微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、綏化學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)一元函數(shù)微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用學(xué)生姓名： 王芳 學(xué) 號(hào)： 200950811 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2009級(jí) 指導(dǎo)教師： 齊秀麗 副教授 Suihua University Graduation Paper The Application of Unary Function Calculus in Economics Student name Wang Fang Student number 200950811 Major Mathematics and Applied Maths Supervising teacher Qi Xiuli Sui

2、hua University目 錄摘 要.Abstract.第1章 一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的兩種應(yīng)用.1 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用2 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用.6第2 章 一元函數(shù)積分學(xué)在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用.10第1節(jié) 定積分在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用.10第2節(jié) 不定積分在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用.13結(jié) 論16參考文獻(xiàn)17致 謝18摘 要高等數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)是當(dāng)今世界發(fā)展不可缺少的兩個(gè)組成部分，隨著世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展及數(shù)學(xué)理論的不斷完善，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系也越來(lái)越緊密尤其是21世紀(jì)以來(lái)，隨著世界經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中所占有的地位也越來(lái)越突出本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)

3、中一元函數(shù)微積分理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的部分應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的概括分析通過(guò)邊際分析、彈性分析等知識(shí)的應(yīng)用，進(jìn)一步了解一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用通過(guò)研究一元函數(shù)積分學(xué)中的定積分與不定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)求解經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的一些簡(jiǎn)單方法關(guān)鍵詞：邊際分析；彈性分析；一元函數(shù)微分學(xué)；一元函數(shù)積分學(xué)AbstractHigher mathematics and economics are two indispensable components on current worlds development，with the c

4、ontinuous development of world economy and the continuous improvement of the mathematical theory，mathematics and economics relationship is becoming more and more closerEspecially since the 21st century，with the rapid development of world economy，mathematical knowledges possession of status is becomi

5、ng more and more outstanding in the field of the economicsThis article is aimed at to make simple summary analysis in the unary function theory of calculus that is belonged to the advanced mathematics，and which partial application in economicsBy the analysis of Marginal，the analysis of Elastic，to ma

6、ke a further understand on the important role of unary function differential calculus in economicsBy studying the application of the indefinite integral and definite integral which are part of the integral calculus in economics， strengthen the understanding of mathematical knowledges function in eco

7、nomics，so as to deepen the understanding of mathematical knowledge and knowledge of economics，and master some simple method of mathematical knowledge to solve the economic problemsKey words: Marginal analysis; Elastic analysis; Unary function differential calculus; Unary function integral calculusII

8、 綏化學(xué)院2013屆本科生畢業(yè)論文 第1章 一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的兩種應(yīng)用 隨著世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的研究越來(lái)越發(fā)揮出不可替代的獨(dú)特作用一元函數(shù)微分學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，也是解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的重要工具之一 微分學(xué)理論是自研究物體運(yùn)動(dòng)的瞬間速度問(wèn)題和求一般曲線上某點(diǎn)處的切線問(wèn)題開(kāi)始建立，并逐漸完善起來(lái)的因此，導(dǎo)數(shù)能反映某一變化過(guò)程中函數(shù)的因變量相對(duì)于其自變量的變化快慢程度函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是從因變量在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率出發(fā)，在時(shí)，平均變化率的極限值即為其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義為定義11 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得改變量時(shí)，相應(yīng)的因變量取得的改

9、變量為如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，即，也可記為，將導(dǎo)數(shù)的概念引進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)之后，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的分析與研究產(chǎn)生了很大影響利用導(dǎo)數(shù)可以定量分析很多以前無(wú)法分析的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用不僅為一些經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的求解提供了更為簡(jiǎn)便的方法導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用是邊際問(wèn)題和彈性問(wèn)題的分析對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，邊際問(wèn)題和彈性問(wèn)題與其決策和發(fā)展息息相關(guān)本章將從導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用、在彈性分析中的應(yīng)用兩個(gè)方面來(lái)介紹一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的一些應(yīng)用第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用 1.1 導(dǎo)數(shù)在邊際成本中的應(yīng)用根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，成本函數(shù)可表示為，其中為固定成本，為可變成本

