結(jié)構(gòu)力學(xué)第三章習(xí)題解析

1、第三章 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析 與抗震計(jì)算 3.1 概述概述3.2 單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析3.3 單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜3.4 多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析3.5 多自由度彈性體系最大地震反應(yīng)與水平地震作用多自由度彈性體系最大地震反應(yīng)與水平地震作用3.6 豎向地震作用豎向地震作用3.7 結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應(yīng)與雙向水平地震影響結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應(yīng)與雙向水平地震影響3.8 結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析3.9 結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算3.1 3.1 概述概述由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)

2、內(nèi)力、變形、由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形、位移及結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度與加速度等位移及結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度與加速度等一、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)一、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) ：由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)位移由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)位移地面運(yùn)動(dòng)地面運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性：自振周期，振型和阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性：自振周期，振型和阻尼1.1.結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)2.2.結(jié)構(gòu)地震位移反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震位移反應(yīng)：結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) 影響因素影響因素 結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力和位移等。和位移等。 3.1 3.1 概述概述：能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應(yīng)的各種因素

3、能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應(yīng)的各種因素二、地震作用二、地震作用 作用分作用分類(lèi)類(lèi)各種荷載：如重力、風(fēng)載、土壓力等各種荷載：如重力、風(fēng)載、土壓力等各種非荷載作用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等各種非荷載作用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等 等效地震荷載等效地震荷載：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用作用作用直接作用直接作用間接作用間接作用結(jié)構(gòu)的地震作用結(jié)構(gòu)的地震作用: :地震時(shí)，由于地面運(yùn)動(dòng)使原來(lái)處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動(dòng)力作地震時(shí)，由于地面運(yùn)動(dòng)使原來(lái)處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動(dòng)力作用，產(chǎn)生受迫振動(dòng)，由于地面的強(qiáng)迫振動(dòng)在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力用，產(chǎn)生受迫振動(dòng)，由于地面的強(qiáng)

4、迫振動(dòng)在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力 地震作用的確定：反應(yīng)譜理論和動(dòng)力理論 反應(yīng)譜理論：將多個(gè)實(shí)測(cè)的地面振動(dòng)波分別代入單自由度反應(yīng)方程，計(jì)算出反應(yīng)譜理論：將多個(gè)實(shí)測(cè)的地面振動(dòng)波分別代入單自由度反應(yīng)方程，計(jì)算出各自最大彈性地震反應(yīng)（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震各自最大彈性地震反應(yīng)（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震反應(yīng)與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)系曲線(xiàn)，這個(gè)曲線(xiàn)就是反應(yīng)譜，在工程中應(yīng)用反應(yīng)與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)系曲線(xiàn)，這個(gè)曲線(xiàn)就是反應(yīng)譜，在工程中應(yīng)用比較廣泛的是加速度反應(yīng)譜。由于反應(yīng)譜可計(jì)算出最大地震作用，然后按比較廣泛的是加速度反應(yīng)譜。由于反應(yīng)譜可計(jì)算出最大地震作用，然后按靜分析法計(jì)算地震反

5、，所以仍屬于靜力法。但由于反應(yīng)批理論較真實(shí)地考靜分析法計(jì)算地震反，所以仍屬于靜力法。但由于反應(yīng)批理論較真實(shí)地考慮了結(jié)構(gòu)振動(dòng)特點(diǎn)，計(jì)算簡(jiǎn)單實(shí)用，因此目前是各國(guó)建筑抗震規(guī)范中給出慮了結(jié)構(gòu)振動(dòng)特點(diǎn)，計(jì)算簡(jiǎn)單實(shí)用，因此目前是各國(guó)建筑抗震規(guī)范中給出的一種主要抗震分析方法。的一種主要抗震分析方法。動(dòng)力理論是直接通過(guò)動(dòng)力方程采取逐步積分法求解出地震反應(yīng)與時(shí)間的關(guān)動(dòng)力理論是直接通過(guò)動(dòng)力方程采取逐步積分法求解出地震反應(yīng)與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)成為時(shí)程曲線(xiàn)，因此該方法又稱(chēng)為時(shí)程分析法。時(shí)程分系曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)成為時(shí)程曲線(xiàn)，因此該方法又稱(chēng)為時(shí)程分析法。時(shí)程分析法能更真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)隨時(shí)間變化的全過(guò)程，并可處理

6、強(qiáng)震下析法能更真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)隨時(shí)間變化的全過(guò)程，并可處理強(qiáng)震下結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時(shí)程法結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時(shí)程法只能使用特定的地震波，而且計(jì)算分析量大，因此目前我國(guó)規(guī)范仍主要采只能使用特定的地震波，而且計(jì)算分析量大，因此目前我國(guó)規(guī)范仍主要采用反應(yīng)譜法進(jìn)行抗震分析。用反應(yīng)譜法進(jìn)行抗震分析。 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如AnsysAnsys, ,MSC.MarcMSC.Marc等對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震發(fā)應(yīng)分析和有限元仿真分析已開(kāi)始等到廣等對(duì)結(jié)

7、構(gòu)進(jìn)行地震發(fā)應(yīng)分析和有限元仿真分析已開(kāi)始等到廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。3.1 3.1 概述概述1. 1. 連續(xù)化描述（分布質(zhì)量）連續(xù)化描述（分布質(zhì)量）三、三、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖及體系自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖及體系自由度描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩種方法描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩種方法采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖 （步驟）：（步驟）：2. 2. 集中化描述（集中質(zhì)量）集中化描述（集中質(zhì)量）工程上常用工程上常用 定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中 位置（質(zhì)心）位置（質(zhì)心）將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心；將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心；將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)上去將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)

8、上去 集中化描述舉例集中化描述舉例a a、水塔建筑、水塔建筑(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪主要質(zhì)量：水箱部分主要質(zhì)量：水箱部分次要質(zhì)量：塔柱部分次要質(zhì)量：塔柱部分水箱全部質(zhì)量水箱全部質(zhì)量部分塔柱質(zhì)量部分塔柱質(zhì)量集中到水箱質(zhì)心集中到水箱質(zhì)心單質(zhì)點(diǎn)體系單質(zhì)點(diǎn)體系b b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪主要質(zhì)量：屋面部分主要質(zhì)量：屋面部分廠房各跨質(zhì)量廠房各跨質(zhì)量集中到各跨屋蓋標(biāo)高處集中到各跨屋蓋標(biāo)高處 集中化描述舉例集中化描述舉例c c、多、高層建筑、多、高層建筑主要質(zhì)量：樓蓋部分主要

