第03章平面問題的直角坐標解答

1、第三章 平面問題的直角坐標解答Theory of Elasticity and Finite Element Method彈性力學與有限元q 逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡支梁受均勻分布荷載簡支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.1 逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答體力為常量時體力為常量時，按應力法求解平面問題，可轉化為按應力法求解平面問題，可轉化為求解一個應力函數(shù)求解一個應力函數(shù)f f ，它在區(qū)域內(nèi)滿足應力函數(shù)表示，它在區(qū)域內(nèi)

2、滿足應力函數(shù)表示的相容方程的相容方程(2-25)：024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)應力邊界條件：應力邊界條件：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx(2-15)同時在邊界上滿足應力邊界條件同時在邊界上滿足應力邊界條件(2-15)(2-15)：逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答求得應力函數(shù)后，由下式求得應力函數(shù)后，由下式(2-24)求應力分量，然求應力分量，然后求應變和位移分量。后求應變和位移分量。yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff由于相容方程由于相容方程( (2-25) )是偏微分方

3、程，其通解不能是偏微分方程，其通解不能寫成有限項數(shù)的形式，一般不能直接求解，只能采寫成有限項數(shù)的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解法與半逆解法。用逆解法與半逆解法。024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法逆解法：逆解法： (1)先假設一滿足先假設一滿足相容方程相容方程( (2-25) )的應力函數(shù)的應力函數(shù) f f ; ;024422444yyxxfff(2-25) (2)由式由式( (2-24) )，根據(jù)應力函數(shù)，根據(jù)應力函數(shù) f f 求得應力分量求得應力分量; ;yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(2222

4、2fff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (3)在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件( (2-15) )或或次要邊界上的積分邊界條件次要邊界上的積分邊界條件, , 分析這些應力分量對應于分析這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應力函數(shù)可以邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應力函數(shù)可以解決什么樣的問題。解決什么樣的問題。（或者根據(jù)已知面力確定應力函數(shù)（或者根據(jù)已知面力確定應力函數(shù)或應力分量表達式中的待定系數(shù)）或應力分量表達式中的待定系數(shù)） syx

5、yysxyxxmlsfmlsf)()()()(逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (1) (1)對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、幾何形狀、受力特征和變形的特點或已知的一些簡單結論受力特征和變形的特點或已知的一些簡單結論，如材料力學得，如材料力學得到的初等結論，假設到的初等結論，假設部分或全部應力分量部分或全部應力分量的函數(shù)形式；的函數(shù)形式；半逆解法：半逆解法：yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff (2) (2)按式按式(2-24)(2-24)，由應力推出應力函數(shù)，由應力推出應力函數(shù)f f的一般形式（含待的

6、一般形式（含待定函數(shù)項）；定函數(shù)項）； (3) (3)將應力函數(shù)將應力函數(shù)f f代入代入相容方程進行校核，進而求得應力函相容方程進行校核，進而求得應力函數(shù)數(shù)f f的具體表達形式；的具體表達形式；024422444yyxxfff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (5) (5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應力根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應力分量是否滿足全部應力邊界條件。如果都能滿足，則所得出的分量是否滿足全部應力邊界條件。如果都能滿足，則所得出的解就是正確解，否則要重新假設應力分量，重復上述過程并進解就是正確解，否則要重新假設應力分量，重復上述過程并進行求解。行求解。

7、(4)(4)將應力函數(shù)將應力函數(shù)f f代入代入式式(2-24)(2-24)，由應力函數(shù)求得應力分量，由應力函數(shù)求得應力分量yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法逆解法和半逆解法的求解過程帶有逆解法和半逆解法的求解過程帶有“試算試算”的性質的性質，顯然彈性力學解的唯一性定理是逆解法和半逆解法，顯然彈性力學解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。的理論依據(jù)。逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答下面用逆解法求出幾個簡單的平面問題（下面用逆解法求出幾個簡單的平面問題（矩形薄板矩形薄板）的解答。體力不計，

8、即的解答。體力不計，即fx= =fy=0=0，應力函數(shù)取為多項式。應力函數(shù)取為多項式。1 1、取應力函數(shù)為一次式：、取應力函數(shù)為一次式：f f= =a+ +bx+ +cy顯然，不論各系數(shù)取何值，總能滿足相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，總能滿足相容方程(2-25):(2-25):代入方程代入方程(2-24)(2-24)024422444yyxxfff求得應力分量：求得應力分量： x= = y = = xy = = 0yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答代入應力邊界條件方程代入應力邊界條件方程(2