10、，為產(chǎn)量顯然，產(chǎn)量發(fā)生改變時(shí)，會(huì)引起可變成本的改變，從而引發(fā)總成本的變化有時(shí)需要研究當(dāng)產(chǎn)量自某一水平開(kāi)始再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品(或少生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品)的話，所引發(fā)總成本的增加量(減少量)，即為總成本對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，稱之為邊際成本它反映了總成本對(duì)產(chǎn)量的變化率用來(lái)表示，則邊際成本的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，每再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的成本，即邊際成本在數(shù)值上等于第個(gè)產(chǎn)品的成本2例1 設(shè)總成本關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)為，需求量關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為，并設(shè)此時(shí)市場(chǎng)達(dá)到均衡且生產(chǎn)的商品全部賣出，試求邊際成本解 由邊際成本的定義可知，邊際成本等于總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即因此，函數(shù)的邊際成本為由得到其反函數(shù)又由于此時(shí)市場(chǎng)達(dá)到均衡，

11、可知需求量等于銷售量根據(jù)題意，銷售量等于產(chǎn)量，則，可得 由例1可以看出當(dāng)產(chǎn)品的固定產(chǎn)量不同時(shí)，增加單位產(chǎn)品的產(chǎn)量，會(huì)使產(chǎn)品的總成本發(fā)生變化由定義可知邊際成本為總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同時(shí)可知產(chǎn)品價(jià)格不同時(shí)，也會(huì)使邊際成本發(fā)生變化在邊際成本與價(jià)格的關(guān)系式中，邊際成本函數(shù)是價(jià)格函數(shù)的反函數(shù)當(dāng)價(jià)格增加時(shí)，邊際成本將減少，同樣，當(dāng)價(jià)格減少時(shí)，邊際成本將增加利用邊際成本可以得到成本的最小值，同時(shí)也可以得出利潤(rùn)的最大值，從而使得企業(yè)可以實(shí)現(xiàn)在生產(chǎn)過(guò)程中所追求的最大利益1.2 導(dǎo)數(shù)在邊際收益問(wèn)題中的應(yīng)用在銷售過(guò)程中，總收益函數(shù)是關(guān)于銷售量的函數(shù)，當(dāng)銷量達(dá)到某一值時(shí)再多銷售(少銷售)一單位產(chǎn)品就會(huì)引起收益的相應(yīng)變化定

12、義1 設(shè)銷售某產(chǎn)品的總收益函數(shù)為(是銷售量)，則對(duì)其自變量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益它反映了總收益對(duì)銷售量的變化率其經(jīng)濟(jì)意義為近似等于銷售量為單位時(shí)，再多(或少)銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所引起的收益的變化量根據(jù)以上分析可得出在銷售量為時(shí)，若，則總收入將增加；在銷售量為時(shí)，若，則總收入將減少；在銷售量為時(shí)，若，則總收入不變?cè)O(shè)產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中表示價(jià)格由于當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)需求量一般會(huì)減少，因此此時(shí)產(chǎn)品的需求函數(shù)是其價(jià)格的減函數(shù)，其反函數(shù)也是單調(diào)遞減的函數(shù)，即價(jià)格是關(guān)于銷量的減函數(shù)假定總收益等于出售產(chǎn)品的數(shù)量與單位產(chǎn)品價(jià)格的乘積，則可知每出售單位產(chǎn)品時(shí)總收益為，根據(jù)邊際收益的定義，利用微分學(xué)中乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則，其

13、邊際收益為 (1.1)由其可得到以下經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的結(jié)論 (1)若產(chǎn)品的價(jià)格與其銷售量無(wú)關(guān)，即價(jià)格為常數(shù)時(shí)，則，該產(chǎn)品的邊際收益等于價(jià)格這種情況只有在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的短期均衡條件下才會(huì)出現(xiàn)(2)由上述公式(1.1)可知由于是減函數(shù)，根據(jù)微分學(xué)理論，有，對(duì)于任意的銷售量，都有，因此邊際收益小于價(jià)格這種情況是在非完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，即壟斷市場(chǎng)情況下才會(huì)發(fā)生的根據(jù)曼昆的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，當(dāng)一個(gè)壟斷者增加一個(gè)單位產(chǎn)量時(shí)，他就必須降低對(duì)所銷售的每一個(gè)單位產(chǎn)品收取的價(jià)格，而且，這種價(jià)格下降減少了他已賣出的各單位產(chǎn)品的收益，因此，壟斷銷售的邊際收益小于其價(jià)格邊際收益在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，利用邊際收益可以預(yù)測(cè)產(chǎn)品的收益，從

