大一函數(shù)的極限

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第四節(jié), )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極限 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限0 xx , 01. 0 xx 時函數(shù)時函數(shù) f (x) 以以A為極限的定義為極限的定義0 xx 0|0 xx Axf)(00 xxAxf)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 當(dāng)當(dāng)x與與x0充分靠近充分靠近(

2、但但)時時, f (x)與與A可以任意靠近可以任意靠近,要多近就能有多近要多近就能有多近.(2) 要要f (x)與與A多靠近多靠近,只須只須x與與x0靠近靠近(但但)到一定程度到一定程度后后, 就能多靠近就能多靠近.(3) 要要| f (x)-A|多小多小,只須只須| x-x0 |小到一定程度后小到一定程度后(但但),就能有多小就能有多小.(4), 0使得當(dāng)使得當(dāng)時時,定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時時, 有有 Axf)(則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的極限時的極限,Axfxx)(l

3、im0或或)()(0 xxAxf當(dāng)即即,0,0當(dāng)),(0 xx時時, 有有若若記作記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界函數(shù)局部有界(P30 性質(zhì)性質(zhì)2)這表明這表明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明證明. )(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當(dāng)00 xx時 , 0CC因此CCxx0lim總有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P28 例例3)例例2. 證明證明.lim00 xxxx證證:Axf)(0 xx欲使欲使,0取取,則當(dāng)則當(dāng)00 xx時時 , 必有必有0

4、)(xxAxf因此因此,)( Axf只要只要,0 xx00limxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明. 211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P29 例4)當(dāng)00 x.lim00 xxxx時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P29 例5)結(jié)論記住！結(jié)論記??！2. 保號性定理保號性定理定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當(dāng)xx. 0)(xf)0)(xf證略證略 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0

5、 x當(dāng)時, 有.)(AxfA當(dāng) A 0 時, 取正數(shù),A則在對應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P30 性質(zhì)3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx則. 0A)0(A思考思考: 若定理若定理 2 中的條件改為中的條件改為, 0)(xf是否必有是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P30推論1)3. 左極限與右極限左極限與右極限左

6、極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)),(00 xxx時時, 有有.)( Axf右極限右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)),(00 xxx時時, 有有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P30 定理2 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因為因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx

7、) 1(lim0 xx1顯然顯然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 XXAAoxy)(xfy A二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時有定義大于某一正數(shù)時有定義,若若,0X,)(,AxfXx有時當(dāng)則稱常數(shù)則稱常數(shù)時的極限時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作記作直線直線 y = A 為曲線為曲線)(xfy 的水平漸近線的水平漸近線,0 xxf當(dāng))(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A 為函數(shù)為函

8、數(shù)例例6. 證明. 0sinlimxxx證證:0sinxxx1取,1X,時當(dāng)Xx 0sinxx因此0sinlimxxx注注:就有故,0欲使,1x即,1x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .sin0的水平漸近線為xxyy(P27 例1)-40-20-60-0.10.1-0.050.05-0.150.15204060 xyxxysinx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的或X定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):保號性定理與左右極限等價定理思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限若極限