流體力學(xué)第5章 量綱分析和相似性原理教材

1、工程流體力學(xué)、水力學(xué)的問題，由于邊界條件復(fù)雜，大多數(shù)工程流體力學(xué)、水力學(xué)的問題，由于邊界條件復(fù)雜，大多數(shù)不能單純依靠數(shù)學(xué)方法求得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕鼋?；即使是少?shù)可以不能單純依靠數(shù)學(xué)方法求得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕鼋?；即使是少?shù)可以求解的問題，也要做相當(dāng)多的簡化和假定；對于重要的工程，求解的問題，也要做相當(dāng)多的簡化和假定；對于重要的工程，為確保工程安全，在付諸實(shí)施之前，一般還要經(jīng)過模型實(shí)驗(yàn)為確保工程安全，在付諸實(shí)施之前，一般還要經(jīng)過模型實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，的驗(yàn)證。本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對流體力學(xué)試驗(yàn)研究具有重要的指導(dǎo)意義。對流體力學(xué)試驗(yàn)研究具有重要的指導(dǎo)意義。

2、主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：v量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱分析的意義和量綱和諧原理v量綱分析法量綱分析法v相似理論基礎(chǔ)相似理論基礎(chǔ)v模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn)（1 1） 量綱的概念量綱的概念單位單位是指量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，單位確定之后，一個(gè)是指量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，單位確定之后，一個(gè)具體的物理量就有了對應(yīng)的一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，具體的物理量就有了對應(yīng)的一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的這是物理量的“量量”的特征。的特征。 量綱量綱是指物理量的物理屬性。它包含物理量的基本物理要素是指物理量的物理屬性。它包含物理量的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的及其結(jié)合形式

3、，表示物理量的類別，是物理量的“質(zhì)質(zhì)”的特征。的特征。任何物理量都是由自身的物理屬性（任何物理量都是由自身的物理屬性（類別類別）和為度量該物理）和為度量該物理屬性而規(guī)定的量度標(biāo)準(zhǔn)（屬性而規(guī)定的量度標(biāo)準(zhǔn)（單位單位）兩個(gè)因素構(gòu)成的。即）兩個(gè)因素構(gòu)成的。即“質(zhì)質(zhì)”的的特征和特征和“量量”的特征的特征。5.1 量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱分析的意義和量綱和諧原理 基本量綱具有獨(dú)立性，比基本量綱具有獨(dú)立性，比如與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題如與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題可選取長度可選取長度L、時(shí)間、時(shí)間T和質(zhì)和質(zhì)量量M為基本量綱。為基本量綱。,基本量綱基本量綱誘導(dǎo)量綱誘導(dǎo)量綱 量綱量綱 誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基

4、本量綱導(dǎo)出誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基本量綱導(dǎo)出稱為量綱指數(shù)稱為量綱指數(shù)0,0,00,0,00,0,0則則 x 為幾何學(xué)的量為幾何學(xué)的量則則 x 為動(dòng)力學(xué)的量為動(dòng)力學(xué)的量則則 x 為運(yùn)動(dòng)學(xué)的量為運(yùn)動(dòng)學(xué)的量MTLx 如如12TL運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)11MTL動(dòng)力粘性系數(shù)動(dòng)力粘性系數(shù)思考：加速度的量綱是什么？力的量綱是什么？221UppCp相同量綱量的比值相同量綱量的比值 幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成如三角函數(shù)，無量綱速度等如三角函數(shù)，無量綱速度等 定義：定義：物理量物理量的所有的所有量綱指量綱指數(shù)為零數(shù)為零如壓力系數(shù)如壓力系數(shù)（2 2） 無量綱量無量綱量 無量綱量的

5、特性 客觀性 不受運(yùn)動(dòng)規(guī)模影響 可進(jìn)行超越函數(shù)運(yùn)算 對正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其中各項(xiàng)對正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其中各項(xiàng)的量綱指數(shù)都分別相同。的量綱指數(shù)都分別相同。（3）量綱和諧原理量綱和諧原理 任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位制變換而改變形式。制變換而改變形式。 客觀物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)?？陀^物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)。 量綱分析法量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它