9、質(zhì)量：樓蓋部分多質(zhì)點(diǎn)體系多質(zhì)點(diǎn)體系d d、煙囪、煙囪結(jié)構(gòu)無(wú)主要質(zhì)量部分結(jié)構(gòu)無(wú)主要質(zhì)量部分結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域集中到各區(qū)域質(zhì)心集中到各區(qū)域質(zhì)心 (a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪多質(zhì)點(diǎn)體系多質(zhì)點(diǎn)體系3.2 3.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)單自由度彈性體系的地震反應(yīng)一、運(yùn)動(dòng)方程一、運(yùn)動(dòng)方程cf地面水平運(yùn)動(dòng)的位移 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地面的水平位移 質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)位移 相應(yīng)的絕對(duì)加速度 )(0tx)(tx)()(0txtx)()(0txtx 慣性力I為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與絕對(duì)加速度的乘積彈性恢復(fù)力S是使質(zhì)點(diǎn)從振動(dòng)位置恢復(fù)到

10、平衡位置的一種力，它的大小與質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移成正比 阻尼力D是一種使結(jié)構(gòu)振動(dòng)不斷衰減的力，即結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中，由于材料的內(nèi)摩擦、構(gòu)件連接處的摩擦、地基土的內(nèi)摩擦以及周?chē)橘|(zhì)對(duì)振動(dòng)的阻力等，使得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量受到損耗而導(dǎo)致其振幅逐漸衰減的一種力。阻尼力有集中不同的理論，目前應(yīng)用最廣泛的是所謂的粘滯阻溺理論，它假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)的速度成正比 )()()(0txtxmtI )()(tkxtS)()(txctD根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，物體在運(yùn)動(dòng)中的任意瞬時(shí)，作用在物體上的外力與慣性力互相平衡 力的平衡條件：力的平衡條件：令令kmmc2二、運(yùn)動(dòng)方程的解二、運(yùn)動(dòng)方程的解1. 1.方程的齊次解方程的齊次

11、解自由振動(dòng)自由振動(dòng) 齊次方程齊次方程：022xxx 自由振動(dòng)：在沒(méi)有外界激勵(lì)的自由振動(dòng)：在沒(méi)有外界激勵(lì)的情況下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)情況下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng))()()()(0txmtkxtxctxm )()()(2)(02txtxtxtx 0)()()(tItDtS01為共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)，（2 2）若）若方程的解：方程的解：特征方程特征方程0222rr特征根特征根121r122r（4 4）若）若 ， 、 為負(fù)實(shí)數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)11r2rtrtrecectx2121)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若）若，1r2r、)sincos()(21tctcetxDDt物體從開(kāi)始的最大位移處緩慢地逼近平衡

12、位置，物體從開(kāi)始的最大位移處緩慢地逼近平衡位置，完全不可能再作往復(fù)振動(dòng)完全不可能再作往復(fù)振動(dòng)過(guò)阻尼狀態(tài)過(guò)阻尼狀態(tài)物體從開(kāi)始的最大位移處快速逼近平衡位置物體從開(kāi)始的最大位移處快速逼近平衡位置臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)體系產(chǎn)生振動(dòng)體系產(chǎn)生振動(dòng)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)21D其中其中圖圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動(dòng)各種阻尼下單自由度體系的自由振動(dòng)當(dāng)當(dāng)1臨界阻尼系數(shù)：臨界阻尼系數(shù)：mcr2臨界阻尼比（簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼比）臨界阻尼比（簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼比）rcc（1 1）若）若tx(tx(t) )0=10112( )cossinx tctct10體系產(chǎn)生振動(dòng)體系產(chǎn)生振動(dòng)無(wú)阻尼狀態(tài)無(wú)阻尼狀態(tài)任何一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)任何一個(gè)振動(dòng)系

13、統(tǒng)，當(dāng)阻尼阻尼增加到一定程度時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)是增加到一定程度時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)是非周期性的，物體振動(dòng)連一次都不能完成，只是慢慢地回到平非周期性的，物體振動(dòng)連一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。當(dāng)阻力使振動(dòng)物體剛能不作周期性振動(dòng)而又衡位置就停止了。當(dāng)阻力使振動(dòng)物體剛能不作周期性振動(dòng)而又能最快地回到平衡位置的情況，稱(chēng)為能最快地回到平衡位置的情況，稱(chēng)為“臨界阻尼臨界阻尼”，或中肯阻，或中肯阻尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到平衡尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到平衡位置，這樣的運(yùn)動(dòng)叫過(guò)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較小位置，這樣的運(yùn)動(dòng)叫過(guò)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的

14、阻尼力較小，則要振動(dòng)很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡，則要振動(dòng)很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡位置，這叫做位置，這叫做“欠阻尼欠阻尼”狀態(tài)。狀態(tài)。 所謂“欠”阻尼，說(shuō)明阻尼不夠大，因此這個(gè)阻尼并不足以阻止振動(dòng)越過(guò)平衡位置。此時(shí)系統(tǒng)將做振幅逐漸減小的周期性阻尼振動(dòng)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)被不斷阻礙，所以振幅減衰，并且振動(dòng)周期也是越來(lái)越長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后，振動(dòng)停止。此時(shí)的振動(dòng)方程是正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。 欠阻尼 圖所所謂所謂“過(guò)過(guò)”阻尼，說(shuō)明阻尼太大，振動(dòng)根本無(wú)法越過(guò)平衡位置，只能以非周期運(yùn)動(dòng)形阻尼，說(shuō)明阻尼太大，振動(dòng)根本無(wú)法越過(guò)平衡位置，只能以非周期運(yùn)動(dòng)形式緩慢地

