美賽常用模型一 - 副本

1、美賽常用模型（一）美賽常用模型（一）本講的主要內(nèi)容初等模型復(fù)雜函數(shù)模型優(yōu)化模型微分方程模型離散模型一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。這是最好的策略嗎？試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。例1 雨中行走1 1 建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度

2、最小。略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要影響因素：主要影響因素：淋雨量，淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度 厘米/時(shí)來描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。h2 模型假設(shè)及符號(hào)說明1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。wdCIvD3 3 模型建立與計(jì)算模型建立與計(jì)算1 1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋

3、雨。淋雨的面積 )( 222米wddhwhS雨中行走的時(shí)間 )(秒vDt 降雨強(qiáng)度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII時(shí)米時(shí)厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/(3模型中為變量。為參數(shù)，而vSID,結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。米即米米米小時(shí)厘米米若取參數(shù)22 . 2,20. 0,50. 0,50. 1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，則計(jì)算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，

4、但被淋了2 升的雨水，大約有4 酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)， 使問題過于簡(jiǎn)化。2）考慮降雨方向。vhwd人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為 （米/秒）r雨滴的密度為雨滴下落的反方向1 ,pp表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，rpI 因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示頂部面積，表示在雨中行走的時(shí)間sin,/rwdvD前表面淋雨量)cos()/(2vrpwhvDC總淋

5、雨量（基本模型）)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039. 1,/23600,/4pscmIsmr取參數(shù))5 . 1cos6sin8 . 0(1095. 64vvC可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定 ，如何選擇 使得 最小。vC情形190)5 . 18 . 0(1095. 64vC結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得升13. 1103 .1134mC情形2 60/ ) 334 . 0(5 . 1 1095. 64vC結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)

6、你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得升47. 1107 .1434mC情形3 18090此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095. 64vC5 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095. 64vC5 . 1/ )sin6cos8 . 0(1095. 64vC能的?？赡苋∝?fù)值，這是不可時(shí)，當(dāng)C900 出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形。你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即s

7、inrv 這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/ )sin(淋雨總量為vvrhdrpwDC/)sin(cos。，則令90090 取到最小值。時(shí)，當(dāng)CrvsincossinwdprrDC 再次代如數(shù)據(jù)，得)sin4/()cos8 . 0(1095. 64C結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角從背后落下，你應(yīng)該以12030的速度行走smv/230sin4此時(shí)，淋雨總量為升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 634mC這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平

8、運(yùn)動(dòng)速度，即sinrv 你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/ )sin(淋雨總量為vrvhdrpwDC/)sin(cos/ )sincos(rhvrdpwDrC才可能小。盡可能大，當(dāng)Cvrd, 0sincos才可能小。盡可能小，當(dāng)Cvrd, 0sincos，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C升。時(shí)，取77. 06/ )634 . 0(1095. 630,/634mCsmv若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下落下,這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單,應(yīng)以最應(yīng)以最大的速度向前跑；大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下若雨是從你的背后落下,你應(yīng)

9、控你應(yīng)控制你在雨中的行走速度制你在雨中的行走速度,讓它剛讓它剛好等于落雨速度的水平分量。好等于落雨速度的水平分量。例二例二 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.問題問題分析分析問題問題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損

10、失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小. 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題問題分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形.t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間燒毀面積燒毀面積 dB/

11、dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度).模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度火勢(shì)蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度速度). 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3 .假設(shè)假設(shè)1）的解釋）的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與 t 成正比成正比.面積面積

12、 B與與 t2 成正比成正比dB/dt與與 t 成正比成正比xbtt12202)(tdtdtdBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)

13、蔓延的最少隊(duì)員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻, 火火勢(shì)蔓延速度勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)每個(gè)隊(duì)員平均滅火隊(duì)員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量 x50萬

