近世代數(shù)題庫(kù)

1、群、填空題1. 設(shè)f(x) X4是復(fù)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的一個(gè)映射，那么f 1 (1) =_.2. 設(shè) =(134),=(13)(24),貝U=.3. 群G的元素a的階是m , b的階是n , ab ba ,那么ab ，如果(n,m) = 1 ,貝U ab .4. 設(shè)a 是任意一個(gè)循環(huán)群.假設(shè)|a|=，那么a與 構(gòu)；假設(shè)| a|=n,貝卩a與同構(gòu).5. 設(shè)=14 235，= 153 24，那么 | = ,1 =.6. 設(shè)群G的階為m， a G,那么am.7. 設(shè)“是集合A的一個(gè)關(guān)系，如果“滿足 ，那么稱“是A的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.8. 設(shè)(23)(35) ，t= (1243)(235) S5，那么

2、ct =(表示成假設(shè)干個(gè)沒(méi)有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)， 是_L 奇、偶)置換.9. 設(shè)群G中元素a的階為m，如果an e，那么m與n存在整除關(guān)系為.10. 一個(gè)群G的非空子集H做成一個(gè)子群的充分必要條件是.11. 設(shè)G為群，假設(shè)對(duì)于任意的元a,b G,都有ab ba，貝U稱群G為群.12. n次對(duì)稱群Sn的階是.13. 設(shè)G=a是10階循環(huán)群，那么G的全部生成元有, G的子群有個(gè)，分別是.14. 設(shè)H是群G的子群，a,b G，那么Ha Hb .15. 設(shè)G=a是循環(huán)群，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)的充要條件是.16. 在3次對(duì)稱群S3中，H =(1),(123),(132) 是S3的一個(gè)正規(guī)子群，那么

3、商群Ss H中的元素(12) H =.17. 如果f是A與A間的映射，a是A的一個(gè)元，貝U f 1 f a18. 設(shè)集合A有一個(gè)分類，其中A與Aj是A的兩個(gè)類，如果A Aj ,那么Ai Aj .19. 凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)群都與一個(gè) 同構(gòu).20. 設(shè)G=a是12階循環(huán)群,那么G的生成元集合為 .21. 一個(gè)群G的一個(gè)子群H的右陪集或左陪集的個(gè)數(shù)叫做 H在G中的 .22. 設(shè)G是一個(gè)pq階群，其中p,q是素?cái)?shù)，那么G的子群的一切可能的階數(shù)是 丄23. 寫(xiě)出S3的一個(gè)非平凡的正規(guī)子群.24. 群G中的元素a的階等于50,那么a4的階等于25. 一個(gè)有限非可換群至少含有元素.26. 設(shè)G是p階群p是素

4、數(shù)，那么G的生成元有個(gè).27. 一個(gè)有限群中元素的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)群的28. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集，規(guī)定R的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算:a b 2ab ,右邊的乘法是普通乘法，就結(jié)合律、交換律而言，“ 適合如下運(yùn)算律：.29. 設(shè)H是群G的子群，a,b G，那么aH bH 30. 寫(xiě)出三次對(duì)稱群S的子群H 1 , 13的一切左陪集 .31. 如果G是一個(gè)含有15個(gè)元素的群，那么，G有 個(gè)5階子群，對(duì)于 a G ,那么元素a的階只可能是.32. 設(shè)G是一個(gè)pq階群，其中p,q都是素?cái)?shù)，那么G的真子群的一切可能的階數(shù)是, G的子群的一切可能的階數(shù)是.33. 群G中的元素a的階等于n ,那么ak的階等于n的充分必要條件是.3

5、4. 設(shè)(G , )是一個(gè)群，那么對(duì)于a,b G , ( ab) -1 =.35. 群中元素a的階為3n , ak的階為n,那么(k,3 n) =36 假設(shè)一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的方幕，那么G稱為 .37. 5-循環(huán)置換(31425)，那么 138設(shè)G為群，N G，且對(duì)于任意的a G，有，那么N叫做G的正規(guī)子群.39. 設(shè)G為乘群，a G，貝U能夠使得am e的最小正整數(shù)m，叫做a的.設(shè)G為加群，a G,貝唯夠使得的最小正整數(shù)m，叫做a的階.40. 設(shè) t= (1243)(235)S，那么 1 =.是(奇、偶)置換.41. 設(shè)是集合A的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，它決定 A的一個(gè)分類