6、對于正確地分析、科之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過程是十分有益的。學(xué)地表達(dá)物理過程是十分有益的。5.2 量綱分析法量綱分析法量綱分析法量綱分析法是基于量綱和諧原理發(fā)展起來的。共有是基于量綱和諧原理發(fā)展起來的。共有2種：瑞利法和種：瑞利法和 定理。定理。（1 1） 瑞利法瑞利法則其中任何一個(gè)物理量則其中任何一個(gè)物理量qi可以表示為其他物理量的指數(shù)的乘積可以表示為其他物理量的指數(shù)的乘積瑞利法的基本原理如下：若某一物理過程可用下面的函數(shù)表瑞利法的基本原理如下：若某一物理過程可用下面的函數(shù)表示示0),(321nqqqqf將各物理量的量綱代入上式，并根據(jù)量綱和諧原理，確定出指

7、將各物理量的量綱代入上式，并根據(jù)量綱和諧原理，確定出指數(shù)數(shù)a,b,ca,b,c, ,p,p,即可得到表達(dá)該物理過程的方程式。即可得到表達(dá)該物理過程的方程式。)(321項(xiàng)不含ipncbaiqqqqKqq瑞利法只能用于一些比較簡單的過程瑞利法只能用于一些比較簡單的過程。例求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移 s的計(jì)算式（不計(jì)空的計(jì)算式（不計(jì)空氣阻力）氣阻力）解：（1）已知位移s和重力加速度 g和時(shí)間 t有關(guān)，物理過程可寫為（2）寫出指數(shù)乘積關(guān)系式（4）根據(jù)量綱和諧原理，有（3）寫出量綱式0),(tgsfbatKgs baTLTKL22201bbaa（5）所以2Kgts 無量

8、綱系數(shù)K可以用實(shí)驗(yàn)測定。 物理過程的有量綱表達(dá)形式為物理過程的有量綱表達(dá)形式為 , ,其中其中 m 個(gè)物個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個(gè)物理量可各自與這個(gè)物理量可各自與這m 個(gè)物理量組合成無量綱量個(gè)物理量組合成無量綱量 ， 定理的結(jié)論是：物理定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為過程的無量綱表達(dá)形式為 0),(21nqqqfmn,210),(21mnF（2 2） 定理定理 若某物理過程涉及若某物理過程涉及 n 個(gè)物理量，其中有個(gè)物理量，其中有 m 個(gè)物理量的量綱個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的（不能相互導(dǎo)出），選這些量綱為基本量綱，可組是互相獨(dú)立的（不能

9、相互導(dǎo)出），選這些量綱為基本量綱，可組成成 n-m 個(gè)無量綱量，物理過程則可由這個(gè)無量綱量，物理過程則可由這 n-m 個(gè)無量綱量的關(guān)系個(gè)無量綱量的關(guān)系式描述。式描述。（3 3）基本量依次與余下）基本量依次與余下 n-m 個(gè)物理量組合成無量綱量個(gè)物理量組合成無量綱量mn,21應(yīng)用應(yīng)用 定理的基本步驟定理的基本步驟（1 1）找出與物理過程有關(guān)的）找出與物理過程有關(guān)的n 個(gè)物理量。個(gè)物理量。（2 2）選取）選取 m 個(gè)物理量為基本量。不可壓縮流動(dòng)中，個(gè)物理量為基本量。不可壓縮流動(dòng)中，m=3m=3，通常，通常取速度、密度和特征長度為基本量。取速度、密度和特征長度為基本量。0),(321nqqqqf11

10、132141cbaqqqq22232152cbaqqqq3333213nnncbannqqqq（5 5）整理方程式。）整理方程式。（4 4）定出各項(xiàng)指數(shù)。）定出各項(xiàng)指數(shù)。例求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移 s的計(jì)算式（不計(jì)空的計(jì)算式（不計(jì)空氣阻力）氣阻力）解：（1）已知位移s和重力加速度 g和時(shí)間 t有關(guān)，物理過程可寫為（2）選取基本量（4）定出指數(shù)（3）組合無量綱量0),(tgsftg,batgs1（5）整理方程式0)()(21gtsff無量綱系數(shù)K可以用實(shí)驗(yàn)測定。2, 112baTLTLba212)0(KgtsKfgts 在量綱分析法中，將物理過程表示成了無量綱

11、量的函數(shù)，似在量綱分析法中，將物理過程表示成了無量綱量的函數(shù)，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。更具普遍性。 應(yīng)用應(yīng)用 定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。 例水流