14、元基金用于投資三種股票萬元基金用于投資三種股票A、B、C：A每股年期望收益每股年期望收益5元元(標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差2元元)，目前市價(jià)，目前市價(jià)20元；元；B每股年期望收益每股年期望收益8元元(標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差6元元)，目前市價(jià)，目前市價(jià)25元；元；C每股年期望收益每股年期望收益10元元(標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差10元元)，目前市價(jià)，目前市價(jià)30元；元；股票股票A、B收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為5/24;股票股票A、C收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為0.5;股票股票B、C收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為0.25。n如期望今年得到至少如期望今年得到至少20%的投資回報(bào)，應(yīng)如何投資？的投資回報(bào)，應(yīng)如何投資？n投資回報(bào)

15、率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系如何？投資回報(bào)率與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系如何？假設(shè)：假設(shè)：1、基金不一定要用完（不用不計(jì)利息或貶值）、基金不一定要用完（不用不計(jì)利息或貶值） 2、風(fēng)險(xiǎn)通常用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差衡量、風(fēng)險(xiǎn)通常用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差衡量A、B、C每手每手(百股百股)的收益分別記為的收益分別記為S1,S2和和S3(百元百元)：ES1=5, ES2=8, ES3=10，DS1=4, DS2=36, DS3=100，r12=5/24, r13=-0.5，r23=-0.25 121212131313232323cov( ,)25cov( ,)10cov(,)15S SrDSDSS SrDSDSS SrDSDS決策向量決策向

16、量 x1 、x2和和 x3 分別表示投資分別表示投資A、B、C的數(shù)量的數(shù)量（國(guó)內(nèi)股票通常以（國(guó)內(nèi)股票通常以“一手一手”（100股）為最小單位出售，股）為最小單位出售，這里以這里以100股為單位，期望收益以百元為單位）股為單位，期望收益以百元為單位） 總收益總收益 S=x1S1+x2S2+x3S3 ：是一個(gè)隨機(jī)變量：是一個(gè)隨機(jī)變量總期望收益為總期望收益為 Z1=ES= x1ES1+x2ES2+x3ES3=5x1+8x2+10 x3 投資風(fēng)險(xiǎn)（總收益的方差）為投資風(fēng)險(xiǎn)（總收益的方差）為 21 122331 122331 1221 13322332221122331 2121 3132 323222

17、1231 21 32 3()()()()2cov(,)2cov(,)2cov(,)2cov( ,)2cov( ,)2cov(,)43610052030ZD xSx Sx SD xSD x SD x SxS x SxS x Sx S x Sx DSx DSx DSx xS Sx xS Sx xS Sxxxx xx xx x22221231 21 32 3min43610052030Zxxxxxxxx xs.t. 5x1 +8x2+10 x3 1000 20 x1+25x2+30 x3 5000 x1，x2，x3 0 解得解得x = 1.0e+002 *（1.3111，0.1529，0.2221）

18、如果一定要整數(shù)解，可以四舍五入到（如果一定要整數(shù)解，可以四舍五入到（131，15，22）如利用如利用LINGO軟件軟件,可得整數(shù)最優(yōu)解可得整數(shù)最優(yōu)解(132，15，22)用去資金為用去資金為132 20+15 25+22 30 = 3675（百元）（百元）期望收益為期望收益為132 5+15 8+22 10 = 1000（百元）（百元）風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)(方差方差)為為 68116，標(biāo)準(zhǔn)差約為，標(biāo)準(zhǔn)差約為261（百元）（百元） 例四例四 男生追女生模型男生追女生模型問問 題題某男生某男生A對(duì)于某女生對(duì)于某女生B非常喜歡，但是剛開始的時(shí)候該非常喜歡，但是剛開始的時(shí)候該女生對(duì)該男生并沒有好感，該男生想采取一