6、：那么a所在的等價(jià)類a =.42. 設(shè)A= a,b, c,d ，那么A到A的映射共有 個(gè), A到A的一一映射共有 ， A A到A的映射共有 A上可以定義個(gè)代數(shù)運(yùn)算.43. 設(shè)G是6階循環(huán)群，那么G的生成元有個(gè).44. 非零復(fù)數(shù)乘群C中由i生成的子群是.45. (125)，(246)，貝U的階數(shù)等于46素?cái)?shù)階群G的非平凡子群個(gè)數(shù)等于.47. 設(shè)G是一個(gè)n階交換群，a是G的一個(gè)mm n階元，那么商群G a 的階等于.48. 設(shè) 是集合A到集合B的一個(gè)映射，那么存在B到A的映射 ，使 1A為；存在B到A的映射，使 1B 為49. 假設(shè)群G中的每個(gè)元素的階都有限,那么稱G為群.假設(shè)群G中除了單位元外,

7、其余元素的階都無(wú)限,那么稱G為群.50. n階循環(huán)群有個(gè)生成元,有且僅有個(gè)子群.51. 假設(shè)kn,那么n階循環(huán)群G a必有k階子群，其k階子群為52. 在同構(gòu)意義下,4階群只有兩個(gè)，一個(gè)是4階循環(huán)群，另一個(gè)是53. 在同構(gòu)意義下,6階群只有兩個(gè)，一個(gè)是6階循環(huán)群，另一個(gè)是54. 非交換群G的每個(gè)子群都是其正規(guī)子群，那么稱G為群.55. n 元置換(hi? ik)的階為 ，(怖2 ik)(j1j2jm) 1 二、選擇題1. 設(shè)A B R (實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射:x x 2, x R,那么是從A到B的 .A) 滿射而非單射；B)單射而非滿射;C)映射；D)既非單射也非滿射.2. S3中可以與

8、(123)交換的所有元素有.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)S3中的所有元素.3. 設(shè)Z15是以15為模的剩余類加群，那么Z15的子群共有丨個(gè).A) 2 B) 4 C) 6D) 8.4. 設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1, acx xac，那么x . A) bc 1a 1 B) c 1a 1 C) a 1bc 1 D) b 1ca .5. 設(shè)f是復(fù)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的一個(gè)映射.如果對(duì)任意的復(fù)數(shù)X，有f(x) x4，那么f 1(f (1)=().A) 1 ，-1； B) i，-i； C) 1，-1，i，-

9、i； D) 空集._6. 設(shè)A=所有實(shí)數(shù)，A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，那么以下映射作成A到A的一個(gè)子集A 的同態(tài)滿射的是().A) x 10x B) x 2x C) x xD) x x.7. 設(shè)G是實(shí)數(shù)集，定義乘法:a b a b k，這里k為G中固定的常數(shù)，那么群G,中的單位元e和元x的逆元分別是.A) 1 和 x ; B) 1 和 0; C) - k 和 x 2k ； D) k 和 (x 2k).8. 下面的集合對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算不能成為群的是().A)全體整數(shù)對(duì)于普通減法；B)全體不為零的有理數(shù)對(duì)于普通乘法；C)全體整數(shù)對(duì)于普通加法；D) 1 的3次單位根的全體對(duì)于普通乘法.9. 設(shè)G是群，