14、而預(yù)算出獲得最多利益所需要生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)微分學(xué)原理所做的邊際收益分析可以使利益達(dá)到最大化例2已知某種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量為，該產(chǎn)品的價(jià)格與其需求量的關(guān)系為，試求該產(chǎn)品的邊際收益解由于該產(chǎn)品的需求量為，用表示得因此，根據(jù)總收益公式可知根據(jù)(1.1)可知，邊際收益為根據(jù)以上例題可知當(dāng)銷售量時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，總收益將增加；當(dāng)銷售量時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，總收益將減少；當(dāng)銷售量時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，總收益將不變1.3 導(dǎo)數(shù)在邊際利潤(rùn)中的應(yīng)用邊際利潤(rùn)是指產(chǎn)品的銷售收入與相應(yīng)的變動(dòng)成本之間的差額邊際利潤(rùn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用十分重要，其定義為定義2設(shè)利潤(rùn)函數(shù)(為產(chǎn)量或銷售量)，則的導(dǎo)數(shù)即為邊際利潤(rùn)，即 (1

15、.2)邊際利潤(rùn)反映了利潤(rùn)對(duì)產(chǎn)量或銷量的變化率，其經(jīng)濟(jì)意義為近似等于當(dāng)產(chǎn)量或銷售量為單位時(shí)，再多生產(chǎn)或銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)商品所增加(或減少)的利潤(rùn)由于總利潤(rùn)等于總收入與總成本之差，即，故 ，即邊際利潤(rùn)等于邊際收益與邊際成本之差 例3 某企業(yè)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行分析后指出，總收入(萬(wàn)元)與每月產(chǎn)量(噸)的函數(shù)關(guān)系為，試確定當(dāng)每月產(chǎn)量為、時(shí)的邊際利潤(rùn)解 根據(jù)(1.2)可知，邊際成本為邊際利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即表示產(chǎn)量為單位時(shí)，總利潤(rùn)的變化率依題可知：，則當(dāng)、時(shí)，有 ； ；因此，由上述結(jié)果表明，當(dāng)產(chǎn)量為每月時(shí)，再增加產(chǎn)品，產(chǎn)品的利潤(rùn)將增加萬(wàn)元；當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再生產(chǎn)產(chǎn)品，產(chǎn)品的利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為每月時(shí)，再增加產(chǎn)品，產(chǎn)品

16、的利潤(rùn)將減少萬(wàn)元從以上例子中我們可以看出，當(dāng)企業(yè)投資決策時(shí)，利用邊際利潤(rùn)對(duì)將要投資的項(xiàng)目進(jìn)行分析，可以避免盲目投資給企業(yè)帶來(lái)的損失，使得企業(yè)在未來(lái)的發(fā)展中擁有更美好的前景另外，若企業(yè)同時(shí)從事多種產(chǎn)品的加工生產(chǎn)，也可以通過(guò)邊際利潤(rùn)進(jìn)行分析，使得生產(chǎn)轉(zhuǎn)向利潤(rùn)較大的產(chǎn)品，從而提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益運(yùn)用以微分理論支撐的邊際分析知識(shí)對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的問(wèn)題進(jìn)行分析，不僅可以減少企業(yè)損失、增加企業(yè)利潤(rùn)，還可以使得企業(yè)的資金流向更加合理，從而提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益不僅利于企業(yè)本身的發(fā)展也為整個(gè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行提供了保障第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，與導(dǎo)數(shù)有著密切聯(lián)系的另一個(gè)概念是彈性彈性是定量描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另