19、些行動(dòng)來女生對(duì)該男生并沒有好感，該男生想采取一些行動(dòng)來改變二者之間的關(guān)系，但是男女之間的過多接觸勢(shì)必改變二者之間的關(guān)系，但是男女之間的過多接觸勢(shì)必會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)斐捎绊懀噯栐撃猩芊裨诒３謱W(xué)習(xí)會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)斐捎绊?，試問該男生能否在保持學(xué)習(xí)成績(jī)不下降的前提下追到該女生？成績(jī)不下降的前提下追到該女生？要要求求建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型分析男生建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型分析男生A的學(xué)習(xí)成績(jī)與女生的學(xué)習(xí)成績(jī)與女生B對(duì)該男生的好感之間的關(guān)系，并對(duì)模型作出解釋。對(duì)該男生的好感之間的關(guān)系，并對(duì)模型作出解釋。模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. A男生的學(xué)習(xí)成績(jī)與男生的學(xué)習(xí)成績(jī)與B女生對(duì)于女生對(duì)于A男生的疏遠(yuǎn)度均為男生的疏遠(yuǎn)度均為 時(shí)

20、間時(shí)間 t的函數(shù)，分別設(shè)為的函數(shù)，分別設(shè)為Y(t)和和X(t)。2. 初始時(shí)刻初始時(shí)刻X(t)是隨著時(shí)間是隨著時(shí)間t 增長(zhǎng)的（增長(zhǎng)的（B女生發(fā)現(xiàn)了女生發(fā)現(xiàn)了A 男生的一些缺點(diǎn)），假設(shè)增長(zhǎng)符合男生的一些缺點(diǎn)），假設(shè)增長(zhǎng)符合Malthus模型，模型， 即：即：dX/dt=aX(t)dX/dt=aX(t) 其中其中a為增長(zhǎng)率。為增長(zhǎng)率。 3. 隨著隨著A A男生對(duì)男生對(duì)B B女生發(fā)動(dòng)追求攻勢(shì)后，女生發(fā)動(dòng)追求攻勢(shì)后，A A男生的學(xué)習(xí)男生的學(xué)習(xí) 成績(jī)成績(jī)Y(t)Y(t)呈現(xiàn)呈現(xiàn)自然下降自然下降，假設(shè)也，假設(shè)也符合符合Malthus模型，模型， 即：即：dY/dt=-eY(t) dY/dt=-eY(t)

21、其中其中e e為增長(zhǎng)率。為增長(zhǎng)率。 4. 當(dāng)當(dāng)Y(t)存在時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)存在時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)X(t)的減少值與的減少值與X(t)成正成正 比，比例系數(shù)為常數(shù)比，比例系數(shù)為常數(shù)b。5. 假定假定A男生對(duì)男生對(duì)B女生發(fā)動(dòng)追求攻勢(shì)后，立即轉(zhuǎn)化成女生發(fā)動(dòng)追求攻勢(shì)后，立即轉(zhuǎn)化成B女女 生對(duì)生對(duì)A男生的好感，對(duì)學(xué)習(xí)有幫助，設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為男生的好感，對(duì)學(xué)習(xí)有幫助，設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為 。模模 型型 建建 立立被食者被食者-食者食者 Volterra模型模型 dY(t)( bX(t)e)Y(t)dtdX(t)(bY(t)X(t)dta這樣就得到了一個(gè)在無外界干擾的條件下，學(xué)習(xí)成績(jī)這樣就得到了一個(gè)在無外界干擾的條件下，學(xué)習(xí)

22、成績(jī)與疏遠(yuǎn)度相互作用的模型。這個(gè)模型在生物學(xué)中稱為與疏遠(yuǎn)度相互作用的模型。這個(gè)模型在生物學(xué)中稱為被食者和食者的被食者和食者的Volterra模型。模型。初始條件：初始條件：00(0)(0)XxYy按照前面的假設(shè)列出按照前面的假設(shè)列出Y(t)和和X(t)符合的關(guān)系式符合的關(guān)系式:模型求解模型求解這個(gè)方程組是一個(gè)非線性方程組，不易直接求解，將這個(gè)方程組是一個(gè)非線性方程組，不易直接求解，將兩個(gè)方程相除得微分方程兩個(gè)方程相除得微分方程( )( ) ( )( )( )( )dY tbX te Y tdX tabY tX t分離變量積分后得到隱式解：分離變量積分后得到隱式解：lnlnlnbYbXaYeXC