10、a,b,c是群G中的任意三個(gè)元素,那么下面階數(shù)可能不相等的元素對(duì)為 ().1 1A)ab,ba B) abc,bac C) a,bab D) a,a .10. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集合，規(guī)定R的元素間的四個(gè)關(guān)系如下,() 是R的等價(jià)關(guān)系.A) aRb a b; B) aRb ab 0; C) aRb a2 b20; D) aRb ab<0.11. 設(shè)G是一個(gè)半群，那么下面的哪一個(gè)不是做成群的充要條件().A) G中有左單位元，同時(shí)G中的每個(gè)元素都有左逆元；B) 對(duì)于G中任意元素a和b，G中恰好有一個(gè)元素x滿足a x = b ；同時(shí)G中恰好有 一個(gè)元素y滿足y a = b ；C) G中有單位元，同時(shí)

11、G中的每個(gè)元素都有逆元；D) 在G中兩個(gè)消去律成立.12. 設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類 H,aH,bH,cH .如果子群H的階是6,那 么G的階G 丨.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次對(duì)稱群Sa= (1),(12),(13),(23),(123),(132)，那么下面關(guān)于S3的四個(gè)論述中，正確的個(gè)數(shù)是().(1) S3是交換群；(2) S3的2階互異子群有三個(gè)；(3) S3的3階互異子群有兩個(gè)； (4) S3的元素(123)和(132)生成相同的循環(huán)群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 設(shè)Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有丨個(gè)。

12、A) 2B) 4 C) 6D) 815. 指出以下那些運(yùn)算是二兀運(yùn)算A)在整數(shù)集Z 上, a b -一b ； B)在有理數(shù)集Q上, a b|ab ；abC)在正實(shí)數(shù)集R 上, a b al nb ； D)在集合nZn0上，a b a b .16. 設(shè) 是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中a b max a,b 即取a與b中的最大者，那 么在Z中.A)不適合交換律；B)適合結(jié)合律；C)存在單位元；D)每個(gè)元都有逆元.17. 設(shè)f : GG2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么以下錯(cuò)誤的命題是 丨.A) f的同態(tài)核是G的不變子群； B) G2的不變子群的逆象是 G的不變子群；C) G的子群的象是G2的子群； D)G的不

13、變子群的象是G2的不變子群.18. 設(shè)G,G是兩個(gè)帶有乘法的非空集合，且GG，那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是(). _ _A) G是群時(shí)，G也是一個(gè)群；B) G是群時(shí)，G也是一個(gè)群；C) G是交換群時(shí)，G也是交換群；D) G的單位元的象是G的單位元.19. 設(shè)A為實(shí)數(shù)集，B位正實(shí)數(shù)集，如果A到B的映射：x 2x， x A，貝U是從A到B的.A滿射而非單射； B)單射而非滿射；C)映射；D)既非單射也非滿射.20. 設(shè)G是實(shí)數(shù)集，定義乘法:a b a b 1，那么群G,中的單位元e和元x的逆 元分別是.A) 1 和 1 x ; B) 1 和 2 x ； C) 0 和 2 x ； D) -1 和 x

14、1.21. 設(shè)N是群G的正規(guī)子群，且G關(guān)于N的商群G n為五階群.如果子群N的階是6,那么群G的階G A) 6 B) 36 C) 30D)25.22. 設(shè)集合A含有n個(gè)元素，那么A的子集共有()個(gè).D)2A) n!B) n2 C) 2n23. 以下法那么，()是集合A的代數(shù)運(yùn)算.A)A = N, aB)A=Z, aab2b那么S關(guān)于所給代數(shù)運(yùn)算作成的代數(shù)系統(tǒng)中的單位元和可逆元素分別為().A) c，a 與 bB)c，b 與 cC) b，c 與 dD)a，d 與 a.25. p(素?cái)?shù))階有限群的子群個(gè)數(shù)為().A) 0B) 1C) 2D)26. 6元置換23 1356的階數(shù)為A) 2B) 4C)

