材料力學計算題庫

1、第一章緒論【例1-1】 鉆床如圖1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面 m-m上的內力?！窘狻浚?）沿m-m截面假想地將鉆床分成兩部分。取m-m截面以上部分進行研究 （圖1-6b），并以截面的形心 0為原點。選取坐標系如圖所示。（2） 為保持上部的平衡，m-m截面上必然有通過點 0的內力N和繞點0的力偶矩M。（3）由平衡條件EF- 0-A7- C2 = Of Pa - Af = 0.，.爲【例1-2】圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力p作用，已知邊長I-|=400mm，受力后沿x方向均勻伸長 =0.05mm。試求板中a點沿x方向的正應變?！窘狻坑捎诰匦谓孛姹“逖?x方向均勻受力，可認為板

2、內各點沿x方向具有正應力與正0.05麗x方向【例1-3】圖1-9b所示為一嵌于四連桿機構內的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD桿下移 b=試求薄板中a點的剪應變。【解】由于薄方板變形受四連桿機構的制約，可認為板中各點均產生剪應變，且處處相同。0.025250第二章拉伸、壓縮與剪切【例題】 一等直桿所受外力如 錯誤！未找到引用源。（a）所示，試求各段截面上的軸力， 并作桿的軸力圖。解：在AB段范圍內任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體（如錯誤!未找到引用源。（b）所示），假定軸力Fni為拉力（以后軸力都按拉力假設），由平衡方程Fx 0 , Fni 300得Fni 30kN結果為正值，故F

3、ni為拉力。同理，可求得BC段內任一橫截面上的軸力（如錯誤!未找到引用源。（c）所示）為Fn2 30 4070（kN）在求CD段內的軸力時，將桿截開后取右段為脫離體（如錯誤！未找到引用源。（d）所示）,因為右段桿上包含的外力較少。由平衡方程Fx 0 ,Fn3 30 20 0得Fn3 30 2010(kN)結果為負值，說明FN3為壓力。同理，可得DE段內任一橫截面上的軸力 FN4為Fn4 20kN(a)40kN80kN30kNA30BNA (a) B 30kN30kN40kN(a)80kN40kN30kN30kNDC 40kN20kN30kN30kN20kN80kN20kN(b)A(a)F 30

4、kN20kN30kN(a)30kN(a)(b)(c)(d)(e)(f)(cA(b) 30kN30kN40kNI30kN(b)B30kN80bN30kA30®FC 40kN)kN30kN 30kN B20kN CF N1(c)30kN30kN40kN(e) 40kN0kN(d)FN2fD80kNb40kNEF N340kNC-30kN20kNF N220kN(d)F N2f (c)30kN20kNN2N330kN20kN(d)(e)(f)2fflN20kN(c)(f)(d)(e)30kN(f)30kN30kN(e)70kN(e)Fn3 40kN30kN(f)70kN0kN30kN30k

5、N20kN7Fn2F N430kNF N420kN70kN(d)FN43N0kN 70kN 230kN Q0NN(e) 20kN F n470kN 20kN20kNFN420kN20kN20kN20kN10kN20kN10kN(f)圖2. 1 例題圖【例題】 一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖所示。已知P 40kN。試求荷載引起的最大工作應力。解：首先作柱的軸力圖，如圖(b)所示。由于此柱為變截面桿，應分別求出每段柱的橫 截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。I I兩段柱橫截面上的正應力，分別由已求得的軸力和已知的橫截面尺寸算得0.69(MPa)(壓應力)0.

6、88(MPa)(壓應力)FN140 103N1A (240mm)(240mm)A (370mm)(370mm)FN2120 103N由上述結果可見，磚柱的最大工作應力在柱的下段，其值為0.88MPa，是壓應力?！纠}】 一鉆桿簡圖如圖(a)所示，上端固定，下端自由，長為I，截面面積為 A，材料容重為 。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應力沿桿長的分布規(guī)律。解：應用截面法，在距下端距離為x處將桿截開，取下段為脫離體(如圖(b)所示)，設下段桿的重量為G(x)，則有G(x) xA(a)設橫截面上的軸力為 Fn(x)，則由平衡條件(a)(b)圖例題圖£Jc!>!一(a)(b)(c)圖

