計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第6章習(xí)題

1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)華東理工大學(xué)計(jì)算機(jī)系華東理工大學(xué)計(jì)算機(jī)系 謝曉玲謝曉玲習(xí)題習(xí)題6.2/P182o6.2 6.2 已知二維變換矩陣已知二維變換矩陣T T2D2D= = a b pa b p c d q c d q l m s l m s試說明矩陣試說明矩陣T T2D2D中各元素在變換中的具體作用。中各元素在變換中的具體作用。答：縮放：答：縮放：a,da,d 平移：平移：l,ml,m 旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)：a,b,c,da,b,c,d 透視：透視：p,qp,q 全局縮放：全局縮放：s s 錯(cuò)切：錯(cuò)切：b,cb,c習(xí)題習(xí)題6.3/P182o6.3 6.3 試推導(dǎo)將二維平面上任意直線段試推導(dǎo)將二維平面上任意直線

2、段p p1 1(x(x1 1,y,y1 1) p) p2 2(x(x2 2,y,y2 2) )轉(zhuǎn)換成為與轉(zhuǎn)換成為與x x軸重合的變換矩陣（直線段軸重合的變換矩陣（直線段p1p2p1p2與與x x軸的交角軸的交角4545）。）。答：答：sin()=(ysin()=(y2 2-y-y1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) ) cos()=(x cos()=(x2 2-x-x1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) )平移平移T T1 1(-x(-

3、x1 1,-y,-y1 1)= 1 0 0)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 -x -x1 1 -y -y1 1 1 1旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -sin 0 sin cos 0 sin cos 0 0 0 1 0 0 1T=TT=T1 1(-x(-x1 1,-y,-y1 1)R)R1 1(-)(-)(x1,y1)(x2,y2)習(xí)題習(xí)題6.4/P182o6.4 6.4 已知點(diǎn)已知點(diǎn)P(xP(xp p,y,yp p) )及其直線及其直線L L的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0，試推導(dǎo)一個(gè)相對(duì)試推導(dǎo)一個(gè)相對(duì)L L作對(duì)稱變換的變換矩陣作對(duì)

4、稱變換的變換矩陣T T，使點(diǎn)，使點(diǎn)P P的的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)PP滿足滿足P=PTP=PT。答：設(shè)：答：設(shè)：k= -A/Bk= -A/B，b= -C/Bb= -C/B sin()= -A/sqrt(A sin()= -A/sqrt(A2 2+B+B2 2) ) cos()= -B/sqrt(Acos()= -B/sqrt(A2 2+B+B2 2) )平移平移T T1 1(0,-b)= 1 0 0(0,-b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 -b 1 0 -b 1(0,-C/B)(-C/A,0)習(xí)題習(xí)題6.4/P182旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -si

5、n 0 sin cos 0 sin cos 00 0 10 0 1關(guān)于關(guān)于x x軸對(duì)稱軸對(duì)稱RFRFx x= 1 0 0= 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1反旋轉(zhuǎn)反旋轉(zhuǎn)R R2 2()= cos sin 0()= cos sin 0 -sin cos 0 -sin cos 0 0 0 1 0 0 1(0,-C/B)(-C/A,0)習(xí)題習(xí)題6.4/P182反平移反平移T T2 2(0,b)= 1 0 0(0,b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 b 1 0 b 1T=TT=T1 1(0,-b)R(0,-b)R1 1(-)RF(-)RFx xR R2 2()

6、T()T2 2(0,b)(0,b)習(xí)題習(xí)題6.6/P183o6.6 6.6 試證明相對(duì)于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換可以等價(jià)為一試證明相對(duì)于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換可以等價(jià)為一個(gè)比例變換和一個(gè)錯(cuò)切變換的復(fù)合變換。個(gè)比例變換和一個(gè)錯(cuò)切變換的復(fù)合變換。 cos sin 0 scos sin 0 sx x 0 0 1 b 0 s 0 0 1 b 0 sx x bs bsx x 0 0-sin cos 0 = 0 s-sin cos 0 = 0 sy y 0 c 1 0 = cs 0 c 1 0 = csy y s sy y 0 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1s