15、 5D) 827. M是正有理數(shù)集合，以下規(guī)定不是 M的關(guān)系的是A) aRb a b 是整數(shù)；B) -R-14a c a cC) aRb a b 15D)aRb ab 028. 設(shè)集合A含有n個(gè)元素，那么A的代數(shù)運(yùn)算共有() 個(gè).2A) n!B) n2C)nnD) nn三、判斷題1.設(shè)N是正整數(shù)集，a,b N規(guī)定aRb ab，那么R是N的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān) 系.2.如果群G中的每個(gè)元素都滿足方程x2 e,那么G必是交換群.3. 一個(gè)非交換群至少要有6個(gè)元素.4.群G的任意個(gè)子群的交仍是G的一個(gè)子群.5.四次交代群中存在6階子群.6.設(shè)M是非空集合，那么M M到M的每個(gè)映射都叫作M上的二元運(yùn)算.7

16、. f是A到A的單射，貝U f有唯一的逆映射f 1.8.如果循環(huán)群G a中生成元a的階是無(wú)限的，那么G與整數(shù)加群同構(gòu).9.如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群.10.群G的子群H是正規(guī)子群的充要條件為g G, h H;g 1Hg H .11.階為兩個(gè)互異素?cái)?shù)乘積的交換群一定是循環(huán)群.12.集合A的一個(gè)關(guān)系可以決定A的一個(gè)分類.13.有限群G的任一元素的階整除G的階.14.整數(shù)集按照普通乘法可以構(gòu)成一個(gè)群.15.循環(huán)群G < a >中生成元a的階是無(wú)限的，貝U G與整數(shù)加群同構(gòu).16.有限群G的任一子群N的階都能整除G的階.17. G是一個(gè)群，N是G的正規(guī)子群，那么 a G與N

17、中元素相乘可交換.18.在一個(gè)群G中，消去律不一定成立.19.任何一個(gè)k循環(huán)置換的階是k.20.集合A的一個(gè)分類決定A的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；反之，集合 A的元間的 一個(gè)等價(jià)關(guān)系也決定A的一個(gè)分類.21.階為素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群，循環(huán)群的階也一定是素?cái)?shù).22.群G的子群H 在 G中的指數(shù)為2,那么H 一定是G的正規(guī)子群.丿23 .設(shè) 為集合A到A的滿射，貝假設(shè)S是S的逆象，S 定是S的象；假設(shè)S是S的象，S也一定是S的逆象.24. N是群G的正規(guī)子群，H是N的正規(guī)子群，那么H是群G的正規(guī)子群.25. 一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài).26.個(gè)群G的子群H的左陪集個(gè)數(shù)和右陪集個(gè)數(shù)不一定相同.27.群G的

18、兩個(gè)正規(guī)子群的交集還是正規(guī)子群.28.循環(huán)群的子群也一定是循環(huán)群.29.全體有理數(shù)作成的集合對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)做成一個(gè)群.30.設(shè)G為群，它的兩個(gè)正規(guī)子群的交和乘積還是正規(guī)子群.31. 一個(gè)循環(huán)群32. 一個(gè)群的兩個(gè)不同的子集一定不會(huì)生成相同的子群.33.有理數(shù)加群與非零有理數(shù)乘群同構(gòu).34.無(wú)限循環(huán)群可與任何循環(huán)群同構(gòu).35.設(shè) 是集合X到集合Y的任意一個(gè)映射，A為X的非空子集,那么1( (A) A.36.設(shè) 是集合X到集合Y的任意一個(gè)映射，B為Y的非空子集，那么(1(B) B.37.設(shè) 是集合X到集合Y的任意一個(gè)映射，A，B為X的兩個(gè)非空子集,那么(1) (A B) (A)(B); (2)

19、(A B) (A)(B).38. G為一個(gè)群，a G,b G為有限階元,ab ba ,那么ab a b .39. G為交換群,且G中所有元素有最大階m,那么x G有xm e .40. G為一個(gè)群,a G, b G為有限階元,那么ab為有限階元.41.在一個(gè)有限群里，階大于2的元素個(gè)數(shù)必為偶數(shù).42.偶數(shù)階群必有2階元.43.設(shè)A,B,C是群G的3個(gè)子群，那么A(B C) AB AC.44.設(shè)A,B,C是群G的3個(gè)子群,那么A(B C) AB AC.45.交換群中所有有限階元作成一個(gè)子群.46.群G中所有有限階元作成一個(gè)子群.47.任何群都不能是兩個(gè)真子群的并.48.任何群都不能是三個(gè)真子群的并