7、例題圖式中FN,max為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖(C)所示。那么橫截面上的應力為即應力沿桿長是x的線性函數(shù)。當 x 0 時， (0)0Fn(x)A(d)當x I時，(I)maxFx 0，F(xiàn)n(x) G(x) 0(b)將(a)式值代入(b)式，得Fn(x)A x(c)即Fn(x)為x的線性函數(shù)。當x0 時，F(xiàn)n(0)0當xI 時，F(xiàn)n(I)FN,maxA I式中max為應力的最大值，它發(fā)生在上端截面，其分布類似于軸力圖。【例題】氣動吊鉤的汽缸如圖(a)所示，內徑 D 180mm，壁厚 8mm，氣壓p 2MPa，活塞桿直徑d 10mm，試求汽缸橫截面 B B及縱向截面C C上

8、的 應力。解：汽缸內的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產生拉應 力。(1) 求橫截面B B上的應力。取B B截面右側部分為研究對象 (如圖(c)所示)，由平 衡條件圖(2)求縱截面C C上的應力。取長為 件I例題圖l的半圓筒為研究對象(如圖(d)所示)，由平衡條Fy0 ，0 Pl sin2Fn12Fx 0 ,(D4d2)PFn0當D d時，得B -B截面上的軸力為Fn-d24pBB截面的面積為A(D )(D2) D那么橫截面B B上的應力為FnxAD2p4DDp41804211.25(MPa)x稱為薄壁圓筒的軸向應力。得C C截面上的內力為2FN1plDC C截面的面積為

9、C C上的應力為當D > 20時，可認為應力沿壁厚近似均勻分布，那么縱向截面AplD2lpD 180 22 822.5(MPa)y稱為薄壁圓筒的周向應力。計算結果表明：周向應力是軸向應力的兩倍。【例題】 螺紋內徑d 15mm的螺栓，緊固時所承受的預緊力為F 22kN。若已知螺栓的許用應力150MPa，試校核螺栓的強度是否足夠。解：(1) 確定螺栓所受軸力。應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力，有Fn F 22kN(2) 計算螺栓橫截面上的正應力。根據(jù)拉伸與壓縮桿件橫截面上正應力計算公式 (2-1)，螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力為3124.6 (MPa)FnF 4 22

10、10T2A d 3.14 154(3) 應用強度條件進行校核。已知許用應力為 150(MPa)螺栓橫截面上的實際應力為124.6MPa v 150 (MPa)所以，螺栓的強度是足夠的。【例題】 一鋼筋混凝土組合屋架， 如圖(a)所示，受均布荷載q作用，屋架的上弦桿 AC 和BC由鋼筋混凝土制成， 下弦桿AB為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。 已知：q 10kN/ m , l 8.8m , h 1.6m，鋼的許用應力170 MPa，試設計鋼拉桿 AB的 直徑。解：(1) 求支反力Fa和Fb，因屋架及荷載左右對稱，所以Fa Fb 】ql 1 10 8.8 44(kN)2 2(b)圖例題圖(2) 用截

11、面法求拉桿內力Fnab，取左半個屋架為脫離體，受力如圖(b)所示。由Me 0 , Fa 4.4q -24F nab1.6 0得1A44 4.4108.8Fnab12Fa 4.4_ql2 /1.6860.5(kN)8 1.6(3)設計Q235鋼拉桿的直徑。由強度條件F nabA4 Fnab21.29(mm)【例題】防水閘門用一排支桿支撐著，如圖(a)所示，AB為其中一根支撐桿。各桿為d 100mm的圓木，其許用應力10MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個實際問題， 在設計計算過程中首先需要進行適當?shù)睾喕?，畫出簡化后的計算簡圖，然后根據(jù)強度條件進行計算。(1)計算簡圖。防水閘門在水壓作用下可

12、以稍有轉動，下端可近似地視為鉸鏈約束。AB桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有轉動，故亦可簡化為鉸鏈約束。于 是AB桿的計算簡圖如圖(b)所示。圖例題圖(2) 計算AB桿的內力。水壓力通過防水閘門傳遞到AB桿上，如圖(a)中陰影部分所示,每根支撐桿所承受的總水壓力為Fp其中 為水的容重，其值為10 kN/ m3; h為水深，其值為3m ； b為兩支撐桿中心線之間的距離。于是有1 323Fp 10 103 b 45 10 b2根據(jù)如圖(c)所示的受力圖，由平衡條件M c 0 ，F(xiàn) p 1F nabCD 0其中CD 3 sin432.4(m)3242得Fp45103b3F nab18