15、向平衡位置移動(dòng)。為什么又要式緩慢地向平衡位置移動(dòng)。為什么又要“緩慢地緩慢地”？是因?yàn)樽枘徇^(guò)大，所以這阻礙了？是因?yàn)樽枘徇^(guò)大，所以這阻礙了振動(dòng)向平衡位置的移動(dòng)，導(dǎo)致這種阻尼振動(dòng)的停止也很緩慢。此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有振幅、周振動(dòng)向平衡位置的移動(dòng)，導(dǎo)致這種阻尼振動(dòng)的停止也很緩慢。此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有振幅、周期一說(shuō)了。這種振動(dòng)的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。期一說(shuō)了。這種振動(dòng)的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。過(guò)阻尼 臨界阻尼 欠阻尼、過(guò)阻尼使振動(dòng)回到平衡位置所需時(shí)間都較長(zhǎng)，那怎樣使所需時(shí)間最短呢？當(dāng)欠阻尼、過(guò)阻尼使振動(dòng)回到平衡位置所需時(shí)間都較長(zhǎng)，那怎樣使所需時(shí)間最短呢？當(dāng)阻尼取

16、一個(gè)特定的值的時(shí)候，振動(dòng)會(huì)很快地靠近平衡位置，但又不越過(guò)平衡位置。這阻尼取一個(gè)特定的值的時(shí)候，振動(dòng)會(huì)很快地靠近平衡位置，但又不越過(guò)平衡位置。這種振動(dòng)的振動(dòng)曲線(xiàn)似乎和過(guò)阻尼很像，但它們的振動(dòng)方程完全不一樣。過(guò)阻尼的振動(dòng)種振動(dòng)的振動(dòng)曲線(xiàn)似乎和過(guò)阻尼很像，但它們的振動(dòng)方程完全不一樣。過(guò)阻尼的振動(dòng)方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動(dòng)方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動(dòng)方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。三種阻尼振動(dòng)中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時(shí)間最短。其阻尼大小小于數(shù)的積。三種阻尼振動(dòng)中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時(shí)間最短。其阻尼大小小于過(guò)阻尼，而大于

17、欠阻尼。所以，在各種需要盡快停止振動(dòng)的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振過(guò)阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各種需要盡快停止振動(dòng)的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振動(dòng)的頻率、阻尼大小，使其達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動(dòng)的影響。動(dòng)的頻率、阻尼大小，使其達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動(dòng)的影響。初始條件初始條件: :)0(0 xx )0(0 xx , 初始速度初始速度01xc Dxxc002則則體系自由振動(dòng)位移時(shí)程體系自由振動(dòng)位移時(shí)程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始位移初始位移當(dāng)當(dāng) （無(wú)阻尼）（無(wú)阻尼）000( )cossinxx txttkm固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)點(diǎn)在固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)

18、點(diǎn)在2時(shí)間時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)kmT22固有周期固有周期無(wú)阻尼單自由度體系無(wú)阻尼單自由度體系自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)自振的振幅將不斷衰減，直至消失自振的振幅將不斷衰減，直至消失 有阻尼體系有阻尼體系無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)時(shí)的振幅不變，而有阻尼體系自由振動(dòng)的曲線(xiàn)則是一條逐漸衰無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)時(shí)的振幅不變，而有阻尼體系自由振動(dòng)的曲線(xiàn)則是一條逐漸衰減的波動(dòng)曲線(xiàn)，即振幅隨時(shí)間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減減的波動(dòng)曲線(xiàn)，即振幅隨時(shí)間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。就越快。 嚴(yán)格地說(shuō)，有阻尼單自由度體系的自由振動(dòng)不具有周期性，因?yàn)轶w系在自由振動(dòng)過(guò)程嚴(yán)

19、格地說(shuō)，有阻尼單自由度體系的自由振動(dòng)不具有周期性，因?yàn)轶w系在自由振動(dòng)過(guò)程中其振幅不斷衰減。但由于體系的運(yùn)動(dòng)是往復(fù)的，指點(diǎn)每振動(dòng)一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間中其振幅不斷衰減。但由于體系的運(yùn)動(dòng)是往復(fù)的，指點(diǎn)每振動(dòng)一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間間隔是相等的，因此就把這個(gè)時(shí)間間隔稱(chēng)為有阻尼體系的周期間隔是相等的，因此就把這個(gè)時(shí)間間隔稱(chēng)為有阻尼體系的周期2T21有阻尼時(shí)的自振頻率小于無(wú)阻尼時(shí)的自振頻率，這說(shuō)明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu)有阻尼時(shí)的自振頻率小于無(wú)阻尼時(shí)的自振頻率，這說(shuō)明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu)的自振頻率減小，周期增大。的自振頻率減小，周期增大。 在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，阻尼比的數(shù)值一般都很小，其值大約在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，阻尼比

20、的數(shù)值一般都很小，其值大約 在之間。因此有在之間。因此有阻尼頻率與無(wú)阻尼頻率相差不大，在實(shí)際計(jì)算中可以近似地取阻尼頻率與無(wú)阻尼頻率相差不大，在實(shí)際計(jì)算中可以近似地取 1 . 001. 0例題例題3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為單自由度體系（見(jiàn)圖）。已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為單自由度體系（見(jiàn)圖）。，求該結(jié)構(gòu)的自振周期。求該結(jié)構(gòu)的自振周期。 解解：直接由式：直接由式(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪kmT22并采用國(guó)際單位可得并采用國(guó)際單位可得: : skmT99. 110/1011000022233.3.方程的特解方程的特解II II瞬時(shí)

21、沖量瞬時(shí)沖量 沖量等于動(dòng)量的增量沖量等于動(dòng)量的增量 0mvmvPdtmPdtv 自由振動(dòng)0)0(xmPdtx)0( tmPdtetxtsin)(sin)0()0(cos)0()(txxtxetxt求解方法：求解方法：將地面運(yùn)動(dòng)分解為很多個(gè)脈沖運(yùn)動(dòng)將地面運(yùn)動(dòng)分解為很多個(gè)脈沖運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻的地面運(yùn)動(dòng)脈沖時(shí)刻的地面運(yùn)動(dòng)脈沖 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般強(qiáng)迫振動(dòng)一般強(qiáng)迫振動(dòng) )()()(2)(02txtxtxtx dx)(0 引起的體系反應(yīng)為：引起的體系反應(yīng)為： 疊加：體系在疊加：體系在t t時(shí)刻的地震反應(yīng)為：時(shí)刻的地震反應(yīng)為：方程通解（單自由度體系）：方程通解（單自由度體系）：體系地