20、.49.有限群的元素的階都有限50.無(wú)限群至少有一個(gè)無(wú)限階元.51.集合M的變換群G含有M的單射變換,那么G必為雙射變換群.52.集合M的變換群G可能既含有M的雙射變換，又含有M的非雙射變換. 丨53. M 2,集合M的全體非雙射變換關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)變換群.54.互不同構(gòu)的n階群只有有限個(gè).55.不相連的置換相乘可交換.97.置換(口2)(悶3)的階為2,36.56.當(dāng)n 3時(shí),n次對(duì)稱群Sn為無(wú)中心群.57. G為一個(gè)群，H G,A a,b,c,.為G關(guān)于H的一個(gè)左陪集代表系,那么A也 是G關(guān)于H的一個(gè)右陪集代表系.58.設(shè) G 為一個(gè)群，H G,K G,(G:H),(G:K)有限，貝

21、 U(G : H K) (G: H )(G : K).59.設(shè) G 為一個(gè)有限群，H G,K G,H K e,那么 HK H|K.60. G為n階群,kn,那么G必有k階子群.61. pq階(p, q為互異素?cái)?shù))交換群必為循環(huán)群.62.設(shè) 為群 G到G的同態(tài)滿射，a G與(a G有相同的階.63.設(shè)G與G各有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，且GG , G是群,那么G也是群.64.素?cái)?shù)階群是單群._65.設(shè) 是群G到群G的一個(gè)同態(tài)映射，H G ,那么1( (H) H .66.設(shè) 是群G到群G的一個(gè)同態(tài)滿射，那么G的含ker的子群與G的子群之間存 在一'一對(duì)應(yīng)關(guān)系.67. 任意一個(gè)無(wú)限集合可以與它的一個(gè)真子

22、集之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.68. 存在有限集合可以與它的一個(gè)真子集之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系69. 兩個(gè)有限集合之間存在雙射的充要條件是它們的元素個(gè)數(shù)相等.70. 設(shè)G為群，它的兩個(gè)子群的交和乘積還是子群.71.有限群中每個(gè)元素的階都有限，無(wú)限群中必有無(wú)限階元.72. 一個(gè)置換群中要么都是偶置換，要么奇偶置換各半._73.設(shè)G,G是兩個(gè)群，且GG，如果G是有限群，那么G必是有限群，而且|G 整除G .74.整數(shù)加群和它的任意一個(gè)非零子群同構(gòu).75.在同構(gòu)意義下，無(wú)限循環(huán)群只有一個(gè).76.在同構(gòu)意義下，n階循環(huán)群只有一個(gè).環(huán)與域復(fù)習(xí)題一、填空題1. 模12的剩余類環(huán) 乙2的特征是 它的全部單位為 .2.

23、 設(shè)R是有單位元的環(huán)，a是R中任一元素，那么由a生成的主理想a =.3. 模8的剩余類環(huán)Zb上的二次多項(xiàng)式X2 1在Zb內(nèi)的所有根為 .4. 設(shè)R是交換環(huán)，a是R的任意一個(gè)元素，那么由a所生成的主理想a的元素表達(dá)形式為.5. 設(shè)高斯整數(shù)環(huán)_ZJi a bi|a,b Z，其中i2二一1,那么Zi中的所有單位.6. 設(shè)乙=0,1,2, 3,4,5是模6的剩余類環(huán)，那么 乙中的所有零因子是 .R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，I是R的一個(gè)理想，那么R|是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I8. 設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)，其特征 n是一個(gè)有限數(shù)，那么n是.9. 除環(huán)的理想共有個(gè).10. 一個(gè)無(wú)零因子的 稱為整環(huán).11. 設(shè)Zx是整

