機理分析模型

1、 機理分析方法立足于揭示事物內(nèi)在規(guī)律機理分析方法立足于揭示事物內(nèi)在規(guī)律 機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識, 分分析其因果關(guān)系析其因果關(guān)系, 找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律.的認識來源的認識來源對現(xiàn)實對象對現(xiàn)實對象 *與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、經(jīng)濟與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、經(jīng)濟等方面的知識等方面的知識. *通過對數(shù)據(jù)和現(xiàn)象的分析對事通過對數(shù)據(jù)和現(xiàn)象的分析對事物內(nèi)在規(guī)律做出的猜想物內(nèi)在規(guī)律做出的猜想(模型假設(shè)模型假設(shè)). 模型特點：模型特點：有明確的物理或現(xiàn)實意義有明確的物理或現(xiàn)實意義 實際問題需尋求某個變量實際問題需尋求某個變量y 隨另一變量隨另一變

2、量 t 的的變化規(guī)律變化規(guī)律 ：y=y(t).直接求很困難直接求很困難 建立關(guān)于未知變量、建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程自變量的方程 建立變量能滿足建立變量能滿足的微分方程的微分方程 ？哪一類問題哪一類問題在工程實際問題中在工程實際問題中 * “改變改變”、“變化變化”、“增加增加”、“減少減少”等關(guān)鍵詞等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化提示我們注意什么量在變化. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞“速率速率”、“增長增長” “衰變衰變” ，“邊際的邊際的” ，常涉及到導(dǎo)數(shù)，常涉及到導(dǎo)數(shù). 建立方法建立方法常用微分方程常用微分方程運用已知物理定律運用已知物理定律 利用平衡與增長式利

3、用平衡與增長式 運用微元法運用微元法應(yīng)用分析法應(yīng)用分析法機理分析法機理分析法建立微分方程模型時建立微分方程模型時應(yīng)用已知物理定律，應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍 例例5.1.1 一個較熱的物體置于室溫為一個較熱的物體置于室溫為180c的的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后分鐘以后降到降到500c .想知道它的溫度降到想知道它的溫度降到300c 需要多少時需要多少時間？間？10分鐘以后它的溫度是多少？分鐘以后它的溫度是多少？ 牛頓冷卻（加熱）定律：牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為將溫度為T的物體的物體放入處于常溫放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，的介質(zhì)中時

4、，T的變化的變化速率速率正正比于比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差. . 分析分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡布均衡, ,保持為保持為m m，采用牛頓冷卻定律是一個，采用牛頓冷卻定律是一個相當好的近似。相當好的近似。 建立模型建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t0， “T的變化速率正比于的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯為翻譯為成成正正比比與與mTdtdT 數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言 .60)0(),

5、(TmTkdtdT建立微分方程建立微分方程其中參數(shù)其中參數(shù)k 0，m=18. 求得一般解為求得一般解為 ln(Tm)=k t+c,代入條件，求得代入條件，求得c=42 ，k= , 最后得最后得2116ln31 T(t)=18+42 , t 0. te2116ln31, 0, tcemTkt或或結(jié)果結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e該物體溫度降至該物體溫度降至300c 需要需要8.17分鐘分鐘. 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不不變的特性變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等. 利用變量間的

6、平衡與增長特性，可分析和利用變量間的平衡與增長特性，可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系. . 續(xù)例續(xù)例2.3 對某地區(qū)時刻對某地區(qū)時刻t t的人口總數(shù)的人口總數(shù)P(t)，除考慮個，除考慮個體的體的出生、死亡出生、死亡，再進一步考慮，再進一步考慮遷入遷入與與遷出遷出的的影響影響. . 在很短的時間段在很短的時間段t 內(nèi)，關(guān)于內(nèi)，關(guān)于P(t)變化的一個變化的一個最簡單的模型是：最簡單的模型是： t時間內(nèi)的人口增長量時間內(nèi)的人口增長量=t內(nèi)出生人口數(shù)內(nèi)出生人口數(shù)t內(nèi)死亡人口數(shù)內(nèi)死亡人口數(shù)+ t內(nèi)遷入人口數(shù)內(nèi)遷入人口數(shù)t內(nèi)遷出人口數(shù)內(nèi)遷出人口數(shù) t時間內(nèi)的凈改變量時間內(nèi)的凈改變量

7、=t時間內(nèi)輸入量時間內(nèi)輸入量t時間內(nèi)輸出量時間內(nèi)輸出量 般化般化更一更一基本模型基本模型 不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或微分方程微分方程. 輸入量：輸入量：含系統(tǒng)外部輸入及系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的量；含系統(tǒng)外部輸入及系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的量； 輸出量：輸出量：含流出系統(tǒng)及在系統(tǒng)內(nèi)部消亡的量含流出系統(tǒng)及在系統(tǒng)內(nèi)部消亡的量.此類建模方法的此類建模方法的關(guān)鍵關(guān)鍵是是分析并正確描述基本模型的右端，分析并正確描述基本模型的右端，使平衡式成立使平衡式成立 例例5.1.2 戰(zhàn)斗模型戰(zhàn)斗模型 兩方軍隊交戰(zhàn)，希望為兩方軍隊交戰(zhàn)，希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達到這場戰(zhàn)斗建立