22、震反應(yīng)（通解）體系地震反應(yīng)（通解）=自由振動(dòng)（齊次解）自由振動(dòng)（齊次解）+強(qiáng)迫振動(dòng)（特解）強(qiáng)迫振動(dòng)（特解）初位移、初速度引起初位移、初速度引起迅速衰減，可不考慮迅速衰減，可不考慮地面運(yùn)動(dòng)地面運(yùn)動(dòng)引起引起地面運(yùn)動(dòng)脈沖引起的單自由度體系反應(yīng)地面運(yùn)動(dòng)脈沖引起的單自由度體系反應(yīng)杜哈密積分杜哈密積分dtxetdxt)(sin)()(0)( dtextdxtxttt)(sin)(1)()()(000 tmPdtetxtsin)(在實(shí)際計(jì)算中可以近似地取 dtextxtt)(sin)(1)()(00 dtextxxtxetxttt)(sin)(1sin) 0() 0(cos) 0()()(00 通解 3.3

23、3.3單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜 反應(yīng)譜是指單自由度體系最大地震反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線(xiàn)，根據(jù)反應(yīng)量的反應(yīng)譜是指單自由度體系最大地震反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線(xiàn)，根據(jù)反應(yīng)量的不同，又分為位移反應(yīng)譜、速度反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用不同，又分為位移反應(yīng)譜、速度反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用（即質(zhì)點(diǎn)上的慣性力）與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用（即質(zhì)點(diǎn)上的慣性力）與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用加速度反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用。加速度反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用。 一、水平地震作用的定義一、

24、水平地震作用的定義地震作用就是地震時(shí)結(jié)構(gòu)上受到的慣性力地震作用就是地震時(shí)結(jié)構(gòu)上受到的慣性力)()()()(0txctkxtxtxm )()()(0tkxtxtxm 在地震作用下，質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的相對(duì)位移將與該時(shí)刻的瞬時(shí)慣性力成正比。因此在地震作用下，質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的相對(duì)位移將與該時(shí)刻的瞬時(shí)慣性力成正比。因此可以認(rèn)為這一相對(duì)位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實(shí)作用于可以認(rèn)為這一相對(duì)位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，但慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)的作用和地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用效果相當(dāng)，所以可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)上的力，但慣性力對(duì)結(jié)構(gòu)的作用和地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用效果相當(dāng)，所以可以認(rèn)為是一

25、種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗(yàn)算，就可是一種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗(yàn)算，就可以使抗震設(shè)計(jì)這一動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于靜力荷載作用下的靜力計(jì)算問(wèn)題。以使抗震設(shè)計(jì)這一動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于靜力荷載作用下的靜力計(jì)算問(wèn)題。 0)()()()(0txtxmtxcxk 上式等號(hào)右邊的阻尼項(xiàng) 相對(duì)于彈性恢復(fù)力 來(lái)說(shuō)是非常的小，可以忽略 )(txc)(tkx質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度 )()()()()(20txtxmktxtxta dtextxtt)(sin)(1)()(00 )()()()()(20txtxmktxtxta dtext

26、att)(sin)()()(00 由于地面運(yùn)動(dòng)的加速度是隨時(shí)間而變化的，故為了求得結(jié)構(gòu)在地震持續(xù)過(guò)程中所經(jīng)受的最大地震作用，以便用一進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)，必須計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)的最大絕對(duì)加速度，即 max)(200max)(00max|)(sin)(|2|)(sin)(| )(|dtexTdtextaStTttta 由上式可知，質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)最大加速度取決于地震時(shí)的地面運(yùn)動(dòng)加速度，結(jié)構(gòu)的自振頻率或自振周期以及結(jié)構(gòu)的阻尼比。然而，由于地面水平運(yùn)動(dòng)的加速度極不規(guī)則，無(wú)法用簡(jiǎn)單的解析式來(lái)計(jì)算，故在計(jì)算 時(shí)，一般采用數(shù)值積分法。 aS)()()(0tkxtxtxm 二、地震反應(yīng)譜二、地震反應(yīng)譜根據(jù)上式，若給定地震時(shí)地面運(yùn)

27、動(dòng)的加速度讀記錄和體系的阻尼比 ，則可以計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)的最大加速度反應(yīng)與自振周期的關(guān)系曲線(xiàn)，對(duì)于不同的阻尼比可以得到不同的 曲線(xiàn)。圖3-6是根據(jù)1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震時(shí)地面加速度記錄繪制的加速度反應(yīng)譜曲線(xiàn)。 （TAFT波和天津?qū)幒拥卣鸩úê吞旖驅(qū)幒拥卣鸩?）aS圖3-6 1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度反應(yīng)譜曲線(xiàn)由圖埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度反應(yīng)譜曲線(xiàn)可知加速度反應(yīng)譜曲線(xiàn)有下列特點(diǎn)：加速度反應(yīng)譜曲線(xiàn)為一多峰點(diǎn)曲線(xiàn)；當(dāng)阻尼比等于零時(shí)，加速度反應(yīng)譜的譜值最大，峰點(diǎn)越突出，即便是不大的阻尼比也能使峰點(diǎn)下降很多，并且譜值隨阻尼比的增大而減小；

28、當(dāng)結(jié)構(gòu)的周期較小時(shí)，隨著周期的增大其譜值急劇增大，但至峰點(diǎn)后，則隨著周期的增大其反應(yīng)逐漸減小，而且逐漸平緩。根據(jù)反應(yīng)譜曲線(xiàn)，對(duì)于任何一個(gè)自由度彈性體系，如果已知其自振周期和結(jié)構(gòu)的阻尼比就可以從曲線(xiàn)中查得該體系在特定地震記錄下的最大加速度Sa。Sa與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的乘積即為水平地震作用下的絕對(duì)最大值，即amSF 三、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜三、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜為了便于應(yīng)用，在上式中引入能反應(yīng)地面運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的地面運(yùn)動(dòng)最大加速度， 并將其改寫(xiě)為下列形式 max0| )(|tx GkxSgxmgmSFaa)|)(|(max0max0 （1）地震系數(shù)可知地震系數(shù)k為 gxkmax0| 它表示地面運(yùn)動(dòng)的最大加速度與重力加速度之比。一