9、-15):(2-15):結論：結論：（1 1）線性應力函數(shù)對應于無體力、無面力、無應力的力線性應力函數(shù)對應于無體力、無面力、無應力的力學狀態(tài)；學狀態(tài)；（2 2）將平面問題的應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影）將平面問題的應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應力分布。響應力分布。0yxff不論彈性體形狀如何，也不論坐標系如何選擇，均求得不論彈性體形狀如何，也不論坐標系如何選擇，均求得面力分量：面力分量：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答2 2、取應力函數(shù)為二次式：、取應力函數(shù)為二次式：f f= =ax2+ +bxy+ +c

10、y2顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程(2-25)(2-25)總能滿足總能滿足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得應力分量：求得應力分量： x= =2c， y = =2a， xy= = yx=-=-b代入應力邊界條件方程代入應力邊界條件方程(2-15)(2-15)，求得各邊界上面力分布，求得各邊界上面力分布如下：如下： afbfyx2,上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答因此，二次式能解決矩形板受均勻拉壓力或剪力的問題

11、因此，二次式能解決矩形板受均勻拉壓力或剪力的問題afbfyx2,上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答3 3、取應力函數(shù)為三次式：、取應力函數(shù)為三次式：f f= =ay3顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程(2-25)(2-25)總能滿足；總能滿足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得應力分量：求得應力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0代入應力邊界條件方程代入應力邊界條件方程(2-15)

12、(2-15)，求得各邊界上面力分，求得各邊界上面力分布如下：布如下：0, 0yxff上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答結論：結論：（1 1）上下邊界）上下邊界無面力；無面力；（2 2）左右邊界為線性水平面力，并能合成為一個力偶，）左右邊界為線性水平面力，并能合成為一個力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問題。因而能解決矩形梁受純彎曲的問題。0, 0yxff上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0

13、,6yxfayf逆解法解平面問題及其多項式解答逆解法解平面問題及其多項式解答4 4、如果應力函數(shù)取四次或四次以上的多項式，、如果應力函數(shù)取四次或四次以上的多項式，則其中的系數(shù)必須滿足一定的條件，才能滿足則其中的系數(shù)必須滿足一定的條件，才能滿足相容方程。相容方程。( (例如：當應力函數(shù)取四次多項式例如：當應力函數(shù)取四次多項式ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4，求此條件）求此條件）例題例題例例1 1：已知函數(shù)已知函數(shù)f f= =a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應力函試檢查它能否作為應力函數(shù)？若能，試求出應力分量（不計體力），并求出如數(shù)？若能，試求出應力分量（不計體力

14、），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。圖所示矩形薄板邊界上的面力。例題例題解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿足的。因代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能作為應力函數(shù)。此，它有可能作為應力函數(shù)。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得出應力分量：），得出應力分量：0),(12),(12),(2222222yxyxaxyfxyxayxfyyxxyyyxxfff例題例題0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF3 3、由邊界形狀和應力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應力分量反推出邊

15、界上的面力：在主要邊界上：在主要邊界上：在在次要邊界上：次要邊界上：0122222hyxyhyyfaxfhy)(,)(,xy0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx例題例題0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF例題例題例例2 2：習題：習題3 33 3(Lh)例題例題解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它代入相容方程，可知其是滿足的。因此，它有可能成為該問題的解。有可能成為該問題的解。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得

16、出應力分量：），得出應力分量：)41 (23),(0),(12),(22222322hyhFyxyxyfxyxhFxyxfyyxxyyyxxfff例題例題3 3、由邊界形狀和應力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應力分量反推出邊界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要邊界上：在主要邊界上：因此，在因此，在y = = h/2的邊界面上，無任何面力作用，即的邊界面上，無任何面力作用，即0, 0yxff在在x=0=0，l的次要邊界上：的次要邊界上：)41 (23)(, 0)(, 02200hyhFffxxxyyxxx)41 (23)(,12)(,223hyhFfyhFlflxlxxyylxxx)