13、.7510 b2.42.4(3)根據(jù)AB桿的強度條件確定間距b的值。由強度條件F NABA34 18.75 10 b/L w, d210 1 06 3.14 0.12b w334.19(m)4 18.75104 18.75 10【例題】 三角架ABC由AC和BC兩根桿組成，如圖 所示。桿AC由兩根No.14a的 槽鋼組成，許用應力160 MPa ；桿BC為一根No.22a的工字鋼，許用應力為100 MPa。求荷載F的許可值F。解:(1)求兩桿內力與力F的關系。取節(jié)點C為研究對象，其受力如圖(b)所示。節(jié)點C的平衡方程為Fx0， FnbccosF NACcos066Fy0 ， FnbcsinFn

14、acsinF 066解得(2)計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿AC和BC的橫截面面積分別為Aac 18.51 10 4 2 37.02 10 4m2，AbC 42 10 4m2。根據(jù)強度條件得兩桿的許可軸力為Fnac (160 106) (37.02 10 4)592.32 103(N)592.32(kN)FnbC (100 106) (42 10 4) 420 103(N) 420(kN)(3) 求許可荷載。將Fnac和Fnbc分別代入(a)式，便得到按各桿強度要求所算出的許可荷載為Fac Fnac 592.32kNFbcFnbc 420kN所以該結構的許可荷載應取 F 【例題】橫截面面積

15、分別為420kN 。(1)作軸力圖；已知階梯形直桿受力如圖(a)所示，材料的彈性模量E 200GPa，桿各段的AAB=ABc=1500mm2, AcD=1000mm2。要求：(2)計算桿的總伸長量。圖例題圖解：(1)畫軸力圖。軸力各不相同。應用截面法得因為在 A、B、C、D處都有集中力作用，所以 AB、BC和CD三段桿的AB 300 100 300100(kN)FnbC 300 100200(kN)Fncd 300(kN)軸力圖如圖(b)所示。(2)求桿的總伸長量。因為桿各段軸力不等，且橫截面面積也不完全相同，因而必須分 段計算各段的變形，然后求和。各段桿的軸向變形分別為FnablAB1001

16、03300EAab2001031500FNBCl BC200103300EABC200而1500FNCDlCD300103300EAcd20010310000.1(mm)0.2(mm)0.45(mm)IbcIcDlAB桿的總伸長量為3li 0.10.2 0.450.55(mm)i 1【例題】如圖(a)所示實心圓鋼桿 AB和AC在桿端A鉸接，在A點作用有鉛垂向下的力F。已知F30kN， dAB=10mm， dAc=14mm，鋼的彈性模量 E 200GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。圖例題圖A點有位移，為求出 在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化 (b)所示，由節(jié)點A的平衡條件，有F

17、x0，F(xiàn)ncSin30 °FNB Sin45°0Fy 0， Fnc cos30°Fnbcos45° F 0解：(1)利用靜力平衡條件求二桿的軸力。由于兩桿受力后伸長，而使 各桿的伸長，先求出各桿的軸力。 忽略不計。以節(jié)點 A為研究對象，受力如圖解得各桿的軸力為Fnb0.518F 15.53(kN)，F(xiàn)NC 0.732F21.96kN 計算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有F nb Ib15.53 1032EAb9200 1042(0.01)F ncIc21.961030.8 2EAc200 109(0.014)241.399(mm)1.142(mm)1

18、blc(3) 利用圖解法求 A點在鉛垂方向的位移。如圖(c)所示，分別過 AB和AC伸長后的點 Ai和A2作二桿的垂線，相交于點A，再過點A作水平線，與過點 A的鉛垂線交于點 A，則AA便是點A的鉛垂位移。由圖中的幾何關系得cos(45AAlcAacos(30可得tan 0.12，6.87AA 1.778(mm)所以點A的鉛垂位移為° 1.765(mm)從上述計算可見，變形與位移既有聯(lián)系又有區(qū)別。位移是指其位置的移動， 而變形是指構件尺寸的改變量。變形是標量，位移是矢量。【例題】 兩端固定的等直桿 AB，在C處承受軸向力F (如圖(a)所示)，桿的拉壓剛度 為EA，試求兩端的支反力。