29、般地，地面運(yùn)動(dòng)加速度越大，地面運(yùn)動(dòng)的最大加速度與重力加速度之比。一般地，地面運(yùn)動(dòng)加速度越大，則地震烈度越大，所以地震系數(shù)與地震烈度之間存在著意定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如表則地震烈度越大，所以地震系數(shù)與地震烈度之間存在著意定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如表3-1所示。需要注意的是，地震烈度的大小取決于地面運(yùn)動(dòng)最大加速度，而且還與地震的持續(xù)時(shí)間和地震波的頻譜特性等有關(guān)。表3-1地震系數(shù)k與地震烈度的關(guān)系抗震設(shè)防烈度6度7度8度9度地震系數(shù)k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40（2）動(dòng)力系數(shù) 同樣，由（3-31）可知?jiǎng)恿ο禂?shù)為max0| xSa max)(200max0max|)(sin)(|12| )(

30、|dtexxTtatTt 它是單質(zhì)點(diǎn)最大絕對(duì)加速與地面加速度的比值，表示由于動(dòng)力效應(yīng)，質(zhì)點(diǎn)的最大絕單質(zhì)點(diǎn)最大絕對(duì)加速與地面加速度的比值，表示由于動(dòng)力效應(yīng)，質(zhì)點(diǎn)的最大絕對(duì)加速度比地面最大加速度放大多少倍。因?yàn)楫?dāng)對(duì)加速度比地面最大加速度放大多少倍。因?yàn)楫?dāng) 增大或減小時(shí)，增大或減小時(shí)， 相應(yīng)隨相應(yīng)隨之增大或減小，因此值之增大或減小，因此值 與地震烈度無(wú)關(guān)，這就可以利用所有不同烈度的地震記錄與地震烈度無(wú)關(guān)，這就可以利用所有不同烈度的地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。 max0| )(|tx aS這樣就得到了 與 的關(guān)系曲線(xiàn)，稱(chēng)為 譜曲線(xiàn)，它實(shí)際上就是相對(duì)于地面最大加速度的加速度反應(yīng)譜，兩者形狀上

31、完全一樣。T根據(jù)不同的地面運(yùn)動(dòng)記錄的統(tǒng)計(jì)分析可以看出，場(chǎng)地土的特點(diǎn)、震級(jí)以及震中距等都對(duì)反應(yīng)譜曲線(xiàn)有明顯的影響。場(chǎng)地土特性的影響：對(duì)于土質(zhì)松軟的場(chǎng)地， 譜曲線(xiàn)的主要峰點(diǎn)偏于較長(zhǎng)的周期，而地質(zhì)堅(jiān)硬時(shí)則一般偏于較短的周期，同時(shí)，場(chǎng)地土越軟，并且該松軟土層越厚時(shí)， 譜曲線(xiàn)譜值越大，見(jiàn)圖3-7（a）；震中距的影響：當(dāng)烈度相同時(shí)，震中距遠(yuǎn)時(shí)加速度反應(yīng)譜的峰點(diǎn)偏于較長(zhǎng)的周期，近時(shí)則偏于較短的周期，3-7（b）。因此，在離大地震震中較遠(yuǎn)的地方，高柔結(jié)構(gòu)因其周期較長(zhǎng)所受到的地震破壞，將比在等烈度下較小或中等地震的震中地區(qū)所受的破壞嚴(yán)重，而剛性結(jié)構(gòu)的地震破壞情況則相反。 圖3-7各種因素對(duì)反應(yīng)譜的影響（a）場(chǎng)地

32、條件對(duì) 譜曲線(xiàn)的影響；（b）同等烈度下震中距對(duì)加速度譜曲線(xiàn)的影響四、設(shè)計(jì)反應(yīng)譜四、設(shè)計(jì)反應(yīng)譜為了便于計(jì)算，建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范采用相對(duì)于重力加速度的單質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)最大加速度，即 用 表示， 稱(chēng)為地震影響系數(shù)。由式（3-31）知 gSakgSaGkxSgxmgmSFaa)|)(|(max0max0 GF實(shí)際上就是作用于單質(zhì)點(diǎn)彈性體系上的水平地震力與結(jié)構(gòu)重力之比。（1）地震影響系數(shù)的確定。建筑結(jié)構(gòu)地震影響系數(shù)曲線(xiàn)(圖3-8)的阻尼調(diào)整和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列要求：除有專(zhuān)門(mén)規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05，地震影響系數(shù)曲線(xiàn)的阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按1.0采用，形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定： GkxSgxmgmSFaa)|

33、)(|(max0max0 圖3-8地震影響系數(shù) 曲線(xiàn) 地震影響系數(shù)最大值 1直線(xiàn)下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)； gT2T曲線(xiàn)下降段的衰減指數(shù)；特征周期；阻尼調(diào)整系數(shù)；結(jié)構(gòu)自振周期 1直線(xiàn)上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。2)水平段，自0.1s至特征周期區(qū)段，應(yīng)取最大值。3)曲線(xiàn)下降段，自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)應(yīng)取0.9。4)直線(xiàn)下降段，自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)取0.02。 當(dāng)建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比按有關(guān)規(guī)定不等于0.05時(shí)，地震影響系數(shù)曲線(xiàn)的阻尼調(diào)整系數(shù)和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定：1）曲線(xiàn)下降段的衰減指數(shù)應(yīng)按下式確定：55 . 005. 09 . 0式中曲線(xiàn)下降段的衰減指數(shù)

34、；阻尼比。2) 直線(xiàn)下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定：8)05. 0(02. 011直線(xiàn)下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)，小于0時(shí)取0。3) 阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定：7 . 106. 005. 0122阻尼調(diào)整系數(shù)，當(dāng)小于0.55時(shí)，應(yīng)取0.55。 （2）特征周期Tg的確定。在地震影響系數(shù)的變化曲線(xiàn)中，需要用到特征周期。它是對(duì)應(yīng)于反應(yīng)譜值區(qū)拐點(diǎn)處的周期，根據(jù)場(chǎng)地類(lèi)別、地震震級(jí)和震中距確定。建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范按后兩影響將設(shè)計(jì)地震分成三組，特征周期可以根據(jù)場(chǎng)地類(lèi)別和設(shè)計(jì)地震分組確定，如表3-2所示。但在計(jì)算8、9度漢語(yǔ)地震作用時(shí)，其特征周期應(yīng)增加0.05s。表3-2特征周期（s）（3）水平地震影響系數(shù)

