大一學(xué)習(xí)微積分ch1-8by

1、1第一章第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對(duì)象研究對(duì)象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分微積分 (張建梅張建梅 馬慶華馬慶華 主編主編)1.8 無(wú)窮小的比較一無(wú)窮小的階一無(wú)窮小的階二等價(jià)無(wú)窮小二等價(jià)無(wú)窮小2一一. 無(wú)窮小的階無(wú)窮小的階無(wú)窮小之比無(wú)窮小之比的極限（的極限（0/0）可以出現(xiàn)各種情況：）可以出現(xiàn)各種情況：出現(xiàn)不同情況的原因是無(wú)窮小趨向于零的出現(xiàn)不同情況的原因是無(wú)窮小趨向于零的速度速度不同不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無(wú)窮小

2、都是無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限型）型）（0020limxxx; 2慢得多慢得多比比 xx, 3v定義定義1.8.1 ；記記作作高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比，稱稱如如果果)(,0lim)1( o 0.,且窮小是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)設(shè);,0lim)3(是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與稱稱如如果果 C.;1lim 記記作作是是等等價(jià)價(jià)的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與，稱稱如如果果特特殊殊地地， ;lim)(低低階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比，稱稱如如果果 . 0li

3、m)4(階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小的的是是，稱稱，如如果果kZkCk 4例例1.8.1 .tan4 ,0:3的四階無(wú)窮小的四階無(wú)窮小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四階無(wú)窮小的四階無(wú)窮小為為時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無(wú)窮小的三階無(wú)窮小為為xxx .sintan,0的階數(shù)的階數(shù)關(guān)于關(guān)于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 例例1.8.2 5一一. 等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小:,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.21cos1,1

4、,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( axaxln16解解xexx1lim0 1 xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 .1)1ln(0 xexxxx ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).1,0 xexx 時(shí)證明：當(dāng)例例1.8.3 則令,1uex),1ln(ux所以時(shí)且當(dāng), 0,0ux7注注: 在上面給出的常用等價(jià)關(guān)系中,自變量的極限過(guò)程 都是x0,而事實(shí)上,如果用u(x)代替x,只要保證 u(x)0 ,則等價(jià)關(guān)系依然成立.所以時(shí)當(dāng), 0)(,1)(xuxxxu例如例如 11l

5、n 1()xxx 8v定理定理1.8.1 , ,lim,limlim. 設(shè)是同一過(guò)程中的無(wú)窮小，且，存在 則證明: lim)lim( limlimlim.lim 求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或或分母或乘積因子中的無(wú)窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單乘積因子中的無(wú)窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無(wú)窮小代替，的無(wú)窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。9解解.)5(tansinlim220 xxx求例例1.8.4 ,0時(shí)當(dāng) x,sin22x

6、x所以,55tanxx220)5(tansinlimxxx220)5(limxxx25110解解.1cos1)1 (lim3120 xxx求例例1.8.5 ,0時(shí)當(dāng) x,311)1 (2312xx2202131limxxx32,211cos2xx.1cos1)1 (lim3120 xxx11v定理定理1.8.2 b 與a是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為 b =a+o(a) 必要性: 證明 所以b a=o(a)因?yàn)樵O(shè)ab 只需證b a=o(a) 01lim) 1lim(lim=-=-=-ababaab, 充分性: 設(shè)b=a+o(a) 則 1)(1lim)(limlim=+=+=aaaaaaboo,因

7、此ab 即b=a+o(a) 12所以當(dāng)x0時(shí) 有 sin x=x+o(x) tan x=xo(x) 例如 例例 6 因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí) sin xx tan xx 1cos x221x )(211cos22xoxx130lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無(wú)窮小的比較設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)14解答解答不能不能例當(dāng)例當(dāng) 時(shí)時(shí)x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無(wú)窮小量都是無(wú)窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無(wú)窮大不存在且不為無(wú)窮大故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí)x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.思考題思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？15練練 習(xí)習(xí) 題題167.)0(3-+aaxa對(duì)于對(duì)于x是是_階無(wú)窮小階無(wú)窮小 .8.無(wú)窮小無(wú)窮小xcos1-與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._,nm=二、求下列各