17、41 (23, 0,12223hyhFhFxyxyyx例題例題各邊界面上的面力分布如圖所示：各邊界面上的面力分布如圖所示：在在x=0,=0,l的次要邊界上，其主矢量和主矩如下：的次要邊界上，其主矢量和主矩如下：因此上述應力函數(shù)可解決懸臂梁在左端受集中力因此上述應力函數(shù)可解決懸臂梁在左端受集中力F作用的問題作用的問題)41 (23,12,)41 (23, 0, 00, 0,222322hyhFfyhFlflxhyhFffxffhyyxyxyx例題例題例例3 3：習題：習題3 35 5例題例題解：解：例題例題例題例題例題例題例題例題q逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答q 矩形

18、梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡支梁受均勻分布荷載簡支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.2 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲_逆解法逆解法問題：問題：矩形截面長梁（長度矩形截面長梁（長度 l 遠大于深度遠大于深度 h），），寬度遠寬度遠小于深度和長度（近似于平面應力問題），或者遠大于深小于深度和長度（近似于平面應力問題），或者遠大于深度和長度（近似于平面應變問題），兩端受相反的力偶作度和長度（近似于平面應變問題），兩端受相反的力偶作用而彎曲，體力不計。（設梁寬為單位寬度用而彎曲，體力不計。（設梁寬為單位寬度1，每單位寬

19、，每單位寬度上力偶的矩為度上力偶的矩為M）矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲結論：結論：（1 1）上下邊界）上下邊界無面力；無面力；（2 2）左右邊界為線性水平面力，并能合成為一個）左右邊界為線性水平面力，并能合成為一個力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問題。力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問題。0, 0yxff上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf當應力函數(shù)為三次式：當應力函數(shù)為三次式：f f= =ay3矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲解：逆解法解：逆解法求得應力分量：求得應力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， x

20、y= = yx= = 0024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(1)假定應力函數(shù)：假定應力函數(shù)：由上一節(jié)可知，當滿足相容方程由上一節(jié)可知，當滿足相容方程(2-25)(2-25)的應力函數(shù)為三次式的應力函數(shù)為三次式 f f= =ay3 時，時，能解決矩形梁受能解決矩形梁受純彎曲的問題。純彎曲的問題。(2)求應力分量：求應力分量：代入方程代入方程(2-24)(2-24)矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲(3)考察應力分量是否滿足邊界條件？若要滿足，系數(shù)考察應力分量是否滿足邊界條件？若要滿足，系數(shù)a如何取值？如何取值？上下兩邊界：上下

21、兩邊界：沒有面力作用，代入應力邊界條件沒有面力作用，代入應力邊界條件(2-15)(2-15)，得上下邊界處，得上下邊界處 y = =0 ， xy= = yx= = 0。由于梁內(nèi)應力分量分布為由于梁內(nèi)應力分量分布為 x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0，顯然上述條件成立。顯然上述條件成立。矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲左右兩邊界：左右兩邊界：(a): :沒有切向面力作用，代入應力邊界沒有切向面力作用，代入應力邊界條件條件(2-15)(2-15)，得，得 xy= = 0，這也能滿足。這也能滿足。因為所有各點均有上述條件成立。因為所有各點均有上述條件成立。(b): :應用

22、圣維南原理，由主應力合成的應用圣維南原理，由主應力合成的主矢量為主矢量為0 0，合成的主矩等于面力的力，合成的主矩等于面力的力偶矩偶矩M，即有，即有Mydydyhhlxxhhlxx22,022,0)(,0)(將應力分量代入，可得將應力分量代入，可得32hMa 從而有從而有0,123xyxyyxyIMyhM x= =6ay , y= =0, xy= =0矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲與材料力學中解答完全相同，與材料力學中解答完全相同，即各纖維只受按直線分布的彎應即各纖維只受按直線分布的彎應力。如左圖所示力。如左圖所示組成力偶的面力必須按左圖所組成力偶的面力必須按左圖所示的直線分布，解答示的直線分布

23、，解答(3-1)才是完才是完全精確的；否則會有誤差。但是全精確的；否則會有誤差。但是根據(jù)圣維南原理，只在兩端附近根據(jù)圣維南原理，只在兩端附近有顯著誤差，而離開兩端較遠處有顯著誤差，而離開兩端較遠處，誤差可以不計。，誤差可以不計。0,123xyyxyIMyhM例題例題例例2 2：習題：習題3 37 7解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f代入相容方程，可知其是滿足的。代入相容方程，可知其是滿足的。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得出應力分量：），得出應力分量：)3(),(0),(662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxxfff

24、例題例題3 3、考察邊界條件、考察邊界條件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要邊界上，應精確滿足式（在主要邊界上，應精確滿足式（2 21515）：）：第一式自然滿足，由第二式有第一式自然滿足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(06622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx例題例題在在次要邊界次要邊界x=0=0上上，只給出了面力的主失量和主矩，只給出了面力的主失量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分邊界條件代替：應用圣維南原理，用三個積分邊界條件代替：由此得由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/0

25、2/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB334122（b）)3(6622DyADxyCyBxyx例題例題結合（結合（a a）、（）、（b b）求解：求解：代入應力分量，得代入應力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNx推論推論如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最力邊界條件也都分別滿足。則可以推論出，最后

26、一個小邊界上的三個積分應力邊界條件（即后一個小邊界上的三個積分應力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿足的。主失量和主矩條件）必然是滿足的。q 逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡支梁受均勻分布荷載簡支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.3 位移分量的求解位移分量的求解本節(jié)所解決的問題：按應力求解時，如果已求出應本節(jié)所解決的問題：按應力求解時，如果已求出應力分量，如何求對應的位移分量？力分量，如何求對應的位移分量？ 以矩形梁的純彎曲為例，由應力分量求解位移

27、分量以矩形梁的純彎曲為例，由應力分量求解位移分量1、假定考慮平面應力問題、假定考慮平面應力問題。首先將上節(jié)所求應力分。首先將上節(jié)所求應力分量代入物理方程量代入物理方程(2-12)xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(10 xyyxyEIMyEIM0 xyyxyIM位移分量的求解位移分量的求解2 2、將應變分量代入平面問題的幾何方程、將應變分量代入平面問題的幾何方程(2-8)(2-8)：0,xyyxyuxvyEIMyvyEIMxu前兩式分別積分，可得前兩式分別積分，可得)(2, )(221xfyEIMvyfxyEIMu代入第三式，并整理可得代入第三式，并整理可得xEIMdxxdfdyydf

28、)()(21位移分量的求解位移分量的求解等式左右兩邊分別為等式左右兩邊分別為 y 和和 x 的函數(shù)，要想對于所有的的函數(shù)，要想對于所有的 y 和和 x 均成立，只可能兩邊都等于同一常數(shù)均成立，只可能兩邊都等于同一常數(shù)w w：xEIMdxxdfdyydf)()(21wxEIMdxxdfdyydf)()(21分別積分，可得分別積分，可得022012)(,)(wwxxEIMxfuyyf位移分量的求解位移分量的求解代入位移分量公式，并整理可得代入位移分量公式，并整理可得其中表示剛體位移量的常數(shù)其中表示剛體位移量的常數(shù)u0 ， 0 和和 w w ，須由約束條，須由約束條件確定。件確定。022022wwx

29、xEIMyEIMvuyxyEIMu(d)位移分量的求解位移分量的求解對于同一個截面，對于同一個截面， x 為常量，因此上式也是常量。于為常量，因此上式也是常量。于是可見，同一截面上的各垂直線段的轉角相等，即截是可見，同一截面上的各垂直線段的轉角相等，即截面仍然保持為平面。面仍然保持為平面。由位移分量的公式，可知不論約束條件如何，可求由位移分量的公式，可知不論約束條件如何，可求得得垂直線段的轉角垂直線段的轉角為為由位移分量第二式，可知不論約束條件如何，可求由位移分量第二式，可知不論約束條件如何，可求得得梁的各縱向纖維的曲率梁的各縱向纖維的曲率是是就是材料力學中求梁的撓度時所用的基本公式。就是材料

30、力學中求梁的撓度時所用的基本公式。wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移4 4、由切應變的定義，可得出線段由切應變的定義，可得出線段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切即切應變應變）由兩部分組成，一部分由）由兩部分組成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的線段方向的線段PAPA的轉角；另一部分由的轉角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的線段方向的線段PBPB的轉角，由的轉角，由此此xvdxvdxxvvtanyudyudyyuutan位移分量的求解