35、的最大值 水平地震影響系數(shù)的最大值為maxmaxmaxmaxk建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范取動(dòng)力系數(shù)的最大值 ，相應(yīng)的地震系數(shù)k對(duì)多遇地震取基本烈度時(shí)的0.35，對(duì)罕遇地震取基本烈度時(shí)的2倍左右，故 如表3-3所示。 25. 2maxmax表3-3水平地震影響系數(shù)最大值例題例題3-23-2kg10000mkN/cm1k水塔結(jié)構(gòu)，同例水塔結(jié)構(gòu)，同例3-13-1。，(a) 水塔hh(b) 廠房(c) 多、高層建筑(d) 煙囪 位于位于IIII類(lèi)場(chǎng)地第二組，基本烈度為類(lèi)場(chǎng)地第二組，基本烈度為7 7度度（地震加速度為（地震加速度為0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0求該結(jié)構(gòu)多遇地震下的水平地震作用求

36、該結(jié)構(gòu)多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxsTg4 . 0解；查表解；查表3-3，查表查表3-2，18. 103. 07 . 106. 003. 005. 017 . 106. 005. 012931. 003. 055 . 003. 005. 09 . 055 . 005. 09 . 00.931max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT由圖由圖3-123-12（地震影響系數(shù)譜曲線(xiàn)）（地震影響系數(shù)譜曲線(xiàn)） N207981. 9100000212. 0GF0.0212此時(shí)應(yīng)考慮阻尼比對(duì)地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。此時(shí)應(yīng)考慮阻尼比對(duì)地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。返回目錄返回目錄3.4

37、3.4 多自由度彈性體系的水平地震反應(yīng)的振型分解法多自由度彈性體系的水平地震反應(yīng)的振型分解法一、計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)質(zhì)量比較集中的結(jié)構(gòu)，一般可將其視為單質(zhì)點(diǎn)體系，并按單質(zhì)點(diǎn)體系進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析。然而對(duì)于質(zhì)量分布比較分散的結(jié)構(gòu)，為了能較真實(shí)地反映其動(dòng)力性能，可將其簡(jiǎn)化為多質(zhì)點(diǎn)體系，并按多質(zhì)點(diǎn)體系進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析圖3-11 多質(zhì)點(diǎn)體系二、運(yùn)動(dòng)方程圖3-12兩自由度體系得瞬時(shí)動(dòng)力平衡 圖3-13剛度系數(shù) 質(zhì)點(diǎn)1作為隔離體 慣性力為： 彈性恢復(fù)力為 阻尼力 )(1011xxmI )(2121111xkxkS)(2121111xCxCD 0121211121211111xmxkxkxCxCxm 質(zhì)點(diǎn)2

38、作為隔離體，同理0222211222211222xmxkxkxCxCxm 式中 k11為使質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)2不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所施加的水平力； k12為使質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)1不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所施加的水平力； c11為使質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)2不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所施加的阻尼力； c12為使質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)1不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所施加的阻尼力；kij反映了結(jié)構(gòu)剛度的大小，稱(chēng)為剛度系數(shù) 222221122111kkkkkkkk222221122111cccccccc運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)成矩陣的形式 01 xmxkxcxm 21212122211211222112112100 xxxxx

39、xxxxkkkkkcccccmmm 當(dāng)為一般的多自由度體系時(shí)，式中的各項(xiàng)為 nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkccccccccccmmmm 21212132122221112112122221112112100三、自由振動(dòng)1、自振頻率002221212221211111xkxkxmxkxkxm 微分方程組的解為 )sin()sin(2211tXxtXx0)(0)(2222212121212111XmkXkXkXmk有非零解，其系數(shù)行列式必須為零 0222221122111mkkkmk0)(2121122211222211122mmkkkkmkmk2121

40、122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk對(duì)于一般的多自由度體系 0)(0)(0)(22211222222121121212111nnnnnnnnnnXmkXkXkXkXmkXkXkXkXmk寫(xiě)成矩陣形式 0)(2XmK nnnnnnnXXXxkkkkkkkkkkmmmm21321222211121121,00頻率方程 0| |2mK-振型方程-頻率方程2、主振型對(duì)于 對(duì)于 1212112111112kkmXX12112211222kkmXX質(zhì)點(diǎn)的位移為 )sin()sin(111212111111tXxtXx)sin()sin(222222222121tXx

41、tXx振動(dòng)過(guò)程中兩質(zhì)點(diǎn)的位移比值為 12112111112kkmxx12112211222kkmxx由此可見(jiàn)，這一比值不僅與時(shí)間無(wú)關(guān)，而且為常數(shù)。也就是說(shuō)，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中的任意時(shí)刻，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移比值始終保持不變。這種振動(dòng)形式通常稱(chēng)為主振型。當(dāng)體系按 振動(dòng)時(shí)稱(chēng)為第一振型或基本振型，按 振動(dòng)時(shí)稱(chēng)為第二振型。因主振型只取決于質(zhì)點(diǎn)位移之間的相對(duì)值，所以通常將其中某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移值定為1。一般，體系有多少個(gè)自由度就有多少個(gè)頻率，相應(yīng)就有多少個(gè)主振型，它們是體系的固有屬性。12第1階模態(tài)位移云圖 第2階模態(tài)位移云圖第3階模態(tài)位移云圖 第4階模態(tài)位移云圖在一般的初始條件下，體系得振動(dòng)曲線(xiàn)將包含全部振型

42、。這可由自由振動(dòng)方程（3-79）的通解看出，該方程的特解見(jiàn)式（3-88）,其通解為這些特解的線(xiàn)性組合，即：)sin()sin(222211122tXtXx)sin()sin(222111111tXtXx在一般初始條件下，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)，它不在時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而且質(zhì)點(diǎn)之間位移的比值也不再是常數(shù)，其值將隨時(shí)間而發(fā)生變化。3、主振型的正交性根據(jù)功的互等定理，即第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的位移上所作的功，等于第二狀態(tài)的力在第一狀態(tài)的位移上所作的功，得：1222222112122122122122111211XXmXXmXXmXXm022122211112221XXmX

43、Xm）（02212221111XXmXXm 對(duì)于兩個(gè)以上的多自由度體系，任意兩個(gè)振型j和k之間也都有著上述的正交性，它們可以表示為0222111knjnnkjkjXXmXXmXXm01nikijiiXXm用矩陣表達(dá) 0XkTjXm knkkknjnjjTjXXXXmmmmXXX21212100X表示多自由度體系任意兩個(gè)振型對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性，事實(shí)上，多自由度任意兩個(gè)振型對(duì)剛度矩陣也有正交性 0)(2XmK等式兩邊各前乘 kkkXmXk2TjXkTjkkTjXmXXkX2 0kTjXkX 0XkTjXm例3-3:計(jì)算圖3.15（a）所示二層框架結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，并驗(yàn)算其主振型的正交性。各層質(zhì)