23、C為任意常數(shù)為任意常數(shù)以初始條件代入不難確定以初始條件代入不難確定C的值，從而可以得到一個(gè)特的值，從而可以得到一個(gè)特解，它是解，它是X-Y平面上的一條閉曲線，只要初始值不為零平面上的一條閉曲線，只要初始值不為零,這條閉曲線就永遠(yuǎn)不通過零點(diǎn)。這條閉曲線就永遠(yuǎn)不通過零點(diǎn)。令：令：(, )lnlnF X YbYbXaYeX 模型分析模型分析容易求出函數(shù)容易求出函數(shù)F有唯一的極小點(diǎn)有唯一的極小點(diǎn)(,)eaMcb同時(shí)易見：當(dāng)同時(shí)易見：當(dāng)X （B女生對(duì)女生對(duì)A男生恨之入骨）或男生恨之入骨）或Y （A男生是一塊只會(huì)學(xué)習(xí)的男生是一塊只會(huì)學(xué)習(xí)的“木頭木頭”）時(shí)均有）時(shí)均有F ，而：當(dāng)，而：當(dāng)0X 0Y （A男生

24、不學(xué)無術(shù)）時(shí)男生不學(xué)無術(shù)）時(shí)F （A男生屬于天皇巨星，男生屬于天皇巨星，B女生女生對(duì)對(duì)A男生毫無防備）或男生毫無防備）或也有也有，由此不難看出，由此不難看出F的圖像是以的圖像是以M為最小值為最小值在第一卦限向上無限延伸的曲面，而在第一卦限向上無限延伸的曲面，而(, ),0F X YZ Z是環(huán)繞點(diǎn)是環(huán)繞點(diǎn)M的閉曲線簇。的閉曲線簇。模型應(yīng)用模型應(yīng)用通過上面的分析可以知道通過上面的分析可以知道A男生的學(xué)習(xí)成績(jī)與男生的學(xué)習(xí)成績(jī)與B女生女生對(duì)他的疏遠(yuǎn)度是呈周期性變化的，從生態(tài)意義上可以對(duì)他的疏遠(yuǎn)度是呈周期性變化的，從生態(tài)意義上可以理解為：當(dāng)理解為：當(dāng)A男生的學(xué)習(xí)成績(jī)下降時(shí)，男生的學(xué)習(xí)成績(jī)下降時(shí)，B女生會(huì)

25、遠(yuǎn)離女生會(huì)遠(yuǎn)離A男生，于是男生，于是A男生又開始發(fā)奮圖強(qiáng)，學(xué)習(xí)成績(jī)男生又開始發(fā)奮圖強(qiáng)，學(xué)習(xí)成績(jī)Y(t)又開又開始上升，于是始上升，于是B女生又開始和女生又開始和A男生來往，疏遠(yuǎn)度降低；男生來往，疏遠(yuǎn)度降低；交往多了，自然又分散了學(xué)習(xí)的時(shí)間，交往多了，自然又分散了學(xué)習(xí)的時(shí)間，A男生的學(xué)習(xí)成男生的學(xué)習(xí)成績(jī)績(jī)Y(t)又開始下降。這樣周而復(fù)始，形成了一個(gè)動(dòng)態(tài)平又開始下降。這樣周而復(fù)始，形成了一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡。我們還可以證明，雖然對(duì)于不同的初始值可能出衡。我們還可以證明，雖然對(duì)于不同的初始值可能出現(xiàn)不同的閉軌線，但在一個(gè)周期內(nèi)現(xiàn)不同的閉軌線，但在一個(gè)周期內(nèi)X和和Y的平均數(shù)量都的平均數(shù)量都分別是一個(gè)常數(shù)，而且

