淺析中考中的“規(guī)律”問題

1、淺析中考中的“規(guī)律”問題浙江省嵊州市三塘中學 顧方東 郵編312459隨著新課程改革的推進和新課標教材的實施，自主探索的思想不斷出現(xiàn)于中考命題中，作為親身體驗和在探索中認識數(shù)學的載體，許多省市采用了一些找規(guī)律的試題，這樣的試題往往設計獨特、格調清新、構思新穎。有利于考查學生的探究意識和創(chuàng)新精神。下面以2006年的中考試題為例，談談中考中的一些“規(guī)律”問題。一.數(shù)中的規(guī)律1.與數(shù)列相關的規(guī)律對于比較簡單的數(shù)列問題，學生可以通過已有的知識和自己的觀察、類比、分析得到。例1. (重慶市2006年)按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第7個數(shù)是 .【分析及簡解】本題只要找出分母

2、的變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)2、3、10、15、26、35分別可以寫成、依次規(guī)律第7個數(shù)可以寫成，故答案為。例2. (2006年南安市)12觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律： 0，3，2，3，那么第10個數(shù)據(jù)應是 .【分析及簡解】本題只要把這組數(shù)據(jù)中幾個最簡根式還原為，然后找根號內的數(shù)的變化規(guī)律：發(fā)現(xiàn)0、3、6、9、12、15、18都是3的倍數(shù)，所以可以寫成3（n-1）（n為數(shù)據(jù)的順序數(shù)）的形式，故第10個數(shù)據(jù)應是，即為。2.與數(shù)表相關的規(guī)律這是一類數(shù)表相結合的題型，是從表中來找出數(shù)的關系和數(shù)的規(guī)律，從而來解決問題。例3. (日照市2006年)德國數(shù)學家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了下面的單位分數(shù)三角形（單位分數(shù)是分子為1

3、，分母為正整數(shù)的分數(shù)）：第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行的數(shù)依次是： 【分析及簡解】本題通過觀察在萊布尼茲三角形中有這樣的規(guī)律：三角形外圍的分數(shù)中分母是連續(xù)的整數(shù)，且每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和。故答案為。例4.（樂山市2006年）觀察下列數(shù)表：根據(jù)數(shù)列所反映的規(guī)律，第行第列交叉點上的數(shù)應為 .【分析及簡解】本題能從數(shù)表中直觀的看出規(guī)律：任意一行的第一個數(shù)即為該行的行數(shù)，且每一行從第一個數(shù)開始都是連續(xù)的整數(shù)。故第n行的第一個數(shù)是n，則該行的第n列的數(shù)為n+(n+1)=2n+1。 二.圖中的規(guī)律1.生活圖形中的規(guī)律在現(xiàn)實生活中有著許許多多美麗的

4、圖形，只要仔細觀察這些生活圖形，其中暗藏著我們數(shù)學中的一些知識和規(guī)律。例5. (2006年福州市)一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列請仔細觀察，按此規(guī)律畫出的第10個圖案是 ；在前16個圖案中有個第2008個圖案是 .【分析及簡解】本題是一串美麗的臉形圖案，通過觀察不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，它是以這樣三個為一變化單位，故易得答案分別為 ，5， 例6. (2006年大連西崗區(qū))如圖6是小亮用8根，14根、20根火柴搭的1條、2條、3條“金魚”，按此方法搭n 條“金魚”需要火柴_根。(用含n的代數(shù)式表示)【分析及簡解】本題“金魚”圖案中火柴根數(shù)的規(guī)律：后一個“金魚”圖的火柴根數(shù)比前一個“金魚”圖的火柴根數(shù)多6

5、條。故搭n 條“金魚”需要火柴比第一條多6（n-1）根，所以答案為6n+2。2.游戲圖形中的規(guī)律隨著新課標的實施，游戲活動在數(shù)學中大量的出現(xiàn)，游戲圖形也相繼出現(xiàn)在中考中，通過一些游戲圖形中的規(guī)律來考查學生的探究意識和創(chuàng)新精神。例7. (云南省2006年)觀察圖（l）至（4）中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個圖中小圓圈的個數(shù)為m，則，m=_ （用含 n 的代數(shù)式表示）.【分析及簡解】在這個游戲中，根據(jù)小圓圈的擺放規(guī)律它的個數(shù)有這樣的規(guī)律：每增加一個正方形小圓圈就增加3個。故第n個圖形中小圓圈的個數(shù)比第一個多3（n-1），即m=5+3(n-1)=3n+2。例8. (2006年無錫