44、量為 。第一層側(cè)向剛度為 ，第一層側(cè)向剛度為 tmtm50,6021mkNk/10541mkNk/10342解，求框架各層的層間剛度系數(shù)：KN/m103KN/m103KN/m108422242211242111kkkkkkkk由式（3-82），可得頻率方程為05010310310360108244424解上式得sradsrad/32.40;/54.1721由式（3-89）可得振型為第一振型 第二振型 488. 011031086 .307604412112111112kkmXX71. 111031088 .1625604412112211222kkmXX驗(yàn)算主振型的正交 對(duì)質(zhì)量矩陣 對(duì)剛度矩陣

45、 0171. 0X mX2T1T 0171. 133381488. 010X kX42T1T例題例題3-43-4三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示，三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示，求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型 解：該結(jié)構(gòu)為解：該結(jié)構(gòu)為3 3自由度體系，自由度體系， 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為kg1010005 . 100023Mm/N106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136K先由特征值方程求自振圓頻率，令先由特征值方程求自振圓頻率，令600B2得得0B11-01B5 . 13202-B25| |2MK或或02-

46、B5 . 7B5 . 5B23由上式可解得由上式可解得351. 0B161. 1B254. 3B3從而由從而由 B600得得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周期與自振頻率的關(guān)系由自振周期與自振頻率的關(guān)系 /2T ，可得結(jié)構(gòu)的各階自振，可得結(jié)構(gòu)的各階自振s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3周期分別為周期分別為 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK 1111nininiBA由由得得648. 0301. 060006 .1484120012005 .257911211代入代入 01T1inin

47、iCB校核校核08 .389648. 0301. 0600, 0則第一階振型為則第一階振型為 1648. 0301. 01同樣可求得第二階和第三階振型為同樣可求得第二階和第三階振型為 1601. 0676. 02 157. 247. 23為求第一階振型，將為求第一階振型，將 rad/s5 .141代入代入 將各階振型用圖形表示將各階振型用圖形表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一階振型第一階振型第二階振型第二階振型第三階振型第三階振型振型具有如下特征振型具有如下特征: : 對(duì)于串聯(lián)多質(zhì)點(diǎn)多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖對(duì)于串聯(lián)多質(zhì)點(diǎn)多自由度體

48、系，其第幾階振型，在振型圖上就有幾個(gè)節(jié)點(diǎn)（振型曲線(xiàn)與體系平衡位置的交點(diǎn)上就有幾個(gè)節(jié)點(diǎn)（振型曲線(xiàn)與體系平衡位置的交點(diǎn) ) ) 利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否 4、振型分解法在一般的初始條件下，體系的振型曲線(xiàn)將包含全部振型，如兩自由度體系。 )sin()sin(222111111tXtXx)sin()sin(222211122tXtXx如果用體系的振型作為基底，而用另一個(gè)函數(shù)q(t)作為坐標(biāo)，就可以把聯(lián)立方程組變成幾個(gè)獨(dú)立的方程，每個(gè)方程只包含一個(gè)未知項(xiàng)。這樣可以分別獨(dú)立求解，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。這一方法稱(chēng)為振型分解法，它是求解多自

49、由度體系地震反應(yīng)的重要方法。 0 xmxkxcxm )()()(2)(02txtxtxtx 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，先考慮兩自由度體系，如圖3.16所示。將質(zhì)點(diǎn)m1和m2在地震作用下任一時(shí)刻的位移x1(t)和x2(t)用其兩個(gè)振型線(xiàn)性組合來(lái)表示，即22212122121111)()()()()()(XtqXtqtxXtqXtqtx這里用新坐標(biāo)q1(t),q2(t)代替原有的兩個(gè)幾何坐標(biāo)幾何坐標(biāo)x1(t)、x2(t)。只要q1(t),q2(t)確定，x1(t)、x2(t)也就可以確定，而q1(t),q2(t)實(shí)際上代表質(zhì)點(diǎn)任一時(shí)刻的變位中第一振型與第二振型所占的分量。由于x1(t)、x2(t)為時(shí)間的函數(shù)，

50、所以q1(t),q2(t)也為時(shí)間函數(shù)，一般稱(chēng)為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。當(dāng)為多自由度體系時(shí)，上式可寫(xiě)成： njjijiXtqtx1)()(也可以寫(xiě)成下屬矩陣的形式 qXx 21njXXXXX nixxxxx21nnjnnnnjnjXXXXXXXXXXXXX21222212112111 niqqqqq21體系的位移可以看成是由各振型乘以體系的位移可以看成是由各振型乘以相應(yīng)的組合系數(shù)疊加而成，即將位移相應(yīng)的組合系數(shù)疊加而成，即將位移按振型加以分解，故稱(chēng)為振型分解法按振型加以分解，故稱(chēng)為振型分解法 q為時(shí)間函數(shù)為時(shí)間函數(shù) 阻尼矩陣的處理阻尼矩陣的處理振型關(guān)于下列矩陣正交：振型關(guān)于下列矩陣正交：剛度矩陣剛度

51、矩陣阻尼矩陣阻尼矩陣振型分解法的前提：振型分解法的前提：質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣無(wú)條件滿(mǎn)足無(wú)條件滿(mǎn)足采用瑞雷阻尼矩陣采用瑞雷阻尼矩陣 kmc21 0 xmxkxcxm 令 kmc21可得 021xmqXkqXkmqXm 兩邊各項(xiàng)乘以 TjX 021xmXqXkXqXkmXqXmXTjTjTjTj 上式等號(hào)左邊的第一項(xiàng)nnTjjjTjTjTjnjnjTjTjqXmXqXmXqXmXqXmXqqqqXXXXmXqXmX 22112121根據(jù)振型對(duì)質(zhì)量的矩陣的正交性，上式除了 一項(xiàng)外，其余項(xiàng)均為零，故有 jjTjqXmX jjTjTjqXmXqXmX 同理，利用振型對(duì)剛度矩陣的正交性，（3-96）式左邊第三