26、恰為平衡點(diǎn)分別是一個(gè)常數(shù)，而且恰為平衡點(diǎn)M的兩個(gè)坐標(biāo)，這說的兩個(gè)坐標(biāo)，這說明初始情況并不是決定明初始情況并不是決定A男生能否追到男生能否追到B女生的決定因女生的決定因素。素。模型的進(jìn)一步討論模型的進(jìn)一步討論前面的結(jié)果都是在不考慮其他外界因素影響的前提下進(jìn)前面的結(jié)果都是在不考慮其他外界因素影響的前提下進(jìn)行的，如果存在一些外界影響會(huì)對(duì)結(jié)果有些什么影響呢？行的，如果存在一些外界影響會(huì)對(duì)結(jié)果有些什么影響呢？考慮兩種外界影響：考慮兩種外界影響：1. A男生的朋友對(duì)于男生的朋友對(duì)于A男生非常支持，并且對(duì)于男生非常支持，并且對(duì)于A男生男生 追追B女生提供便利條件。女生提供便利條件。2. 出現(xiàn)一個(gè)出現(xiàn)一個(gè)C男

27、生也在追男生也在追B女生，對(duì)于女生，對(duì)于A男生能否追上男生能否追上B 女生造成極大的威脅。女生造成極大的威脅。根據(jù)根據(jù)Volterra原理，上面兩種情況都會(huì)使得原理，上面兩種情況都會(huì)使得A男生的學(xué)男生的學(xué)習(xí)成績(jī)習(xí)成績(jī)Y(t)下降，同時(shí)下降，同時(shí)B女生對(duì)于女生對(duì)于A男生的疏遠(yuǎn)程度男生的疏遠(yuǎn)程度X(t)增加。增加。對(duì)于男生的一點(diǎn)兒忠告對(duì)于男生的一點(diǎn)兒忠告通過上面的分析可以看出，初始情況對(duì)于結(jié)果的影響通過上面的分析可以看出，初始情況對(duì)于結(jié)果的影響并不大，一些成績(jī)不好的同學(xué)也不要自卑，另外即使并不大，一些成績(jī)不好的同學(xué)也不要自卑，另外即使女同學(xué)對(duì)于你的某些缺點(diǎn)極為反感也不能決定最終的女同學(xué)對(duì)于你的某些

28、缺點(diǎn)極為反感也不能決定最終的結(jié)果，也許努力去追求就會(huì)得到接受。切忌強(qiáng)大的愛結(jié)果，也許努力去追求就會(huì)得到接受。切忌強(qiáng)大的愛情攻勢(shì)是不一定能達(dá)到滿意的效果的，反而不利于學(xué)情攻勢(shì)是不一定能達(dá)到滿意的效果的，反而不利于學(xué)業(yè)。有時(shí)通過慢慢的接觸，慢慢的了解，再加上適當(dāng)業(yè)。有時(shí)通過慢慢的接觸，慢慢的了解，再加上適當(dāng)?shù)淖非笮袆?dòng)，女生的疏遠(yuǎn)程度會(huì)慢慢降低，你的學(xué)習(xí)的追求行動(dòng)，女生的疏遠(yuǎn)程度會(huì)慢慢降低，你的學(xué)習(xí)成績(jī)還不會(huì)下降！成績(jī)還不會(huì)下降！注：以上觀點(diǎn)均屬于個(gè)人看法，不具有指導(dǎo)意義！注：以上觀點(diǎn)均屬于個(gè)人看法，不具有指導(dǎo)意義！v1能源利用量能源利用量, v2能源價(jià)格能源價(jià)格,v3能源生產(chǎn)率能源生產(chǎn)率, v4環(huán)

