概率論第二章復(fù)習習題課

1、第二章：習題課第二章：習題課 2 2 給出了離散型隨機變量及其分布率的定義、性給出了離散型隨機變量及其分布率的定義、性 質(zhì)，要求質(zhì)，要求: : (1) (1) 會求離散型隨機變量的分布率；及其分布函數(shù)；會求離散型隨機變量的分布率；及其分布函數(shù)； （2 2）已知分布率，會求分布函數(shù)以及事件的概率；）已知分布率，會求分布函數(shù)以及事件的概率； （3 3）已知分布函數(shù)，會求分布率；）已知分布函數(shù)，會求分布率； （4 4）會確定分布率中的常數(shù)；）會確定分布率中的常數(shù)； （5 5）掌握常用的離散型隨機變量分布：兩點分布、）掌握常用的離散型隨機變量分布：兩點分布、 二項分布、泊松分布及其概率背景。二項分布、

2、泊松分布及其概率背景。第二章 習題課返回主目錄1 1 引進了隨機變量的概念，要求會用隨機變量表引進了隨機變量的概念，要求會用隨機變量表 示隨機事件。示隨機事件。 （2 2）已知概率密度，會求事件的概率；）已知概率密度，會求事件的概率； （3 3）會確定概率密度中的常數(shù)；）會確定概率密度中的常數(shù)； （4 4）掌握常用的連續(xù)型隨機變量分布：均勻）掌握常用的連續(xù)型隨機變量分布：均勻 分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。返回主目錄 3 3 給出了連續(xù)型隨機變量及概率密度的定義、性質(zhì)，給出了連續(xù)型隨機變量及概率密度的定義、性質(zhì)， 要求：要求： （1 1）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及

3、其運算；）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及其運算；4 4 會求隨機變量的簡單函數(shù)的分布。會求隨機變量的簡單函數(shù)的分布。第二章 習題課1.分布函數(shù)及其性質(zhì)：分布函數(shù)及其性質(zhì)：定義定義2： 設(shè)設(shè) 是一個隨機變量，是一個隨機變量， 是任意實數(shù)，是任意實數(shù)，xXP 稱為稱為 的的分布函數(shù)分布函數(shù)返回主目錄x函數(shù)函數(shù) )(xFXX 分分 布布 函函 數(shù)數(shù) 的的 性性 質(zhì)質(zhì)).()(1212xFxFxx 時，時，即當即當1. 是一個不減的函數(shù)是一個不減的函數(shù) , . 1)(lim)(;0)(lim)(, 1)(0 xFFxFFxFxx且且)(xF2.)(),() 0(是是右右連連續(xù)續(xù)的的即即xFxFxF

4、 3.這三條性質(zhì)不但是分布函數(shù)的必要條件這三條性質(zhì)不但是分布函數(shù)的必要條件, ,還可以證明，還可以證明，它們一起構(gòu)成函數(shù)它們一起構(gòu)成函數(shù) 成為某一隨機變量的分布函數(shù)成為某一隨機變量的分布函數(shù)的充要條件的充要條件。)(xF用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計算某些事件的概率 的分布函數(shù)，則是隨機變量設(shè)XxXPxF0aFaXP返回主目錄aXPaXPaXP 0aFaFaXPbXPbXaP aFbF用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計算某些事件的概率aXPbXPbXaP 0aFbFaXPbXPbXaP aFbF0aXPbXPbXaP00aFbF返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率用分布函數(shù)計

5、算某些事件的概率bXPbXP1 bF1返回主目錄bXPbXP101bF2.離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量及其分布列 若隨機變量的所有可能取的值是有限多個或可列多若隨機變量的所有可能取的值是有限多個或可列多個個, ,則稱該隨機變量為離散型隨機變量則稱該隨機變量為離散型隨機變量, , 它的概率分布它的概率分布規(guī)律通常用分布列表示規(guī)律通常用分布列表示. . 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 的所有可能取值為的所有可能取值為 并且并且 X,21xxiipxXP, 2 , 1iXP1x1p2x2pixip分布列的性質(zhì)為分布列的性質(zhì)為: :2 , 10) 1 (ipi11)2(iip分布函數(shù)為分布