24、系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)，x是由多項(xiàng)式x生成的主理想，那么 x = _ _.12. 設(shè)F是一含有4個(gè)元的域，那么F的特征是.13. 剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S = 0 , 2 , 4的單位元是.14. 一個(gè)環(huán)R的一個(gè)不等于R的理想U(xiǎn)叫做一個(gè)，假設(shè)除了 R同U自己外，沒(méi)有包含U的理想.15. 一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè).16. 實(shí)數(shù)域R的全部理想是.仃.一個(gè)環(huán)R的非空子集S做成一個(gè)子環(huán)的充分必要條件.18. 剩余類環(huán) 乙 的零因子個(gè)數(shù)等于 _ ，Z12的零因子個(gè)數(shù)等于 .19. 當(dāng)R是有單位元的交換環(huán)時(shí)，a R生成的主理想 a.20. 整環(huán)R的一個(gè)元 叫做R的一個(gè)，假設(shè) 是一個(gè)有逆元的元.21. 一個(gè)整環(huán)I叫做一個(gè)，假

25、設(shè)I的每一個(gè)理想都是一個(gè)主理想.22. 設(shè)R為環(huán)，a,b R，a 0,b0,且ab 0，那么a叫做環(huán)R的，b叫做環(huán)R的.25. 一個(gè)無(wú)零因子環(huán)R的非零元相同的對(duì)于加法階，叫做環(huán) R的.二26. 設(shè)F是一個(gè)含有p2個(gè)元的域，那么F的特征是27. 剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S= 0, 3,那么S的單位元是.28. R是一個(gè)特征為p的環(huán)，a,b R,那么(a b)p .29. R是一個(gè)單環(huán)，那么 R有日寸，R是一個(gè)域.30. N是環(huán)R的理想，rn是單環(huán)的充分必要條件是 31. R是有單位元的整環(huán)，那么R有子環(huán)與整數(shù)環(huán)同構(gòu)； ，那么R有子環(huán)與模p剩余類環(huán)同構(gòu)。32. R是一個(gè)無(wú)零因子環(huán)，R 2k，貝U R的特

26、征必為 .二、選擇題1. 以下集合關(guān)于所給的運(yùn)算不作成環(huán)的是.A整系數(shù)多項(xiàng)式全體Zx關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法；B有理數(shù)域Q上的n階矩陣全體Qn n關(guān)于矩陣的加法與乘法；C整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“：m,n Z,m n 0;D整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“： m, n乙m n 1.2. 設(shè)f :RR2是環(huán)同態(tài)滿射，f(a) b，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的為 丨.A)假設(shè)a是零元，那么b是零元；B) 假設(shè)a是單位元，那么b是單位元；C)假設(shè)a不是零因子，那么b不是零因子；D)假設(shè)R2是不交換的，那么R不交換.3. 整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是().A) 1個(gè)B) 2個(gè)C) 4個(gè)D)無(wú)限個(gè).4.

27、 設(shè)F是一個(gè)四元域，那么域F的特征為().A) 1 B) 2 C) 4 D) 0.5. 下面的四個(gè)群中，不是循環(huán)群的是().A)模12的剩余類加群；B)整數(shù)加群；C) U(Z 17); D) U(Z 8).6. 下面哪一個(gè)環(huán)必定是域().A)整數(shù)環(huán)；B) Z 37； C) Z 10; D) 四元數(shù)除環(huán).7. 模10的剩余類環(huán)乙。上二階全陣環(huán)M2(Z10)中以下元素可逆的是丨.A)B)C)D)8. 以下命題中，正確的選項(xiàng)是().A) 任意一個(gè)環(huán)R，必含有單位元；B) 環(huán)R中至多有一個(gè)單位元；C) 環(huán)R有單位元，那么它的子環(huán)也有單位元；D) 一個(gè)環(huán)與其子環(huán)都有單位元，那么兩個(gè)單位元一定相同.R的素