17、一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度的函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性主要用于對(duì)生產(chǎn)供給、需求問(wèn)題的研究彈性在數(shù)學(xué)中的嚴(yán)格定義為定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)的相對(duì)變化率當(dāng)時(shí)，的極限，即在處的相對(duì)變化率，稱為在點(diǎn)處的彈性，記作 或，即在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性的種類有很多，其中價(jià)格彈性是最常用的彈性概念之一本節(jié)我們主要討論需求彈性和供給彈性2.1 導(dǎo)數(shù)在需求彈性中的應(yīng)用需求彈性表示的是某種商品的需求量(因變量)對(duì)它的影響因素(自變量，如價(jià)格)變動(dòng)的反應(yīng)程度3影響商品需求的重要因素有很多，如價(jià)格、消費(fèi)者的收入等，都是影響商品需求的重要因素，因此需求函數(shù)的種類也有很多，其中常用的

18、有三種，即需求價(jià)格彈性、收入彈性、交叉彈性，下面主要介紹導(dǎo)數(shù)在需求價(jià)格彈性中的一些應(yīng)用顧名思義，需求價(jià)格彈性指的是某商品的需求量對(duì)其價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度它可以用價(jià)格系數(shù)來(lái)表示需求彈性的數(shù)學(xué)定義為定義4設(shè)人們對(duì)某種商品的需求量為，其價(jià)格為，則該商品的需求價(jià)格彈性為 (1.3)一般來(lái)說(shuō)，市場(chǎng)對(duì)多數(shù)商品的需求量是其價(jià)格的減函數(shù)，因此一般為負(fù)，由，可知，當(dāng)價(jià)格上升百分之一時(shí)，需求量減少百分之 例1設(shè)甲、乙兩家公司同時(shí)生產(chǎn)同種產(chǎn)品，市場(chǎng)上對(duì)甲公司產(chǎn)品的需求函數(shù)為，對(duì)乙公司產(chǎn)品的需求函數(shù)為，兩公司的銷售價(jià)格分別為元，元求甲乙兩公司的需求價(jià)格彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義解由，得，從而市場(chǎng)上對(duì)該產(chǎn)品的飽和需求量為根

19、據(jù)導(dǎo)數(shù)與需求彈性的公式(1.3)可知，甲公司的需求彈性為，由于，所以當(dāng)，該產(chǎn)品價(jià)格上漲時(shí)，需求量將下降乙公司的需求價(jià)格彈性，由于，所以當(dāng)，該產(chǎn)品價(jià)格上漲時(shí)，需求量將下降2.2 導(dǎo)數(shù)在供給彈性中的應(yīng)用供給彈性表示一定時(shí)期的一種商品的供給量的相對(duì)變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)的反應(yīng)程度4其中，供給彈性是用來(lái)表示商品供給量的變動(dòng)率對(duì)于價(jià)格的變動(dòng)率的反應(yīng)程度的若供給函數(shù)為，則供給價(jià)格彈性記做，定義為 (1.4)一般地，假設(shè)函數(shù)是單調(diào)增加的，由于，所以供給價(jià)格彈性取正值，供給價(jià)格彈性簡(jiǎn)稱供給彈性5例2市場(chǎng)需求函數(shù)為，市場(chǎng)供給函數(shù)為，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡(需求量等于銷售量)時(shí)，供給彈性是多少？解由于供給彈性是供

20、給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)(1.4)及已知條件可知，因此，供給彈性為因?yàn)槭袌?chǎng)均衡時(shí)即為市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求量等于銷售量，即時(shí)達(dá)到市場(chǎng)均衡，因此知，解得，(舍)，于是，即市場(chǎng)均衡時(shí)供給彈性為影響產(chǎn)品供給彈性的因素有很多，例如當(dāng)增加產(chǎn)品所需消耗的生產(chǎn)要素費(fèi)用過(guò)大時(shí)，該產(chǎn)品的彈性系數(shù)較小，反之則較大此外，生產(chǎn)產(chǎn)品的時(shí)間長(zhǎng)短也是影響產(chǎn)品供給彈性的因素之一，若短時(shí)期內(nèi)廠商只能在固定的廠房設(shè)備下增加產(chǎn)量，此時(shí)供給量變化有限，則該產(chǎn)品彈性較小，反之較大從本章可見(jiàn)，一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的研究中，尤其是邊際分析和彈性分析的計(jì)算中，有著很重要的用途利用一元函數(shù)微分學(xué)求解經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，不僅是對(duì)數(shù)學(xué)理論本身的完善和發(fā)展，也