6、函數(shù)為xxiipxXPxF)()(3.3.連續(xù)型隨機變量的概念與性質(zhì)連續(xù)型隨機變量的概念與性質(zhì)如果對于隨機變量如果對于隨機變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) ，存在，存在非負實函數(shù)非負實函數(shù) ，使得對于任意，使得對于任意 實數(shù)實數(shù) ，有有則稱則稱 X 為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)其中函數(shù) 稱為稱為X 的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡稱簡稱密度函數(shù)密度函數(shù). xdttfxF,)()(連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 X X 由其密度函數(shù)唯一確定由其密度函數(shù)唯一確定)(xfx)(xf)(xF定義定義3:密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì):0)() 1 (xf1)()2(dxxf SdxxfSXPSx

7、)()(,)3(有有軸軸上上任任意意區(qū)區(qū)間間對對于于)( )(,)()4(xFxfxxf 有有的連續(xù)點的連續(xù)點對于對于，對任意的實數(shù)是連續(xù)型隨機變量，則設(shè)aX0 aXP有連續(xù)型隨機變量的一個重要特點4. 4. 一些常用的概率分布一些常用的概率分布離散型離散型nkppknkXPppnBknk, 1 , 0)1()(10),()1( 二二項項分分布布1 , 0)1()(10), 1(10)2(1 xppxXPppBxx分分布布, 1 , 0!)(0)()3( kekkXPPoissonk分布分布,min, 1 , 0)()4(NMknNknMNkMkXP 超幾何分布超幾何分布均均為為正正整整數(shù)數(shù)這

8、這里里NMnNnNM, , 2 , 1)1()()5(1 kppkXPk幾幾何何分分布布連續(xù)型連續(xù)型: : 其其它它均均勻勻分分布布01)(),()1(bxaabxfbaU 其它其它指數(shù)分布指數(shù)分布00)()()2(xexfExpx 2222)(exp21)(0),()3(xxfN正正態(tài)態(tài)分分布布 xXPxx 我們可直接查表求出對于0，我們可由公式如果0 x x x1標準正態(tài)分布一般正態(tài)分布的計算)1, 0(2NXYNX，則，設(shè)).()-b(bX Pa ,aba有故對任意的隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)也是一個隨機變量 xgyYxX取值時，取值當本節(jié)的任務(wù)就是： 的分布要求隨機變量，的分布，并且

9、已知已知隨機變量YXgYX的函數(shù)，是是一隨機變量，設(shè)XYX XgYY則,返回主目錄二二. .連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 ，其密度函數(shù)為是一連續(xù)型隨機變量，設(shè)xfXX 隨機變量也是連續(xù)型，我們假定的函數(shù)是再設(shè)YXXgY 的密度函數(shù)我們要求的是yfXgYY解解 題題 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函數(shù)先求 yFyfXgYXgYYY的密度函數(shù)關(guān)系求之間的的分布函數(shù)與密度函數(shù)利用 定理定理 設(shè)隨機變量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有處處可導(dǎo)，且有又設(shè)函數(shù)則 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機變量 Y，其

10、概率密度為., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY其中 h(y) 是 g(x) 的反函數(shù)，即 ).(),(max),(),(mingggg)()(1yhygx返回主目錄例 1從110這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值試求 X 的分布律解： X 的取值為5，6，7，8，9，10 并且106551041，kCCkXPk具體寫出，即可得 X 的分布律：X5678910P25212525252152523525270252126返回主目錄例例 1 設(shè)隨機變量 X 的分布律為： 求 X 的分布函數(shù). Xpk21 -1 2 34141解：解：當 x -1 時，滿足

11、，的集合為的XxX0 xX-1x. 0)(PxXPxF返回主目錄當,21時x滿足 Xx 的 X 取值為 X = -1, .411)(XPxXPxFxX-1x當,32時 x滿足 Xx 的 X 取值為 X = -1, 或 2 .214121)(XXPxXPxF或Xpk21 -1 2 34141返回主目錄同理當,3時x. 1321)(XXXPxXPxF或或.3, 1, 32,43,21,41, 1,0)(xxxxxF-1 0 1 2 3 x1返回主目錄例的密度函數(shù)為設(shè)隨機變量 X 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解： xdttfxFx時，當00 xdttfxFx時，當10 xdttf