19、解：根據(jù)前面的分析可知，該結構為一次超靜定問題，須找一個補充方程。為此，從下 列3個方面來分析。(C)AA1 11C11I1£FT FIFR 1圖例題圖(1)靜力方面。桿的受力如圖(b)所示?？蓪懗鲆粋€平衡方程為B為多(2)幾何方面。由于是一次超靜定問題，所以有一個多余約束，設取下固定端余約束，暫時將它解除，以未知力Frb來代替此約束對桿 AB的作用，則得一靜定桿（如圖（C）所示），受已知力F和未知力Frb作用，并引起變形。設桿由力F引起的變形為If（如圖（d）所示），由Frb引起的變形為Ib（如圖（e）所示）。但由于B端原是固定的，不能上下移動，由此應有下列幾何關系IflB0(b)

20、（3）物理方面。由胡克定律，有Fa.FrbIIfIb(c)EAEA將式（c）代入式（b）即得補充方程FaFrbI0(d)EAEA最后，聯(lián)立解方程（a）和（d）得FbFaFralFrbl求出反力后，即可用截面法分別求得AC段和BC段的軸力?！纠}】 有一鋼筋混凝土立柱，受軸向壓力P作用，如圖所示。 曰、Ai和E2、A2分別表示鋼筋和混凝土的彈性模量及橫截面面積，試求鋼筋和混凝土的內力和應力各為多少？解：設鋼筋和混凝土的內力分別為Fni和Fn2，利用截面法，根據(jù)平衡方程Fy0，F(xiàn) N1F N2這是一次超靜定問題，必須根據(jù)變形協(xié)調條件再列出一個補充方程。由于立柱受力后縮短I，剛性頂蓋向下平移，所以柱

21、內兩種材料的縮短量應相等，可得變形幾何方程為lil2(b)由物理關系知liFniIEiAF N2 1E2A2將式（c）代入式（b）得到補充方程為Fn2IE2A2FniIEiA聯(lián)立解方程（a）和（d）得EiAiFniEiAiE2A2E2A2EiAE2 A2Fn2PEi A|E2 A?i空E?A?圖例題圖可見FniEi AiFN2E2 A2即兩種材料所受內力之比等于它們的抗拉（壓）剛度之比。又Fn11E1PAE1AE2A2F N2E2廠2-PAE1AE2A2可見1E12 E2即兩種材料所受應力之比等于它們的彈性模量之比?！纠}】 如圖（a）所示，、桿用鉸相連接，當溫度升高溫度應力。已知：桿與桿由銅

22、制成，巳E2 100 GPa，i 2 16.5 106/(°C)，A A 200mm2 ;桿由鋼制成，其長度A 100mm2，312.5 10 6/(°C)。解：設Fn1、Fn2、Fn3分別代表三桿因溫度升高所產生的內力,N1、t 20° C時，求各桿的30 °，線膨脹系數(shù)l 1m， E3200 GPa,假設均為拉力，考慮A鉸的平衡（如圖（b）所示），則有Fx變形幾何關系為Fy2Fn1COSF N30，得 Fn1Fn32cosI1I3COS物理關系（溫度變形與內力彈性變形I3lt-cos3 tl皿E3 AFn1LcosE1A將（d）、（e）兩式代入（c）

23、得FN1 lcosE1A1COSE3A3cos(b)(c)(d)(e)(f)聯(lián)立求解（a）、（b）、（f）三式，得各桿軸力Fn3 1492NFn32cos860N桿與桿承受的是壓力，桿承受的是拉力，各桿的溫度應力為Ai28602004.3 (MPa)F N3A149270014.92 (MPa)【例題】 兩鑄件用兩鋼桿1、2連接，其間距為| 200mm（如圖41（a）所示）現(xiàn)需將制造 的過長 e 0.11mm的銅桿3（如圖（b）所示）裝入鑄件之間，并保持三桿的軸線平行且有間距 a。試計算各桿內的裝配應力。已知：鋼桿直徑d 10mm，銅桿橫截面為 20mm 30mm的矩形，鋼的彈性模量 E 21

24、0GPa,銅的彈性模量 E3 100GPa。鑄鐵很厚，其變形可略去不計。解：本題中三根桿的軸力均為未知，但平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。因鑄鐵可視為剛體，其變形協(xié)調條件是三桿變形后的端點須在同一直線上。由于結構對稱于桿3，故其變形關系如圖（c）所示。從而可得變形幾何方程為l3 e l1圖例題圖物理關系為llI3FniIEAF N31E3A3(b)(c)以上兩式中的 A和A3分別為鋼桿和銅桿的橫截面面積。式(c)中的I在理論上應是桿3的原長I e，但由于 e與I相比甚小，故用I代替。將(b)、(c)兩式代入式(a)，即得補充方程F N31E3 A3EA(d)在建立平衡方