29、境質(zhì)量環(huán)境質(zhì)量,v5工業(yè)產(chǎn)值工業(yè)產(chǎn)值, v6就業(yè)機(jī)會(huì)就業(yè)機(jī)會(huì),v7人口總數(shù)人口總數(shù).例五例五 社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素系統(tǒng)的元素圖的頂點(diǎn)圖的頂點(diǎn)元素間的直接影響元素間的直接影響有方向的弧有方向的弧正面影響正面影響弧旁的弧旁的+號(hào)；負(fù)面影響號(hào)；負(fù)面影響弧旁的弧旁的號(hào)號(hào)帶符號(hào)的有向圖帶符號(hào)的有向圖符號(hào)、符號(hào)、 客觀規(guī)律；客觀規(guī)律；方針政策方針政策例例 能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5Evvvvvvajijijiij若，為若為若，0, 110000001100000001000011000000001001000000010

30、001110A帶符號(hào)有向圖帶符號(hào)有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣的鄰接矩陣AV頂點(diǎn)集頂點(diǎn)集 , E弧弧集集定性模型定性模型-vivj+某時(shí)段某時(shí)段vi 增加導(dǎo)致增加導(dǎo)致下時(shí)段下時(shí)段vj 增加增加(減少減少)帶符號(hào)的有向圖帶符號(hào)的有向圖G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v50000005 . 1100000005 . 100002 . 13 . 000000000100200000007 . 00002 . 18 . 05 . 00W加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣及其鄰接矩陣W定量模型定量模型某時(shí)段某時(shí)段vi 增加增加1單位導(dǎo)致單位導(dǎo)致下時(shí)段下時(shí)段vj 增加增加wij單位單位jwi

31、vvij的特例視為 WAv70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2, 2 , 1 , 0, 2 , 1),1()() 1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或) 1()() 1(tptvtv沖量過程沖量過程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演變過程變化引起的系統(tǒng)的演變過程 vi(t) vi在時(shí)段在時(shí)段t 的的值值； pi(t) vi在時(shí)段在時(shí)段t 的的改變量改變量(沖量沖量)(),(),()(),(,),(),()(2121tp

32、tptptptvtvtvtvnnjwivvij沖量過程模型沖量過程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單沖量過程簡(jiǎn)單沖量過程初始沖量初始沖量p(0)中中某個(gè)分量為某個(gè)分量為1，其余為，其余為0的沖量過程的沖量過程.若開始時(shí)能源利用量有突然增加，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的演變?nèi)糸_始時(shí)能源利用量有突然增加，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的演變.)0()0(pv) 1()() 1(tptvtvAtptp)() 1(設(shè)設(shè)能源利用系統(tǒng)的能源利用系統(tǒng)的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000

33、001p231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1簡(jiǎn)單沖量過程簡(jiǎn)單沖量過程S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 任意時(shí)段任意時(shí)段S的各元素的值和沖量是否為有限的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定穩(wěn)定)? S不穩(wěn)定時(shí)如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定不穩(wěn)定時(shí)如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定? S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定對(duì)任意對(duì)任意 i,t, | pi(t) |有界有界 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定對(duì)任意對(duì)任意 i,t, | vi(t) |有界有界值穩(wěn)定值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定) 1()() 1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()(S的穩(wěn)定性取決于的穩(wěn)定性取決于W的特征根的特征根記記W

34、的的非零非零特征根為特征根為 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 | | 1 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根且均為單根 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定且且 不等于不等于10000001100000001000011000000001001000000010001110A對(duì)于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣對(duì)于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A) 1()(2352f特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式76)2(, 2) 1 (ff) 2 , 1 (能源利用系統(tǒng)存在能源利用系統(tǒng)存在沖量沖量不穩(wěn)定不穩(wěn)定的簡(jiǎn)單沖量過程的簡(jiǎn)單沖量過程簡(jiǎn)單沖量過程簡(jiǎn)單沖量過程S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 簡(jiǎn)單沖量過程的穩(wěn)定性簡(jiǎn)單沖量過程的穩(wěn)定性 改進(jìn)的玫瑰形圖改進(jìn)的玫瑰形圖S* 帶符號(hào)的帶符號(hào)的