31、位移分量的求解分兩種約束情況討論：分兩種約束情況討論：簡支梁和懸臂梁簡支梁和懸臂梁。下面根據(jù)約束條件來確定位移分量中的剛體位移下面根據(jù)約束條件來確定位移分量中的剛體位移常數(shù)常數(shù)u0 ， 0 和和w w 。位移分量的求解位移分量的求解1、簡支梁的約束條件為、簡支梁的約束條件為:0)(,0)(, 0)(0,0, 00, 0ylxyxyxu將位移分量代入上述約束條件，可求出三個常數(shù)，代回得將位移分量代入上述約束條件，可求出三個常數(shù)，代回得22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu(3-3)022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解2、懸臂梁、懸臂梁其

32、左端自由，右端完全固定。在梁的右端，對于任其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，對于任何何 y 值要求兩個位移均為值要求兩個位移均為0。在多項式解答中，此條件。在多項式解答中，此條件是無法滿足的。實際工程上，這種完全固定的約束條件是無法滿足的。實際工程上，這種完全固定的約束條件也是不大可能實現(xiàn)的。為此，與材料力學中一樣，也是不大可能實現(xiàn)的。為此，與材料力學中一樣，假設假設右端截面的中點不移動，該點的水平線段不轉動右端截面的中點不移動，該點的水平線段不轉動。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解根據(jù)上述分析，對于根據(jù)上述分析，對于懸臂梁懸臂梁，其約束條件

33、為，其約束條件為0)(, 0)(, 0)(0,0,0,ylxylxylxxu222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu(3-4)可求出三個常數(shù)，代回可得可求出三個常數(shù)，代回可得0, 02, 0020wwlEIMllEIMu將位移分量代入上述約束條件將位移分量代入上述約束條件022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解以上是以平面應力問題為例推導了相應的應變分量以上是以平面應力問題為例推導了相應的應變分量和位移分量解。對于和位移分量解。對于平面應變情況下的梁平面應變情況下的梁( (梁梁寬度遠大寬度遠大于深度和長度）于深度和長度），須在以上的應變分量和

34、位移分量的，須在以上的應變分量和位移分量的公式中，將公式中，將 E 和和 作如下替換，即可求解。作如下替換，即可求解。112EE位移分量的求解位移分量的求解小結：小結：1 1、對于純彎曲梁問題，彈性力學與材料力學解、對于純彎曲梁問題，彈性力學與材料力學解答在應力、應變等方面是一致的。答在應力、應變等方面是一致的。2 2、以后凡是由應力分量求位移分量的過程，均、以后凡是由應力分量求位移分量的過程，均可以參照上述步驟進行求解?？梢詤⒄丈鲜霾襟E進行求解。小結小結按逆解法求解平面問題的一般步驟：按逆解法求解平面問題的一般步驟：(1)假定應力函數(shù)，并檢核是否滿足相容方程假定應力函數(shù)，并檢核是否滿足相容方

35、程(2-25)(2-25)：(2) 代入方程代入方程(2-24)(2-24)，求應力分量：，求應力分量：024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(3)考察應力分量是否滿足邊界條件，據(jù)此求出其中考察應力分量是否滿足邊界條件，據(jù)此求出其中的待定系數(shù)。的待定系數(shù)。小結小結xyxyxyyyxxEEE)1 ( 2),(1),(1(4)將所求應力分量代入物理方程，可求得應變分量；將所求應力分量代入物理方程，可求得應變分量；(5)將所求應變分量代入平面問題的幾何方程將所求應變分量代入平面問題的幾何方程(2-8)(2-8) ，通過積分求位移

36、分量，其中會引入表示剛體位移的通過積分求位移分量，其中會引入表示剛體位移的三個待定常數(shù)三個待定常數(shù)u0 ，v0 和和 w 。根據(jù)邊界上約束位移邊界根據(jù)邊界上約束位移邊界條件確定這三個待定常數(shù)。條件確定這三個待定常數(shù)。xyyxyuxvyvxu,課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：習題作業(yè)：習題3 36 6q 逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡支梁受均勻分布荷載簡支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.4 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載問題：問題：矩形截面簡支梁，長度為矩形