25、程時，由于上面已判定1、2兩桿伸長而桿3縮短，故須相應地假設桿1、2的軸力為拉力而桿 3的軸力為壓力。于是，鑄鐵的受力如圖(d)所示。由對稱關系可知F N1F N2(e)另一平衡方程為Fx0， FN3 FN1 FN2 0(f)聯(lián)解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得裝配內力為Fn1Fn2eEAl1EA1 2E3A3FeE3A3F N3所得結果均為正，說明原先假定桿 各桿的裝配應力為FN11 2AeE 11 1 EA-E3A3E3A32EA1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。(0.11 10 3m) (210 109Pa)0.2m9322 (210 10 Pa) (10 10 m)4(100 1

26、09Pa) (20 10 3m) (30 10 3m)74.53 10 6 Pa 74.53(MPa)F N33AeEa1l . E3 A31 2EA19.51(MPa)【例題】兩塊鋼板用三個直徑相同的鉚釘連接，如圖(a)所示。已知鋼板寬度b 100mm，厚度t 10mm ,鉚釘直徑d 20mm ,鉚釘許用切應力lOOMPa ,許用擠壓應 力bs 300MPa，鋼板許用拉應力160MPa。試求許可荷載 F 。zR4 ,1(b)圖例題圖解：(1) 按剪切強度條件求F。由于各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤?，且外力作用線通過鉚釘組受剪面的形心，可以假定各鉚釘所受剪力相同。因此，鉚釘及連接板的受力情況如圖(b

27、)所示。每個鉚釘所受的剪力為根據(jù)剪切強度條件式(3-17)可得3 10023.14 20494200N94.2kN(2) 按擠壓強度條件求F。由上述分析可知，每個鉚釘承受的擠壓力為根據(jù)擠壓強度條件式(3-19)可得bsF W 3 bs Abs3 bs dt3 300 20 10 180000N180(kN)(3) 按連接板抗拉強度求F。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如圖(b)所示的是上板的受力情況及軸力圖。1 1截面內力最大而截面面積最小，為危險截面，則有Fni iA i由此可得F w (b d)t 160 (100 20) 10 128000N128kN根據(jù)以上計算結果，

28、應選取最小的荷載值作為此連接結構的許用荷載。故取F94.2kN【例題】兩塊鋼板用鉚釘對接，如圖(a)所示。已知主板厚度ti 15mm，蓋板厚度t2 10mm，主板和蓋板的寬度b 150mm，鉚釘直徑 d 25mm。鉚釘?shù)脑S用切應力100MPa，試對此鉚接進行校核。解:(1) 校核鉚釘?shù)募羟袕姸?。此結構為對接接頭。鉚釘和主板、蓋板的受力情況如圖(b)、圖(c)所示。每個鉚釘有兩個剪切面，每個鉚釘?shù)募羟忻嫠惺艿募袅镕 F2n 6o O I. I圖例題圖3300 1036 - 2524101.9(MPa) > 根據(jù)剪切強度條件式(3-17)Fs F/64超過許用切應力 %，這在工程上是允許

29、的，故安全。(2) 校核擠壓強度。由于每個鉚釘有兩個剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度相同，所受擠壓力也相同。而主板厚度為蓋板的倍，所受擠壓力卻為蓋板的2倍，故應該校核中段擠壓強度。根據(jù)擠壓強度條件式(3-19)bsFbsAbsF/3300 102 3"dt?3 25 15266.67(MPa) < bs剪切、擠壓強度校核結果表明，鉚釘安全。(3) 校核連接板的強度。為了校核連接板的強度，分別畫出一塊主板和一塊蓋板的受力圖及軸力圖，如圖(b)和圖(c)所示。主板在1 1截面所受軸力Fni iF ,為危險截面，即有FN1 1f(b d)t1300 103(150 25) 1

30、5160(MPa)主板在22截面所受軸力FN2 2Fn2 22 F /32 2A 2 (b 2d)t12-F，但橫截面也較1 1截面為小，所以也應校核,3蓋板在33截面受軸力FN3 3I，橫截面被兩個鉚釘孔削弱，應該校核，有FN3 3A3 3F /2(b 2d)t2300 1032 (150 2 25) 10150(MPa) < 結果表明，連接板安全。第三章扭轉【例題】傳動軸如圖 所示，其轉速n 200r/min，功率由A輪輸入，B、C兩輪輸出。若不計軸承摩擦所耗的功率，已知：P 500kW , P2150kW , F3150kW 及P4200kW。試作軸的扭矩圖。(a)<rIHI

