計(jì)算方法 12 牛頓迭代法-非線性方程

1、牛頓迭代法牛頓迭代法 非線性方程非線性方程計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1 1 牛頓給出一種求解方法：牛頓給出一種求解方法：在根附近任取一個(gè)點(diǎn)，在根附近任取一個(gè)點(diǎn)， 曲線與在該點(diǎn)處的切線，該切線與軸線交點(diǎn)取作曲線與在該點(diǎn)處的切線，該切線與軸線交點(diǎn)取作 第二點(diǎn)，依次循環(huán)第二點(diǎn)，依次循環(huán) 設(shè)方程設(shè)方程 有根有根 ，且，且 ，如圖所示，如圖所示牛頓迭代法幾何含義牛頓迭代法幾何含義*( )0 ( )0f xxfx x*x0 x1x2xky=g(x)計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期）

2、西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院2 2牛頓迭代法幾何含義牛頓迭代法幾何含義0000100()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 x*x0 x1x2xky=g(x)1111211()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院3 3牛頓迭代法牛頓迭代法 定義定義：從幾何上看，從幾何上看， 越來越接近越來越接近 。由此，。由此， 不難歸納出一般迭代公式不難歸納出一般迭代公式 以上方法稱作以上方法稱作牛頓迭代

3、法牛頓迭代法（也稱（也稱切線法切線法）*12, xxx10() ()()kkkkf xxxxfx 為為初初值值 定理定理： 設(shè)設(shè) 是方程是方程 的一個(gè)單根，且的一個(gè)單根，且 ， 則，牛頓迭代法以則，牛頓迭代法以 2 階速度收斂于方程根階速度收斂于方程根 。* ( )0 ( )0 xf xfxx 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院4 4 證明證明：事實(shí)上，迭代函數(shù)事實(shí)上，迭代函數(shù) ，且，且 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由迭代定理可知，牛頓迭代時(shí)，由迭代定理可知，牛頓迭代 法以法以 2 階速度收斂于階速度收斂于 。牛頓迭代法牛

4、頓迭代法 232*3*( )( )( )( )( )( )( )2 ( )( )() ()( )fxfxf x fx fxxfxf xfxfxfxfx ( )( )( )f xxxfx 2( )( )( ), ( )0( )f x fxxxfx *()0 fxx 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院5 5 例例：證明以上公式，對于初值證明以上公式，對于初值 整體收整體收 收斂于收斂于 ，且收斂速度是，且收斂速度是 2 階的。階的。牛頓迭代法牛頓迭代法 定義定義：對于給定正數(shù)對于給定正數(shù) a，應(yīng)用牛頓迭代法解

5、二次，應(yīng)用牛頓迭代法解二次 方程方程 ，可求，可求 的計(jì)算公式的計(jì)算公式20 xaa 0(0,)x 112kkkaxxx a計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院6 6牛頓迭代法牛頓迭代法 證明證明：從牛頓迭代法可得從牛頓迭代法可得 12221() ()2()1222kkkkkkkkkkkkkkf xxxfxxfxxaxaxxxaxxx 22112111212kkkkkkkkkkaxaxxaxaxaxaxaxaxx 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科

6、學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院7 7牛頓迭代法牛頓迭代法 證明證明：反復(fù)遞推可得反復(fù)遞推可得 21221111200 = =kkkkkkkaxaxaxaxaxaxaxax 11201201(1)1kkkaxqqqxaaxq 若若記記：1limkkxa 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院8 8牛頓迭代法牛頓迭代法 證明證明： 11 kkeax設(shè)設(shè) 1122kkkkeaxeax = =- -121lim2kkkeea =-=-*1lim0 kpkkexep 從從迭迭代代法法則則得得知知：時(shí)時(shí)，該該迭迭代代式式

7、在在 的的附附近近 階階收收斂斂的的。11(0,) 2 2kkkaxxxa 因因此此，在在 上上以以階階速速度度整整體體收收斂斂于于 。計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院9 9例題例題 例：例：給出計(jì)算給出計(jì)算 的牛頓迭代公式，并計(jì)算的牛頓迭代公式，并計(jì)算 。 3a計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1010例題例題 解：解：設(shè)方程設(shè)方程 ，則，則 ， 代入牛頓迭代公式可得代入牛頓迭代公式可得 當(dāng)當(dāng) a=3 時(shí)，迭代公

8、式為時(shí)，迭代公式為 取取 ，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表 所示。所示。2( )0 ( )2f xxafxx 1132kkkxxx 21()1()22kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx 01.5x 01.5000000000000011.750000000000000.2521.732142857142860.01785714285714 31.732050810014730.00009204712813 41.732050807568880.00000000244585 51.7320508075688801 kkkkxxx 31.73205080

9、756888 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1111例題例題 例：例：設(shè)設(shè) a0 ，推導(dǎo)用牛頓迭代法計(jì)算，推導(dǎo)用牛頓迭代法計(jì)算 1/a 的的 公式，要求在迭代公式中不用除法進(jìn)行運(yùn)算，并公式，要求在迭代公式中不用除法進(jìn)行運(yùn)算，并 計(jì)算計(jì)算 1/6。計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1212例題例題 解：解：設(shè)方程設(shè)方程 ，則，則 ， 代入牛頓迭代公式可得代入牛頓迭代公式可得 當(dāng)當(dāng) a=6 時(shí)，牛頓迭代公式為時(shí)，牛頓

10、迭代公式為 取取 ，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表 所示。所示。211( )0 ( )f xafxxx 1(26), (0,1,)kkkxxxk 1()(2), (0,1,)()kkkkkkf xxxxaxkfx 00.15x 00.15000010.1650000.01520.1666500.0016530.1668170.00016740.1666670.0007550.16666701 kkkkxxx 11.666676 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1313例題

11、例題 例：例：用牛頓迭代法計(jì)算用牛頓迭代法計(jì)算 1/1.2345。計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1414例題例題 解：解：將將 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 ， 代入牛頓迭代公式可得代入牛頓迭代公式可得 取取 ，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表，代入牛頓迭代公式，計(jì)算結(jié)果如表 所示。所示。11 ( )0 1.2345xf xaaax 21()21.2345()kkkkkkf xxxxxfx 01x 01.0000000000000010.765500000000000.234520.807595036375000.04

12、209503637530.810037145291130.0024421089161340.810044552382650.0000074070915250.810044552450380.0000000000677360.8100445524503801 kkkkxxx 10.810044552450381.2345 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1515例題例題 例：例：設(shè)用牛頓迭代法求方程設(shè)用牛頓迭代法求方程 ，在節(jié)，在節(jié) 點(diǎn)點(diǎn) 附近的根，要求精度附近的根，要求精度 。( )1xf xxe50.5 10 x 計(jì)算方法（計(jì)算方法（2016/2017 第一學(xué)期）第一學(xué)期） 西南科技大學(xué)西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院制造科學(xué)與工程學(xué)院1616例題例題 解：解：由由 ，代入牛頓迭代公式可得，代入牛頓迭代