同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)(上)D1_5極限運算法則

1、 第一章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第五節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限運算法則時, 有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和 . 設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)100 xx時 , 有2, 02當(dāng)200 xx時 , 有2取則當(dāng)00 xx22因此.0)(lim0 xx這說明當(dāng)0 xx 時,為無窮小量 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 無限個無限個無窮小之

2、和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 題 4 (2) )解答見課件第二節(jié)解答見課件第二節(jié) 例例5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè), ),(10 xxMu 又設(shè),0lim0 xx即,0,02當(dāng)),(20 xx時, 有M取,min21則當(dāng)),(0 xx時 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動 目錄 上頁 下

3、頁 返回 結(jié)束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是xxysin的漸近線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 .

4、若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保號性定理證明 .說明說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明說明: 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .n

5、nxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設(shè) n 次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為無窮小(詳見詳見P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,設(shè)BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小有界BA因此

6、由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項式 ,0)(0 xQ試證: .

7、)()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時,分子.22111

8、125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證證: Au

9、fau)(lim,0,0當(dāng)au0時, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)200 xx時, 有ax)(對上述取,min21則當(dāng)00 xx時ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim

10、61( 見見 P46 例例3 ) 原式 =uu61lim6166( 見見 P33 例例5 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 分母不為 0 )

11、0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt 0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 試確定常數(shù) a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此作業(yè)作業(yè)P48 1 （5），（），（7），（），（9），（），（12），（），（14） 2 （