8、一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達到如下目的：如下目的： 1. 1. 預(yù)測哪一方將獲勝？預(yù)測哪一方將獲勝？ 2. 2. 估計獲勝的一方最后剩下多少士兵？估計獲勝的一方最后剩下多少士兵？ 3. 計算失敗的一方開始時必須投入計算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？ 模型建立：模型建立：設(shè)設(shè) x(t) t 時刻時刻X方存活的士兵數(shù)；方存活的士兵數(shù)； y(t) t 時刻時刻Y方存活的士兵數(shù)；方存活的士兵數(shù)；假設(shè)：假設(shè)： 1 1）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗， x(t)與與y(t)都是連續(xù)變量都是連續(xù)變量. 2）Y方軍隊的一

9、個士兵在單位時間內(nèi)殺死方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 方軍隊方軍隊 a 名士兵；名士兵； 3）X 方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊方軍隊 b 名士兵；名士兵；t 時間內(nèi)時間內(nèi)X軍隊減少的士兵數(shù)軍隊減少的士兵數(shù) = t 時間內(nèi)時間內(nèi)Y軍隊消滅對方的士兵數(shù)軍隊消滅對方的士兵數(shù)平衡式平衡式 即有即有 x =ayt, 同理同理 y =bxt, 令令t 0, 得到微分方程組：得到微分方程組： 0, aaydtdx0, bbxdtdy 基本思想基本思想： 通過分析研究對象的有關(guān)變量在通過分析研究對象的有關(guān)變量在一個很短時間內(nèi)的變化情況一個很短時間內(nèi)的變化情況.

10、例例5.1.3 一個高為一個高為2米的球體容器里盛了一半米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為積為1 1平方厘米平方厘米. . 試求放空容器所需要的時間試求放空容器所需要的時間. .2米對孔口的流速做兩條假設(shè)對孔口的流速做兩條假設(shè) ： 1t 時刻的流速時刻的流速v 依賴于依賴于此刻容器內(nèi)水的高度此刻容器內(nèi)水的高度h(t). 2 整個放水過程無能整個放水過程無能量損失。量損失。 分析分析：放空容器放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零容器內(nèi)水的高度為零 模型建立：模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的流由

11、水力學(xué)知：水從孔口流出的流量量Q為通過為通過“孔口橫截面的水的體積孔口橫截面的水的體積V對時間對時間t 的的 變化率變化率”，即，即ghSdtdVQ262. 0 S孔口橫截面積（單位：平方厘米）孔口橫截面積（單位：平方厘米） h(t) 水面高度（單位：厘米）水面高度（單位：厘米） t時間（單位：秒）時間（單位：秒）當當S=1平方厘米，有平方厘米，有)1(262. 0dtghdV h(t)h+h 在在t，t+t 內(nèi)，水面高度內(nèi)，水面高度 h(t) 降至降至h+h(h0), 容器中水的體積的改變量為容器中水的體積的改變量為 V=V(h)V(h+h)=h3(r12+r22)o(h) r2ho(h)r

12、1r2222200)100(100hhhr 記記令令t 0, 得得 dV=r2 dh， （2） 比較比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：兩式得微分方程如下： .100,)200(262. 002thdhhhdtgh 積分后整理得積分后整理得 )31000700000(265. 42523hhgt 0h100 令令 h=0，求得完全排空需要約，求得完全排空需要約2小時小時58分分. 基本思想：基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系分析其因果關(guān)系, 找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律. 例例5.1.4（獨家廣告模型）（獨家廣告模型） 廣告是調(diào)整商品

13、廣告是調(diào)整商品銷售的強有力的手段銷售的強有力的手段, , 廣告與銷售量之間有什廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？分析分析 廣告的效果廣告的效果, 可做如下的條件假設(shè)：可做如下的條件假設(shè)： *1. 商品的銷售速度會因廣告而增大，當商品商品的銷售速度會因廣告而增大，當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值；限值；*2. 商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低；的增高而降低； *3. 選擇如下廣告策略，選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費用為：時刻的廣告費用為： .,0;0,)( ttAtA建模建模 記記 S(t) t 時刻商品的銷售速度；時刻商品的銷售速度； M 銷售飽和水平，即銷售速度的上限；銷售飽和水平，即銷售速度的上限； （0） 衰減因子，廣告作用隨時間的衰減因子，廣告作用隨時間的推移而自然衰減的速度推移而自然