37、截面簡支梁，長度為 2l ，深度為深度為 h，寬度寬度遠小于深度和長度（典型的平面應力問題），受均布荷載遠小于深度和長度（典型的平面應力問題），受均布荷載 q ，由兩端的反力，由兩端的反力ql 維持平衡。（設梁寬為單位寬度維持平衡。（設梁寬為單位寬度1 1）簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載解：按半逆解法的步驟進行求解。解：按半逆解法的步驟進行求解。(1)(1)假定應力分量的函數(shù)形式；假定應力分量的函數(shù)形式；)(2)(2)(222xlqxlqxlqlMx)()()(3212yfyxfyfxx所以可假設所以可假設qxxlqqlQxy)()()(21yfyxfxy所以可假設所以可假設由材料力學可知，

38、彎應力由材料力學可知，彎應力 x 主要由彎矩引起的，即主要由彎矩引起的，即由材料力學可知，切應力由材料力學可知，切應力 xy 主要由剪力引起的主要由剪力引起的，即即簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載由于由于q 不隨不隨 x 變化，因此可假定應力變化，因此可假定應力 y 也不隨也不隨 x 變化，即應力變化，即應力 y 只是只是 y 的函數(shù)：的函數(shù)： y = f(y)。教材中正是采用了第三種假設。教材中正是采用了第三種假設。由材料力學可知，擠壓應力由材料力學可知，擠壓應力 y 主要由直接荷載主要由直接荷載 q 引引起的，即起的，即qy簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載(2)(2)由應力推出應力函數(shù)的一

39、般形式由應力推出應力函數(shù)的一般形式)(),(22yfxyxyf對對 x 積分可得積分可得)()()(2),(212yfyxfyfxyxf其中有三個關于其中有三個關于 y 的待定函數(shù)。的待定函數(shù)。將應力分量代入方程將應力分量代入方程(2-24)(2-24)，在無體力情況下，有，在無體力情況下，有簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載(3)(3)由相容方程求應力函數(shù)；由相容方程求應力函數(shù)；0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd上述二次方程對所有上述二次方程對所有 x 均應滿足，故其系數(shù)和自由項均應滿足，故其系數(shù)和自由項均必須為均必須為0 00)(2)(

40、,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd 將上步所得將上步所得應力函數(shù)的一般形式應力函數(shù)的一般形式代入無體力情況下代入無體力情況下的相容方程，整理后有的相容方程，整理后有簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載0)(2)(,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd由上述三個方程可求得三個待定函數(shù)的一般形式：由上述三個方程可求得三個待定函數(shù)的一般形式：2345223123610)()()(KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根據(jù)第一節(jié)內(nèi)容，應力函數(shù)中的一次式不影響應力分布，根據(jù)第一節(jié)內(nèi)容，應力函數(shù)中的一次式不影響應力

41、分布，故上述各式中與應力分布無關的一次式均已忽略。故上述各式中與應力分布無關的一次式均已忽略。)()()(2),(212yfyxfyfxyxf簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載(4)(4)由應力函數(shù)求應力分量由應力函數(shù)求應力分量校核應力分量：校核應力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。其中的是滿足平衡微分方程和相容方程的。其中的9 9個待定常個待定常數(shù)由邊界條件來確定。數(shù)由邊界條件來確定。)23()23(2622)26()26(22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAy

42、xxyyx將應力函數(shù)將應力函數(shù) f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得應力分量：，可得應力分量：簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載在這個問題中，在這個問題中，y 軸是對稱軸，應力函數(shù)軸是對稱軸，應力函數(shù) f f 應為應為 x 的的偶函數(shù)偶函數(shù)（ x 和和 y 應為應為 x 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， xy 是是 x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)）如果不考慮對稱性條件，在考慮了所有的邊界的邊界條如果不考慮對稱性條件，在考慮了所有的邊界的邊界條件后，也可以得到相同的結果，但計算量會增加許多。件后，也可以得到相同的結果，但計算量會增加許多。對于任何問題，凡是具有對稱性（或反對稱性）的，宜對于任何問題，凡是具