31、IIIIIIIII T圖(kNm)1432(d)圖例題圖解:計算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為M19550 500 N m 23.88 103N m 23.88kN m200150M2M39550200N m200m49550200N m9.557.16 103N m 7.16kN m103N m 9.55kN mCA段內任一橫截面 2(c)可知(2)由軸的計算簡圖(如圖(b)所示)，計算各段軸的扭矩。先計算 2上的扭矩。沿截面 22將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖M x 0，T2 M 2 M 30得同理，在BC段內在AD段內T2M2 M314.32kN mT1M 27.16kN

32、 mT3 M 49.55kN m(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作扭矩圖(如圖(d)所示)。由扭矩圖可知，Tmax發(fā)生在CA段內，其值 為 14.32kN m?！纠}】某傳動軸，軸內的最大扭矩T 1.5kN m，若許用切應力=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。(1)實心圓截面軸的直徑d1。(2)空心圓截面軸，其內、外徑之比為d/D 0.9。解：(1)確定實心圓軸的直徑。由強度條件(3-13)式得而實心圓軸的扭轉截面系數(shù)為Wpdi316di16 (1.5 106N mm)3.14 50MPa53.5mm那么，實心圓軸的直徑為(2)確定空心圓軸的內、外徑。由扭轉強度條件以及空心圓軸

33、的扭轉截面系數(shù)可知，空 心圓軸的外徑為16T316(1.5106Nmm)3.14(10.94)50MPa4)76.3(mm)而其內徑為d 0.9D0.9 76.3mm 68.7mm重量比較。上述空心與實心圓軸的長度與材料均相同，所以，二者的重量之比 于其橫截面之比，即2 276.368.7253.520.3852 2(D d )4上述數(shù)據(jù)充分說明，空心軸遠比實心軸輕?！纠}】 階梯形圓軸如圖(a)所示，AB段直徑d1 100mm , BC段直徑d2 80mm。扭轉力偶矩Ma 14kN m , Mb 22kN m , MC 8kN m。已 知材料 的許用 切應力85MPa，試校核該軸的強度。解：

34、(1)作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖(b)所示。強度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強度。AB段1,max衛(wèi)WP1614 10 N mm3(100mm)1671.34(MPa) v BC段2,maxT2舛28 106N mm(80mm)31679.62(MPa) v (町14圖例題圖因此，該軸滿足強度要求?！纠}】一汽車傳動軸簡圖如圖（a）所示，轉動時輸入的力偶矩Me 9.56kN m，軸1的內外直徑之比-。鋼的許用切應力40MPa，切變模量G 80GPa，許可單位長2度扭轉角0.3C/m。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。<r圖例題圖解：求扭矩

35、T。用截面法截取左段為脫離體(1)（如圖（b） 所示），根據(jù)平衡條件得Me9.56kN根據(jù)強度條件確定軸的外徑。WpD316 (1D3D316161516TmaxW W16T(1 4)3316(9.5610 N m) 1610910 3 m 109mm15 (40106 Pa)根據(jù)剛度條件確定軸的外徑。TmaxGIPE(1324)D416d4 153216D >鼻 32 (14)180 132 (9.56 103N m) 16 180(80 109Pa) 150.3(°/m3125.5 10 m所以，空心圓軸的外徑不能小于125.5mm125.5m m，內徑不能小于 62.75

36、mm。第四章彎曲內力【例題】試求圖(a)所示連續(xù)梁的支反力。解：靜定梁的AC段為基本梁或主梁，CB段為副梁。求支反力時，應先取副梁為脫離體求出支反力Fb ;然后，取整體為研究對象，求出A處的支反力FAX，F(xiàn)Ay，Ma。(a)A/-=5kN-iT1(b)圖例題圖(1)取CB梁為脫離體，如圖(b)所示，由平衡方程M C 0， FB5 Me q 3 2.50FB 29kN(2)取整體為脫離體，如圖(a)所示，由平衡方程Fx 0, Fax 0Fy 0，F(xiàn)AyFB F q 30FAy 81kNM A 0， M RA 96.5kN m上述求得的約束反力為正值，說明假定的約束反力方向與實際情況一致。為了校核