7、 sx x=cos=cos，s sy y=sin=sin，bs bsx x=sin=sin，cs csy y= -sin= -sinb=sin/ cos=tg b=sin/ cos=tg ，c= -sin/ cos= -tg c= -sin/ cos= -tg cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 習(xí)題習(xí)題6.7/P183o6.7 6.7 如圖

8、所示四邊形如圖所示四邊形ABCDABCD，求繞點(diǎn)，求繞點(diǎn)P(5,4)P(5,4)分別旋轉(zhuǎn)分別旋轉(zhuǎn)4545和和9090的變換矩陣，并求出各端點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出的變換矩陣，并求出各端點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出變換后的圖形。變換后的圖形。9090T= 0 1 0T= 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 9 -1 1 9 -1 14 1 1 0 1 0 8 3 14 1 1 0 1 0 8 3 17 3 1 7 3 1 -1 0 0 = 6 6 -1 0 0 = 6 6 1 17 7 1 9 -1 17 7 1 9 -1 1 2 6 1 2 6 11 4 11 4 1 5 0 1 5 0 1A(8,3),B(6,

9、6),C(2,6),D(5,0)A(8,3),B(6,6),C(2,6),D(5,0)A(4,1)B(7,3)C(7,7)D(1,4)A(8,3)B(6,6)C(2,6)D(5,0)4545T=T(-5,-4)R(45T=T(-5,-4)R(45)T(5,4)T(5,4) = = 2/22/2 2/22/2 0 0 - -2/22/2 2/22/2 0 0 5- 5-2/2 4-2/22/2 4-2/2 1 14 1 1 5+4 1 1 5+22 4-2 4-22 2 1 17 3 1 7 3 1 T = 5+3T = 5+32/22/2 4+ 4+2/2 2/2 1 1 7 7 1 7 7

10、1 5- 5-2/22/2 4+5 4+52/2 2/2 1 1 1 4 11 4 1 5-2 5-222 4-2 4-22 2 1 1四舍五入后：A(6,1),B(7,5),C(4,8),D(2,1)A(4,1)B(7,3)C(7,7)D(1,4)A(6,1)B(7,5)C(4,8)D(2,1)習(xí)題習(xí)題6.11/P183o6.11 試用編碼裁剪法（試用編碼裁剪法（Cohen-Sutherland）裁剪圖裁剪圖6-40的線段。的線段。2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40codeA=1010，codeB=0101k=5/4，b=-3/4，y=kx+bcodeA|codeB0 不在窗口內(nèi)

11、codeA&codeB=0 AB不在窗口同一外側(cè)根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對(duì)應(yīng)的窗口邊界為右邊界。求AB與右邊界的交點(diǎn)為PR(2,7/4) 。令PR-A(2,7/4)，codeA=0000，并用A代替APR交換，使得A - B(2,7/4)、0000； B-A(-1,-2)、0101根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對(duì)應(yīng)的窗口邊界為左邊界，求AB與左邊界的交點(diǎn)PL(0,-3/4)。令PL-A(0,-3/4)，codeA=0100，并用A代替A根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對(duì)應(yīng)的窗口邊界為底邊界，求AB與底邊界的交點(diǎn)PB(3/5,0)。令PB-A(3/5,0

12、)，codeA=0000，并用A代替A2 31A(-1,-2)B(2,7/4)PL2 31A(3/5,0)B(2,7/4)2 31A(0,-3/4)B(2,7/4)PB至此，裁剪結(jié)束，求得裁剪線段為：(2,7/4),(3/5,0)四舍五入后，裁剪線段為：(2,2),(1,0)習(xí)題習(xí)題6.13/P183o6.13 試用中點(diǎn)分隔算法裁剪如圖試用中點(diǎn)分隔算法裁剪如圖6-40的線段，的線段，分隔一直到誤差小于分隔一直到誤差小于0.5為止。為止。codeA=1010，codeB=0101中點(diǎn)Pm( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2)求求A的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)codeB0 B不在窗口內(nèi)codeA