28、理想的是R.A)4; B)6; C)0 ;D)10. 以下命題正確的個(gè)數(shù)為A)1;B)2;C)3;D) 4. 整數(shù)環(huán)Z的非平凡素理想都是極大理想； 整數(shù)環(huán)Z上的一元多項(xiàng)式環(huán)Z x的非平凡素理想都是極大理想； 數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式環(huán)F x的主理想x是極大理想； R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，N是R的理想，R N是域，那么N是R的極大理想.三、判斷題1.除環(huán)是單環(huán)2.有限除環(huán)必為域.3. 一般的環(huán)R中以下運(yùn)算規(guī)那么成立：(a b)2 a2 2ab b2, a,b R.4.域和其子域有相同的單位元.5.除環(huán)R是無(wú)零因子環(huán).6.如果環(huán)R的階 2，那么R的單位元10.7.假設(shè)環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒(méi)有

29、右零因子.8 個(gè)環(huán)的理想必是一個(gè)子環(huán)，子環(huán)未必是理想 .9一個(gè)環(huán)沒(méi)有零因子，那么它的同態(tài)象也沒(méi)有零因子.10.一個(gè)環(huán)R有單位元，那么它的子環(huán)也有單位元.11.如果環(huán)R沒(méi)有右零因子，那么在環(huán)R上左消去律成立.12. N是環(huán)R的理想，I是N的理想，那么I必是環(huán)R的理想.13. R是整數(shù)環(huán)，R的理想4r r R等于由4生成的主理想 4.14.如果環(huán)R沒(méi)有左零因子，那么在環(huán)R上右消去律成立.15.一個(gè)環(huán)R的兩個(gè)子環(huán)S都有單位元，那么它們的單位元必定一致.16.域 Q (i) a bi|a,b Q 與域 Q (72)a b后 a,b Q 同構(gòu).17. R是偶數(shù)環(huán)，R的理想4r r R等于由4生成的主理想

30、4.18.設(shè)R是整數(shù)環(huán)，那么2, x是Rx的一個(gè)主理想.19.設(shè)R是有理數(shù)環(huán)，那么2, x是Rx的一個(gè)主理想.20.除環(huán)F的所有非零元集關(guān)于F的乘法構(gòu)成一個(gè)群.21.設(shè)R為整數(shù)環(huán)，p為素?cái)?shù)，那么R卩 為域.22.假設(shè)無(wú)零因子環(huán)R的特征是有限整數(shù)n,那么n定是素?cái)?shù).23.除環(huán)或域里一定沒(méi)有零因子.24. 一個(gè)除環(huán) -個(gè)整環(huán).25. 一個(gè)環(huán)R中可能沒(méi)有單位元，但假設(shè)有單位元，那么單位元必是唯一的.26.假設(shè)有單位元(0)的交換環(huán)R除了零理想同單位理想以外沒(méi)有其它的理 想，那么R 定是一個(gè)域.丨27. x是Qx的極大理想.丨28. x是Zx的極大理想.29. R是有單位元的交換環(huán),那么Rn n中方陣

31、A在Rnn中可逆的充要條件是 A在R 中可逆.30. R是有單位元的環(huán),1是R的單位元，那么1對(duì)加法的階數(shù)就是R的特征.31.設(shè)R是一個(gè)環(huán),|R 2,對(duì)a,b R,a 0,方程ax b在R中有解，那么R為一 個(gè)除環(huán).32.設(shè)R是有單位元的環(huán)，且R 2,那么R是單環(huán)的充要條件是全陣環(huán) Rn n是單 環(huán).33. R為偶數(shù)環(huán),4是R的極大理想,從而R 4是一個(gè)域.34. R為偶數(shù)環(huán),R的極大理想只有 2p , p為素?cái)?shù).35. R為偶數(shù)環(huán)，R的素理想只有0,R和4.36.整數(shù)環(huán)的每個(gè)理想都是主理想.37.域上的多項(xiàng)式環(huán)的每個(gè)理想都是主理想.38.整數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的每個(gè)理想都是主理想.39. 一個(gè)環(huán)