12、圍繞橋墩流動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生繞流阻力水流圍繞橋墩流動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生繞流阻力D，該阻力與橋，該阻力與橋墩尺寸墩尺寸l，水流速度，水流速度v，水的密度，水的密度，動(dòng)力粘度，動(dòng)力粘度及重力加及重力加速度速度g有關(guān)，試求阻力有關(guān)，試求阻力D的表達(dá)式。的表達(dá)式。解：（1）物理過程可寫為（2）選取基本量（3）組合無量綱量0),(gvlDfvl,1111cbavlD2222cbavl3333cbavlg（4）定出指數(shù)2122311111111111132111cbaccbabLTMLLMLTcba11113111222222221311222cbaccbabLTMLLTMLcba2012310133333333132

13、333cbaccbabLTMLLLTcba（5）整理方程式0),(),(2122321vlgvlvlDff),(),(22122glvvlfvglvlfvlD),(222glvvlfvlD為解決工程問題，需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。為解決工程問題，需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。大多數(shù)實(shí)驗(yàn)都是基于模型進(jìn)行的。（擴(kuò)大或縮?。┐蠖鄶?shù)實(shí)驗(yàn)都是基于模型進(jìn)行的。（擴(kuò)大或縮?。┯麖哪Ｐ蛯?shí)驗(yàn)結(jié)果推知原型流動(dòng)情況，必須保證模型試驗(yàn)中的欲從模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果推知原型流動(dòng)情況，必須保證模型試驗(yàn)中的流動(dòng)和原型流動(dòng)具有相似性。流動(dòng)和原型流動(dòng)具有相似性。什么樣的流動(dòng)才具有相似性？這就是相似理論要回答的問題。什么樣的流動(dòng)才具有相似性？這就是相似理論要回答的問

14、題。53 相似理論基礎(chǔ)一一相似理論的意義相似理論的意義兩個(gè)流動(dòng)要相似，需滿足以下四方面要求：兩個(gè)流動(dòng)要相似，需滿足以下四方面要求：幾何相似幾何相似運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似動(dòng)力相似邊界條件和初始條件相似邊界條件和初始條件相似二二相似的概念相似的概念 幾何相似幾何相似：流場幾何形狀相似，相應(yīng)長度成比例，相應(yīng)角度相等。幾何相：流場幾何形狀相似，相應(yīng)長度成比例，相應(yīng)角度相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。長度比尺長度比尺mplll / 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前：以幾何相似為前提。兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn)的速度

15、方提。兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn)的速度方向一致，大小成比例。向一致，大小成比例。 在對應(yīng)瞬時(shí)，在對應(yīng)瞬時(shí)，流場速度圖相流場速度圖相似，即相應(yīng)點(diǎn)似，即相應(yīng)點(diǎn)速度大小成比速度大小成比例，方向相同。例，方向相同。長度比尺長度比尺mplll /時(shí)間比尺時(shí)間比尺mpttt /速度比尺速度比尺tlmpuuu加速度比尺加速度比尺2/tla長度比尺長度比尺mplll /時(shí)間比尺時(shí)間比尺mpttt / 動(dòng)力相似動(dòng)力相似：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力（慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應(yīng)（慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例

16、，方向相同。并且各種成分力的相似比例數(shù)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且各種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。也相同，即力多邊形相似。作用力比尺作用力比尺mpFFF /TpGI 邊界條件相似邊界條件相似：相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。：相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。 初始條件相似初始條件相似：對非恒定流（非定常流），初始條件要相似。對恒定流，：對非恒定流（非定常流），初始條件要相似。對恒定流，則與初始條件無關(guān)。則與初始條件無關(guān)。有時(shí)可將邊界條件相似歸結(jié)為幾何相似。有時(shí)可將邊界條件相似歸結(jié)為幾何相似。 不可壓流體的流動(dòng)都受不可壓流體的流動(dòng)都受N-S方程的控制，那么我