43、有對稱性（或反對稱性）的，宜先考慮對稱性條件，可以簡化問題的求解，減少計算量。先考慮對稱性條件，可以簡化問題的求解，減少計算量。得到：得到：E=F=G=0 )()()(2),(212yfyxfyfxyxf由由簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載(5)(5)考察邊界條件考察邊界條件將應力分量在相應邊界處的值代入上述條件，可計算出將應力分量在相應邊界處的值代入上述條件，可計算出4 4個待定常數(shù)個待定常數(shù): :0)(,)(, 0)(222hyxyhyyhyyq223023qDhqCBhqA首先考察上下兩邊的主要邊界條件：首先考察上下兩邊的主要邊界條件：0)43(0)43(02480248222323Ch

44、BAhxChBAhxDChBhAhDChBhAh簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載由于在左右邊界上均沒有水平面力，這就要求當由由于在左右邊界上均沒有水平面力，這就要求當由 x=l 時，對于任何時，對于任何 y 值，均有值，均有 x = 0 。由。由(i)式知，這式知，這是不可能的，除非式中的是不可能的，除非式中的 q=H=K=0 。為此，應用圣維為此，應用圣維南原理，只能要求此部分邊界上合成的主矢量和主矩為南原理，只能要求此部分邊界上合成的主矢量和主矩為0。對于右邊界，有。對于右邊界，有:hqhqlHK10, 032其次考察左右兩邊的次要邊界條件其次考察左右兩邊的次要邊界條件qldyydydyh

45、hlxxyhhlxxhhlxx222222)(,0)(, 0)(將將( (i) )式代入，可得式代入，可得簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載將單位寬度截面梁的慣性矩將單位寬度截面梁的慣性矩I、靜矩靜矩S、彎矩彎矩M和剪力和剪力FS的的表達式代入上式可得：表達式代入上式可得：綜上所述，將各待定常數(shù)代入，可得應力分量的最終解綜上所述，將各待定常數(shù)代入，可得應力分量的最終解答為：答為：)4(6)21)(1 (2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyxISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1(2)534(3-6)簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷

46、載 1 1、對于對于lh的長梁的長梁， y 與與 h 同階，同階，x 與與 l 同階。因此同階。因此應力解答中有三種數(shù)量級，分別為應力解答中有三種數(shù)量級，分別為 q(l/h)2、 q(l/h) 、 q。2 2、彎應力彎應力 x的第一項與的第一項與q(l/h)2同階大小，為主要應力；同階大小，為主要應力； 3 3、切應力切應力 xy與與q(l/h)同階大小，為次要應力；同階大小，為次要應力；4 4、擠壓應力擠壓應力 y及彎應力及彎應力 x的第二項均與的第二項均與q同階大小，為同階大小，為更次要應力。更次要應力。應力分布特點應力分布特點)4(6)21)(1 (2)534()(6223222223y

47、hxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載 1 1、彎應力彎應力 x的第一項為主要應力，并的第一項為主要應力，并且與材料力學解答相同，而第二項正是且與材料力學解答相同，而第二項正是彈性力學才有的修正項，它只與彈性力學才有的修正項，它只與q同階大同階大?。恍?；2 2、切應力切應力 xy為次要應力，也與材料力為次要應力，也與材料力學解答完全相同；學解答完全相同；3 3、擠壓應力擠壓應力 y在材料力學中一般不考在材料力學中一般不考慮，它只與慮，它只與q同階大小。同階大小。4 4、兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量級上。級上。比較彈性力學與

48、材料力學對該問題的解答比較彈性力學與材料力學對該問題的解答ISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1 (2)534(ISFyIMsxyyx簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載 （1 1）彈性力學解法中，嚴格地考慮并滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方彈性力學解法中，嚴格地考慮并滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程、物理方程及邊界上的全部邊界條件（小邊界上應用程、幾何方程、物理方程及邊界上的全部邊界條件（小邊界上應用圣維南近似），因此解答是較精確的。圣維南近似），因此解答是較精確的。（2 2）材料力學解法中，許多方面作了近似處理，只能得出近似材料力學解法中，許多方面作了近似處理，只能得出近似的解答