12、dttf00返回主目錄例 （續(xù)）xtdt022x xdttfxFx時，當21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx返回主目錄例 （續(xù)） xdttfxFx時，當2 xdttfdttfdttfdttf22110021102dtttdt返回主目錄=1例 （續(xù)）的分布函數(shù)量綜上所述，可得隨機變X xxxxxxxxF21211221020022返回主目錄 ?0,3 . 04222 XPXPNX則則且且，設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 解： )2(1)20(0 XP)0()2( 2 . 08 . 010 XP例 返回主目錄423 . 0 XP5 . 0)2( ,8 . 0)2(

13、第二章 習題課設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的概率密度為的概率密度為 .,0,0,2cos21)(其他xxxf 對對 X 獨立地重復(fù)觀察獨立地重復(fù)觀察 4 次，用次，用 Y 表示觀察值大于表示觀察值大于3的次數(shù)求的次數(shù)求 Y 的分布列。的分布列。 例例 設(shè)隨機變量 X 具有以下的分布律，試求 Y = (X-1)2 的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值為 0，1，4. 且 Y=0 對應(yīng)于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,例例 返回主目錄同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4=

14、 PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律為：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2例例 （續(xù)）（續(xù)）返回主目錄., 0, 40,8)(其它xxXfX設(shè)隨機變量 X 具有概率密度：試求 Y=2X+8 的概率密度.解：解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函數(shù) FY(y)：2882)(yXPyXPyYPyFY例例 返回主目錄可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY28.)()(yXYdxxfyF., 0, 40,8)(其它xxXf

15、X例例 （續(xù)）（續(xù)）返回主目錄., 0,168,328)(其它yyyfY 整理得 Y=2X+8 的概率密度為：例例 （續(xù)）（續(xù)）一房間有一房間有 3 扇同樣大小的窗戶，其中只有一扇扇同樣大小的窗戶，其中只有一扇是打開的有一只鳥在房子里飛來飛去，它只是打開的有一只鳥在房子里飛來飛去，它只能從開著的窗子飛出去假定這只鳥是沒有記能從開著的窗子飛出去假定這只鳥是沒有記憶的，且鳥飛向各個窗子是隨機的若令憶的，且鳥飛向各個窗子是隨機的若令X表表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù) 求示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù) 求 X的分布的分布律律 這只鳥最多試飛這只鳥最多試飛 3 次就飛出房間的概次就飛出房間的概率率 若有一只鳥

16、飛出該房間若有一只鳥飛出該房間 5 次，其中有次，其中有 4次它最多試飛了次它最多試飛了 3 次就飛出房間，請問“假定次就飛出房間，請問“假定這只鳥是沒有記憶的”是否合理？這只鳥是沒有記憶的”是否合理？ 例例 解：解： X的取值為, 3, 2, 1，并且 31321kkXP , 3, 2, 1k 27193132313231332XPP次就飛出房間這只鳥最多試飛 若將這只鳥是否“最多試飛 3 次就飛出房間”看作是一次 Bernoulli 試驗，則這只鳥飛進該房間 5次可以看作是一個 5 重 Bernoulli 試驗 次就飛出房間這只鳥最多試飛3A，則 2719AP 所以，3633. 027827194Bernoulli5445 CP次試驗恰好成功重 這表明， “有一只鳥飛進該房間 5 次，其中有 4 次它最多試飛了 3 次就飛出房間”不是一個小概率事件，因此“假定這只鳥是沒有記憶的”是合理的 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試求的指數(shù)分布，試求XeY21 的概率密度。的概率密度。 例例 假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為t的泊松分布,求相繼兩次故障之間間隔時間T的概率分布例例.的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為同同分分布布，和和設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量XYX 其它其它0; 2x0 x83)x( f2. a4