37、所得支反力是否正確，也可取 AC梁為脫離體，驗證所求的支反力是否滿足平衡條件?！纠}】 梁的計算簡圖如圖(a)所示。已知F1、F2，且F2 F1，以及尺寸a、b、l、c 和d。試求梁在E、F點處橫截面上的剪力和彎矩。解：為求梁橫截面上的內力一一剪力和彎矩，首先求出支反力FA和Fb(如圖所示)。由平衡方程M A 0， FBlF1 a F2b 0MB 0,FAlF1(l a)F2(l b) 0解得FaFi(l a) F2(l b)lFiaF2bl,卜B圖例題圖當計算橫截面E上的剪力FsE和彎矩Me時，將梁沿橫截面 E假想地截開，研究其左段梁，并假定Fse和Me均為正向，如圖(b)所示。由梁段的平衡

38、方程Fy 0， Fa fse 0可得F se F a由M E 0，M E FAc 0可得M E FAc結果為正，說明假定的剪力和彎矩的指向和轉向正確，即均為正值。讀者可以從右段梁(如圖(c)所示)來計算Fse和M e以驗算上述結果。計算橫截面F上的剪力Fsf和彎矩Mf時，將梁沿橫截面F假想地截開，研究其右段梁,并假定Fsf和Mf均為正向，如圖(d)所示。由平衡方程F y0， F sfF B0可得F SFMf0 , M FFB d0可得MfFBd結果為負，說明與假定的指向相反(Fsf)；結果為正(Mf)，說明假定的轉向正確。 將Fa 和FB代入上述各式即可確定 E、F截面的內力值?！纠}】 如圖

39、(a)所示為一在整個長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載 集度qo，幾何尺寸如圖所示。試求 C、B兩點處橫截面上的剪力和彎矩。y (-r+ t V 1 f t fT卡T L yA.-az圖例題圖則不必解：當求懸臂梁橫截面上的內力時，若取包含自由端的截面一側的梁段來計算,求出支反力。用求內力的簡便方法，可直接寫出橫截面C上的剪力FSC和彎矩MC。nFscFi 1_qeaMeCa21 a3qe a6有三角形比例關系，可得aqeq0 ,I則Fsc2q°a2lMe3qoa6l【例題】 如圖(a)所示的懸臂梁，自由端處受一集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：為計算方便，將坐標

40、原點取在梁的右端。利用求內力的簡便方法，考慮任意截面x的右側梁段，則可寫出任意橫截面上的剪力和彎矩方程：Fs(x) FM (x) Fx(0 w x w I)(b)由(a)式可見，剪力圖與x無關，是常值，即為水平直線，只需確定線上一點，例如x 0處，F(xiàn)s F ,即可畫出剪力圖(如圖(b)所示)。由式(b)可知，彎矩是x的一次函數(shù)，彎矩圖是一斜直線，因此，只需確定線上兩點，如x 0處，M 0, x I處，M FI，即可繪出彎矩圖(如圖(c)所示)。冋f（c）圖例題圖q的均布荷載作用。試作梁的剪力【例題】如圖所示的簡支梁，在全梁上受集度為 圖和彎矩圖。解：對于簡支梁，須先計算其支反力。由于荷載及支反

41、力均對稱于梁跨的中點，因此, 兩支反力（如圖（a）所示）相等。FaFb任意橫截面x處的剪力和彎矩方程可寫成Fs(x) Fa qxqxM (x) Fax qx2qx2qlx2彎矩圖為拋物線。由上式可知，剪力圖為一傾斜直線，出剪力圖和彎矩圖（如圖（b）和圖（c）所示）。斜直線確定線上兩點,仿照例題中的繪圖過程，即可繪 而拋物線需要確定三個點以上。何(b)圖例題圖Fs由內力圖可見，梁在梁跨中點橫截面上的彎矩值為最大,0;兩支座內側橫截面上的剪力值為最大,Fs,maxM max也，而該截面上的8（正值，負值）。圖?！纠}】如圖（a）所示的簡支梁在C點處受集中荷載力F作用。試作梁的剪力圖和彎矩解：首先由