21、是一個(gè)企業(yè)謀求發(fā)展時(shí)不可缺少的途徑對(duì)于一個(gè)企業(yè)來(lái)說(shuō)，進(jìn)行邊際分析和彈性分析都非常重要，企業(yè)如果離開(kāi)邊際分析而盲目進(jìn)行生產(chǎn)，就會(huì)減少企業(yè)收益，造成不必要的損失；而如果離開(kāi)彈性分析就會(huì)使利潤(rùn)無(wú)法達(dá)到最大化利用導(dǎo)數(shù)得出的客觀數(shù)據(jù)，有助于企業(yè)做出正確的決策第2章 一元函數(shù)積分學(xué)在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分之一在本章中我們主要介紹一元函數(shù)的定積分和不定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用第1節(jié) 定積分在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用定積分的數(shù)學(xué)定義為定義16設(shè)函數(shù)在有定義，任給一個(gè)分法和一組取點(diǎn)，有積分和若當(dāng)時(shí)，積分和存在有限極限，設(shè)，且常數(shù)與分法無(wú)關(guān)，也與在內(nèi)的取法無(wú)關(guān)，即， ，總有 |，則

22、稱函數(shù)在可積，是函數(shù)在的定積分，記為若當(dāng)時(shí)，積分和不存在極限，則稱函數(shù)在上不可積1.1 利用變上限積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)定義2設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)于任意的，積分存在，則稱是積分上限的函數(shù)所謂經(jīng)濟(jì)函數(shù)一般指第一章所提到的總成本函數(shù)、總利潤(rùn)函數(shù)以及總收益函數(shù)，由第一章可知經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即為邊際函數(shù)，因此，可以利用定積分求出邊際函數(shù)的原函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)函數(shù)利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)，就是已知邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)(經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率)，用變上限的定積分來(lái)確定它的一個(gè)原函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常遇到的求經(jīng)濟(jì)函數(shù)問(wèn)題有下列幾種71已知某產(chǎn)品的邊際成本(表示產(chǎn)量)，固定成本為，則(1)總成本函數(shù)； (2.1)(2)累計(jì)產(chǎn)量從到()的總成本為2已知

23、某產(chǎn)品的邊際收入為(表示銷量)，則(1)銷售個(gè)單位的產(chǎn)品的總收入函數(shù)為； (2.2)(2)累計(jì)銷售量從到時(shí)的總收入為3總收入扣除總成本為利潤(rùn)，所以邊際利潤(rùn)邊際收邊際成本若已知邊際收入為(表示產(chǎn)量)，邊際成本為(表示銷量)，在產(chǎn)量無(wú)積壓( )時(shí)，則有(1)所獲總利潤(rùn)函數(shù)為；(2)當(dāng)累計(jì)產(chǎn)量從增加到過(guò)程中所獲總利潤(rùn)為例1已知某公司的邊際成本函數(shù)為，該公司的邊際收益函數(shù)為，固定成本是萬(wàn)元，試?yán)枚ǚe分求該公司的成本函數(shù)和收益函數(shù)解因?yàn)檫呺H成本函數(shù)為，所以根據(jù)(2.1)可知成本函數(shù)為 令，則又因固定成本為萬(wàn)元，即(萬(wàn)元)，所以，當(dāng)時(shí)，可知，因此得(萬(wàn)元)，故所求成本函數(shù)為(萬(wàn)元)因?yàn)檫呺H收益函數(shù)為，所