17、們怎樣來方程的控制，那么我們怎樣來保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的呢？保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的呢？三三. . 相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則 用流動(dòng)的時(shí)間、用流動(dòng)的時(shí)間、長度、流速和壓強(qiáng)長度、流速和壓強(qiáng)特征量特征量 ，將方程的自變量和將方程的自變量和因變量無量綱化：因變量無量綱化： 帶帶的量的量成為無量綱量。成為無量綱量。T LU P, , , 將變量代入將變量代入連續(xù)方程連續(xù)方程N(yùn)-S方程方程得到無量綱方程得到無量綱方程和和其中其中將無量綱將無量綱 N-S 方程整理，得到方程整理，得到必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了慣性力、重力、必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了慣性力、重力、壓差力和粘性力

18、在流動(dòng)動(dòng)力平衡中的相對重要性。壓差力和粘性力在流動(dòng)動(dòng)力平衡中的相對重要性。兩個(gè)相似流動(dòng)的無量綱解應(yīng)完全相同，則它們的無量綱方程兩個(gè)相似流動(dòng)的無量綱解應(yīng)完全相同，則它們的無量綱方程和無量綱邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一樣，所以兩個(gè)相似和無量綱邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一樣，所以兩個(gè)相似流動(dòng)對應(yīng)的上式中的各項(xiàng)的無量綱系數(shù)流動(dòng)對應(yīng)的上式中的各項(xiàng)的無量綱系數(shù) 根據(jù)上面得到的四個(gè)無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改根據(jù)上面得到的四個(gè)無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改形）得到流動(dòng)的相似參數(shù)：形）得到流動(dòng)的相似參數(shù)：LUTSt 斯托哈爾數(shù)斯托哈爾數(shù)gLUFr弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)2UPEu歐拉數(shù)歐拉數(shù)ULRe雷諾數(shù)雷

19、諾數(shù)它們分別是慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的參數(shù)。它們分別是慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的參數(shù)。時(shí)變慣性力時(shí)變慣性力位變慣性力位變慣性力表征表征LUTSt斯托哈爾數(shù)斯托哈爾數(shù)gLUFr弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)2UPEu歐拉數(shù)歐拉數(shù)ULRe雷諾數(shù)雷諾數(shù)慣性力慣性力重力重力慣性力慣性力粘性力粘性力慣性力慣性力壓差力壓差力表征表征表征表征表征表征 流動(dòng)的特征量一般應(yīng)取流動(dòng)中容易測量到的、能顯著體現(xiàn)流流動(dòng)的特征量一般應(yīng)取流動(dòng)中容易測量到的、能顯著體現(xiàn)流動(dòng)特征，或者對流動(dòng)起到重要控制作用的量。如動(dòng)特征，或者對流動(dòng)起到重要控制作用的量。如 這些特征量常取在邊界處，使相似參數(shù)中自然融進(jìn)邊界條件這些特征量常取

20、在邊界處，使相似參數(shù)中自然融進(jìn)邊界條件的相似。的相似。 T 取為周期取為周期性運(yùn)動(dòng)的周期性運(yùn)動(dòng)的周期U 取 為取 為無窮遠(yuǎn)方無窮遠(yuǎn)方來流速度來流速度P 取 為取 為與無窮遠(yuǎn)與無窮遠(yuǎn)方的壓差方的壓差L 取為繞取為繞流物體的特流物體的特征長度或圓征長度或圓管直徑管直徑 相似準(zhǔn)則：相似準(zhǔn)則：弗勞德準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等弗勞德準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯托哈爾數(shù)相等非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯托哈爾數(shù)相等歐拉準(zhǔn)則：壓差力相似，即歐拉數(shù)相等歐拉準(zhǔn)則：壓差力相似，即歐拉數(shù)相等雷諾準(zhǔn)則：粘性相似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等雷諾準(zhǔn)則：粘性相

21、似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等 在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn) 應(yīng)該測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無量綱表應(yīng)該測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無量綱表達(dá)式包含的所有物理量達(dá)式包含的所有物理量 實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似參實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似參數(shù)和其它無量綱量來表示的數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實(shí)驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。象之間。在什么條件在什么條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?應(yīng)該測量哪應(yīng)該測量哪些物理量些物理量?實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何應(yīng)用如何應(yīng)用? 如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?54 模型實(shí)驗(yàn) 可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變 g 和和 . . 而我而我們知道改變們知道改變 g 是不大可能的（由此可知為什么有些實(shí)驗(yàn)要在航是不大可能的（由此可知為什么有些實(shí)驗(yàn)要在航天飛機(jī)上做），改變天飛機(jī)上做），改變 的可能性也不大，因?yàn)?/p>