32、與它的子環(huán)都有單位元，那么它們的單位元一致.40. 一個(gè)域和他的子域有相同的單位元.41. 一個(gè)環(huán)的同態(tài)象沒(méi)有零因子，那么這個(gè)環(huán)沒(méi)有零因子.42.有限環(huán)的特征必有限，無(wú)限環(huán)的特征必?zé)o限.43. R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，A Rnn，當(dāng)A 0時(shí)，A可逆.44.整數(shù)環(huán)和它的任意一個(gè)非零子環(huán)同構(gòu).45.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S=0,3是有單位元的環(huán)._ _46.在乙6 x中,因?yàn)閤2 4 (x 2)(x 2),所以x24只有兩個(gè)根2, 2.47.有單位元交換環(huán)的極大理想必為素理想.48.域F的所有非零元集合關(guān)于F的乘法構(gòu)成一個(gè)交換群.R的中心必是環(huán)R的理想.50.個(gè)域不-個(gè)整環(huán).51 .域F的所有非零元

33、集合關(guān)于F的乘法構(gòu)成一個(gè)交換群.52.除環(huán)F的所有非零元集關(guān)于F的乘法構(gòu)成一個(gè)群.53.當(dāng)n 3時(shí),n次交代群 代是一個(gè)n 2重傳遞群.54.循環(huán)群的同態(tài)象必為循環(huán)群，循環(huán)環(huán)的同態(tài)象必為循環(huán)環(huán)55.設(shè)G,G是兩個(gè)群，是G到G的同態(tài)滿射，貝U G與G的子群之間可以建立保持包含關(guān)系的雙射.答復(fù)說(shuō)明題以下題均需給出肯定或否認(rèn)的答復(fù)，并說(shuō)明理由或給出反例X、Y都是有理數(shù)集合，法那么:- a b是否X到Y(jié)的映射？a2. X是數(shù)域F上全體n階方陣做成的集合，C為F上一個(gè)取定的可逆n階方陣，法那么(A) CAC 1是否X的雙射變換？3. X是數(shù)域F上全體n1階方陣做成的集合，法那么：A A是否X到丫的滿射？

34、4. X是數(shù)域F上全體n階方陣做成的集合，法那么 A、B |AB是否X的滿足結(jié)合律的代 數(shù)運(yùn)算？M的變換的乘法是否滿足交換律？(M,；),(M，可是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)且MM,當(dāng) 滿足交換律時(shí)，虧是否也滿足交換律？(m),(M,可是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)且m M ,當(dāng)三滿足交換律時(shí)，是否也滿足交換律？8.設(shè)X是有理數(shù)集合，X的關(guān)系aRb a b Z是否X的等價(jià)關(guān)系？9設(shè)X是實(shí)數(shù)集合，X的關(guān)系aRb ab 0是否X的等價(jià)關(guān)系？10. 是集合X到集合丫的映射，A,B分別是X、丫的非空子集合，1( (A) A是否 一定成立？11. 是集合X到集合丫的映射，A,B分別是X、丫的非空子集合，(1(B) B是否 一定成立？

35、12., 分別是集合A到B和集合B到C的映射，是滿射，是否一定是滿射？13., 分別是集合A到B和集合B到C的映射，是單射，是否一定是單射？14. G為一個(gè)有限半群且在G兩個(gè)消去律成立，G是不是一個(gè)群？15. G為一個(gè)群，它的每個(gè)元素都滿足方程 x2 e，G是一個(gè)交換群?jiǎn)幔?6. G為一個(gè)有限群，它的每個(gè)元的階是否都有限？17. G為一個(gè)無(wú)限群，它是否必有無(wú)限階元？18. G為一個(gè)群，G的中心C(G)是否一定是一個(gè)子群？19. G為一個(gè)群，代B,C是G的三個(gè)子集合，A(B C) (AB) (AB)是否成立？20. G為一個(gè)群，A,B,C是G的三個(gè)子集合，A(B C) (AB) (AB)是否成立？21. a,b G均為有限階元，ab是否為有限階元？22. G為一個(gè)偶數(shù)階群，G是否一定有一個(gè)2階元？23. G為一個(gè)群，它能否表成它的兩個(gè)真子群的并？24. G為一個(gè)群，H,K是它的兩個(gè)子群，HK是否G的子群？25. G為一個(gè)群，H,K是它的兩個(gè)正