42、平衡方程Mb 0和Ma0分別算得支反力（如圖所示）為Fbl由于梁在C點處有集中荷載力 F的作用,FaFb蟲l顯然，在集中荷載兩側的梁段，其剪力和彎圖例題圖對于AC段梁，其剪力和彎矩方程分別為Fs(x)Fa(0 < x< a)M (x)Fax(0 w x w a)對于CB段梁，剪力和彎矩方程為F(lb)FaFs(x)Fa Fll(a w x w l)FaM (x) Fax F(x a)(lx)(a w x w l)由(a)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的剪力圖各為一條平行于(b)(c)(d)x軸的直線。由(b)、(d)兩式可知，左、右兩段的彎矩圖各為一條斜直線。根據(jù)這些方程繪出的剪力

43、圖和彎矩圖如圖(b)和圖(c)所示。由圖可見，在b> a的情況下，AC段梁任一橫截面上的剪力值為最大，F(xiàn)Smax 史；而S， | 'Fab集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大，Mmax 竺；在集中荷載作用處左、右兩側截面l上的剪力值不相等?！纠}】圖(a)所示的簡支梁在 C點處受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：由于梁上只有一個外力偶作用，因此與之平衡的約束反力也一定構成一反力偶,A、B處的約束反力為MeMeF A,F Bl l由于力偶不影響剪力，故全梁可由一個剪力方程表示，即Fs(x)FaMe(0 w x a)而彎矩則要分段建立。AC 段:M(x) FaMe(0

44、 w x a)(b)CB段:M(x)Me牛(lx)(a xw l)(c)M eb "亠 Mmax 一(負值)。由式(a)可知，整個梁的剪力圖是一條平行于x軸的直線。由(b)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的彎矩圖各為一條斜直線。根據(jù)各方程的適用范圍，就可分別繪出梁的剪力圖和彎矩圖(如圖(b)和圖(c)所示)。由圖可見，在集中力偶作用處左、右兩側截面上的彎矩值有突變。若b>a，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側橫截面上,【例題】圖所示為一懸臂剛架，受力如圖所示。試作剛架的內力圖。解：計算內力時，一般應先求支反力。但對于懸臂梁或懸臂剛架，可以取包含自由端部分為研究對象，這樣就可以不

45、求支反力。下面分別列出各段桿的內力方程為Fn(x)0BC段：Fs(x)qx(0 w xw l)M (x)2qx2Fn (xi)qlBA段：Fs(xJf(0 w Xi w l)M (x)ql2FX!2 1在BA段中假定截面彎矩使外側受拉為正。根據(jù)各段的內力方程，即可繪出軸力、剪力和彎矩圖。如圖(b)、圖(c)和圖(d)所示。ql jqH H 11 H iCqlB昭Aj 亠lJl1iFn圖Fs圖(a)(b)(c)qiqlFn圖(a)圖例題圖rTHrnTTYr=+；Fs圖(b)(c)(d) (d)(b)(c)圖(續(xù))F作用，如圖(a)所O為極點，以0B為極【例題】一端固定的四分之一圓環(huán)在其軸線平面內

46、受集中荷載 示。試作曲桿的彎矩圖。解：對于環(huán)狀曲桿，應用極坐標表示其橫截面位置。取環(huán)的中心軸，并用表示橫截面的位置(如圖(a)所示)。對于曲桿，彎矩圖仍畫在受拉側。曲桿的彎矩 方程為M ( ) Fx FRsin(0 < w )2在上式所適用的范圍內，對取不同的值，算出各相應橫截面上的彎矩，連接這些點，即為曲桿的彎矩圖(如圖(b)所示)，由圖可見，曲桿的最大彎矩在固定端處的A截面上，其值為FR。BF4(bXb)圖例題圖(a )所示。試求當最大正應力a直接影響支座 A或B處截面及第五章彎曲應力【例題】 受均布荷載作用的工字形截面等直外伸梁如圖max為最小時的支座位置。解：首先作梁的彎矩圖(如圖(b)所示)，可見，支座位置跨度中央截面C上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應力相等，因此當截面的最大正、負彎矩相等時，梁的最大彎矩的絕對值為最小，即max Mmax為Wz最小。建立 |Mmax|MmaX|a ( 12)l 2(如圖坐和Izc,max30901-，所以3t,maxc,maxyi 1y2 3由于a應為正值，所以上式中根號應取正號，從而解得a 0.207【例題】 跨長l 2m的鑄鐵梁受力如圖(a)所示。已知材料的拉、壓許用應力分別為t 30MPa和c 90MPa。試根據(jù)截面