6、市)探索規(guī)律：根據(jù)下圖中箭頭指向的規(guī)律，從2004到2005再到2006，箭頭的方向是（） 【分析及簡解】在這個游戲中，如果從數(shù)上去分析箭頭方向，顯然較為困難。不妨從箭頭本身的變化過程去找規(guī)律，易知它是以這樣 為一個變化周期，即4個數(shù)為一個變化周期，則從0到2004有2005個數(shù)，答案應選A。3.平面圖形中的規(guī)律平面圖形中的知識在初中階段是屬于要求掌握的內容之一，其中也有一些找規(guī)律的題型。例9. （2006年溫州市）在邊長為l的正方形網格中，按下列方式得到“L”形圖形第1個“L”形圖形的周長是8，第2個“L”形圖形的周長是12， 則第n個“L”形圖形的周長是 .【分析及簡解】本題只要來移動“L

7、”形內側的兩條線條使其成為一個正方形，這樣問題就變成了求正方形的周長，且從圖中的變化規(guī)律可知邊長是逐一增加的，故答案為4（n+1）。例10.（成都市2006年）如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積 _?！痉治黾昂喗狻勘绢}主要是在正方形中對角線是邊長的倍的規(guī)律，易得答案為128。4.空間圖形中的規(guī)律空間圖形相對平面圖形來講要顯得抽象些，學生就要有一定的空間想象能力，在此基礎上空間圖形中的一些規(guī)律問題就能迎刃而解。

8、例11. (2006年山東省青島市)如圖，下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第n個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有 個 【分析及簡解】本題涂色的問題實際上是在這個空間圖形中找露出兩個表面的小立方體的個數(shù)，這樣可在幾何體中從上而下分層的找出規(guī)律：第一層四邊中，每邊上除兩端的小立方體外都是露出兩個面的，以下幾層都是每層四端的小立方體有兩個面露出。所以第n個幾何體露出兩個面的可以分第一層有4（n-1）個，以下幾層共有4n個，故答案為8n-4。例12. (煙臺市2006年) 下列圖形中，圖(a)是正方體木塊，把它切去一塊，得到如圖(

9、b)(c)(d)(e)的木塊(1)我們知道，圖(a)的正方體木塊有8個頂點、12條棱、6個面，請你將圖(b)、(c)、(d)、(e)中木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填入下表：（6分）圖號頂點數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z(a)8126(b)(c)(d)(e)(2)上表，各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關系可以歸納出一定的規(guī)律，請你試寫出頂點數(shù)x、棱數(shù)y、面數(shù)z之間的數(shù)量關系式（2分）【分析及簡解】本題只要熟悉正方體這個空間圖形就馬上能得到表中的答案圖號頂點數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z(a)8126(b)695(c)8126(d)8137(e)10157而要得到頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關系可以具體分析表中的數(shù)據(jù)即可，

10、易得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=常數(shù)2的規(guī)律，應此有（歐拉定理）。三.直角坐標中的規(guī)律直角坐標中的一些規(guī)律主要是與坐標相關聯(lián)，往往是通過點的坐標和坐標中特有的對稱性來解決規(guī)律問題例13.（江蘇省淮安市2006年）如圖，已知Al(1，0)、A2(1，1)、A3(-1，1)、A4(-1，-1)、 A5(2，-1)、。則點A2007，的坐標為_ 【分析及簡解】本題要解決A2007的坐標，首先要知道它在第幾象限。從圖中A點變化趨勢中能夠找出這樣的規(guī)律：以A2，A3，A4，A5為起始點分別向坐標的的四個象限延伸，同一象限內相鄰的兩點之間相隔4個點，且相鄰的兩點之間的縱橫坐標逐一遞減或遞增。而2007=4501+3所以是以為起始點的在第二象限的第502個點，又的坐標為（-1，1），故的坐標為（-502，502）。例14.( 2006年泉州市)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點請你觀察圖中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3每個正方形四條邊上的整點的個數(shù)，推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點共有【分析及簡解】從坐標中觀察可以得到正方形經過的整數(shù)點依次為8、16、24 所以易得這樣的規(guī)律：正方形四