49、。例如平面截面假設導出位移、應變和應力沿橫向均為直線的解答。例如平面截面假設導出位移、應變和應力沿橫向均為直線分布；在平衡條件中，忽略了擠壓應力分布；在平衡條件中，忽略了擠壓應力 y的作用，并且考慮的是有的作用，并且考慮的是有限部分物體的平衡，而不是微分單元體的平衡；在主要邊界上，沒限部分物體的平衡，而不是微分單元體的平衡；在主要邊界上，沒有嚴格考慮應力邊界條件。有嚴格考慮應力邊界條件。（3 3）兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量級上，故材料力學的解兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量級上，故材料力學的解答盡管近似，但對桿件是足夠精確的（此時答盡管近似，但對桿件是足夠精確的（此時lh ），否則不能用），

50、否則不能用材料力學的解法來求解。材料力學的解法來求解。比較彈性力學與材料力學在解法上的區(qū)別比較彈性力學與材料力學在解法上的區(qū)別課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：習題作業(yè)：習題311q 逆解法與半逆解法、多項式解答逆解法與半逆解法、多項式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡支梁受均勻分布荷載簡支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.5 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力問題：問題：如圖，無限長的楔形體受重力和液體壓力，試求應如圖，無限長的楔形體受重力和液體壓力，試求應力分量。力分量。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重

51、力和液體壓力解：按半逆解法的步驟進行求解。解：按半逆解法的步驟進行求解。( (1) )首先從量綱分析入手，來假定應力分量的函數(shù)形式首先從量綱分析入手，來假定應力分量的函數(shù)形式 楔形體內(nèi)任意點的應力由重力和液體壓力所引楔形體內(nèi)任意點的應力由重力和液體壓力所引起，兩部分應力分別與起，兩部分應力分別與 1g 和和 2g 成正比，而應力量成正比，而應力量綱（綱（L-1MT-2）只比）只比 1g 和和 2g 的量綱（的量綱（L-2MT-2）高一次冪的長度量綱，因此應力只能是高一次冪的長度量綱，因此應力只能是 1g 和和 2g 與與 x 和和 y 的一次式相乘，亦即應力中只能包的一次式相乘，亦即應力中只能

52、包含含 x 和和 y 的的純一次式純一次式。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力( (2) )由應力推出應力函數(shù)的一般形式；由應力推出應力函數(shù)的一般形式；3223),(dycxyybxaxyxf（3）校核應力函數(shù)）校核應力函數(shù)此純?nèi)味囗検阶匀粷M足相容方程此純?nèi)味囗検阶匀粷M足相容方程 由方程由方程(2-24)(2-24)可知，應力函數(shù)應比應力的長度量綱提可知，應力函數(shù)應比應力的長度量綱提高二次冪，所以應力函數(shù)應為高二次冪，所以應力函數(shù)應為 x 和和 y 的純?nèi)问剑募內(nèi)问?，而純?nèi)味囗検街挥兴捻?，即純?nèi)味囗検街挥兴捻棧葱ㄐ误w受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力(4)由應力

53、函數(shù)求應力分量由應力函數(shù)求應力分量cybxyxgybyaxyfxdycxxfyxyyyxx222662212222fff將應力函數(shù)將應力函數(shù) f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得應力分量：，可得應力分量：校核應力分量：校核應力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。其中的是滿足平衡微分方程和相容方程的。其中的4 4個待定常個待定常數(shù)由邊界條件來確定。數(shù)由邊界條件來確定。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力(5)考察邊界條件：考察邊界條件：只有兩個邊界，均為主要邊界（大邊界只有兩個邊界，均

54、為主要邊界（大邊界），都應精確滿足應力邊界條件；），都應精確滿足應力邊界條件；將應力分量在相應邊界處的值代入上述條件，得到如將應力分量在相應邊界處的值代入上述條件，得到如下待定常數(shù)下待定常數(shù): :0)(,)(020 xxyxxgy6, 02gdc首先考察左邊界上的應力邊界條件：首先考察左邊界上的應力邊界條件：楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力其次考察右邊界上的應力邊界條件，由于沒有面力，故：其次考察右邊界上的應力邊界條件，由于沒有面力，故：0)(0)(tantanyxyxyyxxyxmlml將該邊界的外法線方向余弦和應力分量在相應邊界處的將該邊界的外法線方向余弦和應力分量在相應邊界處的值代入上述條件值代入上述條件32122cot3cot6,cot2ggagbcybxgybyaxdycxmlxyyx22,26,62sin,cos1可求解得到如下待定常數(shù)可求解得到如下待定常數(shù): :楔形體受重力和液體壓