入式（b）可得 例10.均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長為，端裝有小輪，小輪質(zhì)量不計(jì)，尺寸不計(jì)。在圖示位置由靜止開始倒下，求初瞬時(shí)地面作用于小輪的法向力。 圖12-36解：研究對象桿，受力分析如圖所示，顯然，則有，常量，初始靜止，則有常量，取直角坐標(biāo)系如圖，軸通過質(zhì)心。運(yùn)動(dòng)分