24、以根據(jù)(2.2)可知故所求的收益函數(shù)為1.2 利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值、最小值利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值與最小值，即利用邊際經(jīng)濟(jì)量求出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)定積分求出經(jīng)濟(jì)量的最大值或最小值首先要求得經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)滿足，且二階導(dǎo)數(shù)，那么為函數(shù)的極大值點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)滿足，且二階導(dǎo)數(shù)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)若一函數(shù)有多個(gè)極大(小)值點(diǎn)，則將的值代入原函數(shù)進(jìn)行比較，其得數(shù)最大(小)的點(diǎn)為最大(小)值點(diǎn)8例2某種產(chǎn)品生產(chǎn)件的邊際成本為元，固定成本元，又知每件產(chǎn)品的零售價(jià)為元，試求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)值是多少？解因?yàn)樽兩舷薜亩ǚe分就是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，因此可變成本就是

25、總成本函數(shù)的變化率在上的定積分，又知固定成本為元，所以根據(jù)(2.1)有總成本函數(shù) 設(shè)銷售件產(chǎn)品的收入函數(shù)為，依題意有:利潤(rùn)函數(shù)為 由，得，又因?yàn)?，說(shuō)明為極大值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以也是函數(shù)的最大值點(diǎn)即產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為(元)，即產(chǎn)量為時(shí)可獲得的最大利潤(rùn)為元從以上例子中可以看出，利用定積分研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)，有助于實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化第2節(jié) 不定積分在研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)時(shí)的一些應(yīng)用不定積分是微積分的重要組成部分之一，不定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用也是十分廣泛的不定積分的數(shù)學(xué)定義為定義3設(shè)函數(shù)在區(qū)間有意義，存在函數(shù)，對(duì)，有，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的原函數(shù)，或簡(jiǎn)稱是的原函數(shù)函數(shù)在區(qū)間的所有原函數(shù)

26、稱為函數(shù)的不定積分，記為，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分常數(shù)在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中，可對(duì)已知的某種經(jīng)濟(jì)函數(shù)求導(dǎo)，從而求其邊際函數(shù)；反過(guò)來(lái)，也可以對(duì)已知的邊際函數(shù)計(jì)算其不定積分，而求其總量經(jīng)濟(jì)函數(shù)利用不定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的問(wèn)題，最常見(jiàn)的有三種(1)已知邊際成本函數(shù)，求總成本函數(shù)設(shè)用函數(shù)表示邊際成本函數(shù)，表示平均成本，為產(chǎn)量，為總成本，則， (2.3)因此總成本為(2)已知邊際收益函數(shù)，求總收益函數(shù)設(shè)某種商品的產(chǎn)量為個(gè)，用表示邊際收益函數(shù)，則可知總收益函數(shù)為(3)已知總產(chǎn)量的變化率，求總產(chǎn)量設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)間的總產(chǎn)量的變化率為，則總產(chǎn)量函數(shù)為下面對(duì)已知邊際成本函數(shù)，求總成本函數(shù)的問(wèn)題做以舉例說(shuō)明例1設(shè)

27、已知某廠的邊際成本函數(shù)，假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，平均成本為，試求：(1)平均成本函數(shù)； (2)總成本函數(shù)；(3)產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最低解由于平均成本是邊際成本的原函數(shù)，所以對(duì)邊際平均成本函數(shù)積分便可以得到平均成本函數(shù)，因此有(1)根據(jù)(2.3)可知由題設(shè)，則，解得這樣，平均成本函數(shù)為(2)因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)等于平均成本函數(shù)與產(chǎn)量的乘積，即，所以 (3)由極限存在的必要條件可知，平均成本最低的條件是，則令 ，得，(舍)因此，當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，成本最低從本章可見(jiàn)，一元函數(shù)積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用十分普遍且起到重要作用，尤其是在已知邊際函數(shù)求原函數(shù)的問(wèn)題中利用一元函數(shù)積分學(xué)可以方便快捷的求出原函數(shù)，使得經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的求解方法更加多樣化同時(shí)，也使數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一元函數(shù)積分學(xué)的運(yùn)用范圍更加廣闊結(jié) 論一元函數(shù)微積分是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，一元函數(shù)微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中擁有不可替代的作用運(yùn)用微積分知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，不僅是微積分理論的完善和發(fā)展，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的進(jìn)步本文分兩章闡述了一元函