52、項(xiàng)也可寫(xiě)成jjTjTjqXkXqXkX根據(jù)式（3-85），對(duì)于j振型有 ，故上式可以寫(xiě)成 jjjXmXk2jjTjjjTjqXmXqXkX2對(duì)于式（3-96）等式右邊的第二項(xiàng)，同理可寫(xiě)成：jjTjjTjqXmXqXkmX)()(22121綜合得 ), 2, 1(02221njxqqqjjjjjj nijiinijiijTjTjjXmXmXmXmX1211令 jjj2221則式（3-100）可寫(xiě)成 ), 2, 1(202njxqqqjjjjjjj 在式（3-103）中， 為對(duì)應(yīng)于j振型的阻尼比，系數(shù) 通常根據(jù)第一、第二振型的頻率和阻尼比確定，即由式（3-103）得：j21、22222111212

53、1222122112222122122121122可以看出，式（3-103）與單自由度體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程在形式上基本相同，只是方程式（3-103）的等號(hào)右邊多了一個(gè)系數(shù) ，所以方程（3-103）的解為： jtjtjjjdtextqjj0)(0)(sin)()( 或)()(ttqjjjtjtjjdtextjj0)(0)(sin)(1)( 將式（3-106）代入（3-94），得 njjijjnjjijiXtXtqtx11)()()(上式就是振型分解法分析時(shí)，多自由度彈性體系在地震作用下其中任一質(zhì)點(diǎn)mi位移的計(jì)算公式。 式（3-108）中 的表達(dá)式見(jiàn)式（3-101），稱(chēng) 為體系在地震反應(yīng)

54、中第j振型的振型參與系數(shù)振型參與系數(shù)。實(shí)際上，就是當(dāng) 質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)的 值。證明如下： jj121njxxxxjq 考慮兩質(zhì)點(diǎn)體系，令式（3-93）中的 ，得： 121 xx222121212111)()(1)()(1XtqXtqXtqXtq以 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得 111Xm122Xm2212222121212221112121111111)()()()(XXtqmXtqmXmXXtqmXtqmXm將上述兩式相加，并利用振型的正交性，可得1212221111221111)(XmXmXmXmtq同理，將 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得：211X

55、m222Xm2222222112222112)(XmXmXmXmtq故式（3-109）即可寫(xiě)成：22212121211111XXXX對(duì)于兩個(gè)以上的自由度體系，還可寫(xiě)成一般關(guān)系式11jinjjXnj, 2, 1 nijiinijiijTjTjjXmXmXmXmX12113.53.5自振頻率和振型的近似計(jì)算自振頻率和振型的近似計(jì)算在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算時(shí)，必須求出結(jié)構(gòu)的自振周期和在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算時(shí)，必須求出結(jié)構(gòu)的自振周期和振型，在進(jìn)行最簡(jiǎn)單的計(jì)算（底部剪力法）時(shí)，也要計(jì)算結(jié)振型，在進(jìn)行最簡(jiǎn)單的計(jì)算（底部剪力法）時(shí)，也要計(jì)算結(jié)構(gòu)的基本周期。構(gòu)的基本周期。結(jié)構(gòu)自振周期的計(jì)算方法有：結(jié)構(gòu)自振周

56、期的計(jì)算方法有：1、理論與近似的計(jì)算、理論與近似的計(jì)算2、經(jīng)驗(yàn)公式、經(jīng)驗(yàn)公式 3、試驗(yàn)方法等、試驗(yàn)方法等一、矩陣迭代法（斯多都拉Stodola法） 體系按頻率 振動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)點(diǎn)的位移幅值可分別表示為： nnnnnnnnnnnnnXmXmXmXXmXmXmXXmXmXmX22222112122222221212121221222111211將上式寫(xiě)成矩陣形式，即為：nnnnnnnnXXXmmmXXX2121321222211121122100或2XmX實(shí)際上，有結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)知道，剛度矩陣和柔度矩陣互擬，式（3-113）也可以用剛度矩陣表示為：12XmkX為了求得結(jié)構(gòu)的頻率和振型，就需要對(duì)式

57、（3-113）進(jìn)行迭代，其步驟如下：先假定一個(gè)振型并代入上式等號(hào)右邊，進(jìn)行求解后可得到 和主振型的第一次近似值，再將第一次近似值代入上式進(jìn)行計(jì)算，則可得到 和主振型的第二次近似值，如此下去，直至前后兩次計(jì)算結(jié)果接近為止。當(dāng)一個(gè)振型求得后，則可以利用正交性求出較高次的頻率和振型。22例3.5圖3-17為三層框架結(jié)構(gòu)，假定其橫梁剛度無(wú)限大。各質(zhì)量為 ，各層剛度分別為。試用矩陣迭代法求解結(jié)構(gòu)的頻率和振型。2545t2561t21mm，559t3mKN/m108.23KN/m1003. 9KN/m1043. 5535251kkk，圖3-17例3.2示意圖（a）結(jié)構(gòu)體系 （b）第一振型 （c）第二振型

58、（d）第三振型解：（1）柔度系數(shù)計(jì)算KNm1016. 4111KNm1095. 211;KNm1084. 11632133621232261131211kkkkkk（2）第一振型：設(shè)第一振型的近似值為 ，代入式（3-113）得：111131211XXX000.1953.0716.010145514551387104210111559025450256116.495.284.195.295.284.184.184.184.1100052152162113121132133323123222113121121131211XXXmmmXXX則，第一振型的近似之為： ，再將此值代入（3-113）得：0

59、00. 1953. 0716. 0131211XXX000. 1489 . 0690. 01028512851218188710000. 1953. 0716. 0559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 110521521621131211XXX將此值第三次代入（3-113）得：000. 1479 . 0687. 01026912691202187210521521131211XXX從（a）式可以看出，最后一次振型與上一次的振型已經(jīng)十分接近，因此結(jié)構(gòu)的基本振型可以確定為， ，如圖3.17（b）所示。結(jié)構(gòu)的基本頻率 可以由

60、（a）的任一式求得，例如根據(jù) 可得 000. 1479 . 0687. 0131211XXX1000. 113X000. 1102691000. 1521s/88rad. 8101269151（3）第二振型：對(duì)于第二振型，由式（3-112）得32221262232221232133323123222113121122322212559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 11000XXXXXXmmmXXX利用主振型的正交性，得（b） 05592410175905590254502561000. 1947. 0687. 003