13、&codeB=0 AB不在窗口同一外側(cè)用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 1,1/2)、0000。Pm在窗口內(nèi)，令Pm-A(1,1/2)、0000，并用A代替A2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 0,-3/4)、0100。Pm在窗口外，codePm&codeB0 PmB在窗口同一外側(cè)，令Pm-B(0,-3/4)、0100，并用B代替B用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 1/2,-1/8)、0100。同理，令Pm-B(1/2,-1/8)、0100，并用B代替B用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 3/4,3/16)、0100。分析Pm和B的誤差小于0.5，則不再分隔。四舍

14、五入得B(1,0)、0000，為A的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)。Pm2 31A(1,1/2)B(-1,-2)APm2 31A(1,1/2)BAB(0,-3/4)PmA(1,1/2)BAB(1/2,-1/8)BAB(1,0)codeA=1010，codeB=0101中點(diǎn)Pm( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2)求求B的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)codeA0 A不在窗口內(nèi)codeA&codeB=0 AB不在窗口同一外側(cè)用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 1,1/2)、0000。Pm在窗口內(nèi)，令Pm-B(1,1/2)、0000，并用B代替B2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm用二分法求AB中點(diǎn)Pm(

15、2,7/4)、0000。Pm在窗口內(nèi)，令Pm-B(2,7/4)、0000，并用B代替B2 31A(3,3)B(1,1/2)Pm用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 5/2,19/8)、1010。Pm在窗口外，codePm&codeA0 PmA在窗口同一外側(cè)，令Pm-A(5/2,19/8)、1010，并用A代替A2 31A(3,3)B(2,7/4)Pm2 31A(5/2,19/8)B(2,7/4)Pm用二分法求AB中點(diǎn)Pm( 9/4,33/16)、1010。分析Pm和A的誤差小于0.5，則不再分隔。四舍五入得A(2,2)、0000，為B的最遠(yuǎn)可見點(diǎn)。至此，裁剪結(jié)束，求得裁剪線段為：(2,2),(1,

16、0)習(xí)題習(xí)題6.14/P183o6.14 試用試用Liang-Barsky算法裁剪如圖算法裁剪如圖6-40的線段。的線段。P1=-(-x2-x1)=-(-1-3)=4；q1=x1-xWL=3-0=3；P2=x2-x1=-1-3=-4； q2=xWR-x1=2-3=-1；P3=-(-y2-y1)=-(-2-3)=5；q3=y1-yWB=3-0=3；P4=y2-y1=-2-3=-5； q4=yWT-y1=2-3=-1；Pi0 不存在直線與窗口邊界的平行2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm12341/51/5P P4 40,0,0,出去出去3:3:下下1/41/4P P2 20,0,0

17、,出去出去1:1:左左U(=qU(=qi i/p/pi i) )ABAB邊界邊界U Umaxmax U Uminmin有交有交UmaxUminUmin=min(1,u1,u3)=3/5 Umax=max(0,u2,u4)=1/4 UmaxUmin 有交有交 X=x1+Umax(x2-x1)=3+1/4(-1-3)=2 Y=y1+Umax(y2-y1)=3+1/4(-2-3)=1.75 X=x1+Umin(x2-x1)=3+3/5(-1-3)=0.6 Y=y1+Umin(y2-y1)=3+3/5(-2-3)=0得交點(diǎn)得交點(diǎn)(2,1.75)(2,1.75)、(0.6,0)(0.6,0)至此，四舍五入后，求得裁剪線段為：(2,2),(1,0)2 31A(3,3)B(-1,-2)Pm12341/51/5P P4 40,0,0,出去出去3:3:下下1/41/4P P2 20,0,0,出去出去1:1:左左U(=qU(=qi i/p/pi i) )ABAB邊界邊界U Umaxmax 視圖視圖。41(1,1)13(4,3)為了保持縱橫比不變，則：w窗/h窗=w視/h視=3/2取w視=1，得視區(qū)(0,0)、(1,2/3)Sx=1/3,Sy=1/3T窗-視=T(-1,-1)S(1/