第三章 等參單元.

1、船舶結(jié)構(gòu)有限元分析船舶結(jié)構(gòu)有限元分析Finite Element Analysis of Ship Structure上海海事大學商船學院江國和第三章 等參單元3.13.1等參單元的引入等參單元的引入采用等參變換的單元稱之為等參單元，即單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)，采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)，及相同的插值函數(shù)進行變換?；舅枷耄含F(xiàn)在具有規(guī)則形狀的單元（區(qū)域）上構(gòu)造位移插值函數(shù)，然后把這個具有規(guī)則形狀的坐標變換映射為物理平面上的一個形狀比較復雜的單元，因而，等參單元也被稱為映射單元。3.23.2四節(jié)點矩形雙線性單元四節(jié)點矩形雙線性單元3.21位移插值函數(shù) 對于某些有規(guī)則邊界的區(qū)域，可以把所討論

2、的區(qū)域劃分成若干個矩形單元，設一個中心位于坐標原點，變長為2的正方形，如圖 取正方形的四個角點作為單元節(jié)點，單元的位移模式為xyyxvxyyxu87654321 式中所示的位移插值函數(shù)的特點：固定x，它是y的線性函數(shù)；固定y，它是x的線性函數(shù)。因而，我們稱它為雙線性插值函數(shù)，把采用這種位移插值函數(shù)的四節(jié)點矩形單元稱為矩形雙線性單元。 矩形雙線性單元有著常應變?nèi)切螁卧痪哂械姆从硢卧獜澢冃蔚哪芰Γ瑥亩嬎憔扔型岣摺?由于上式滿足常應變準則即完備性條件，又滿足位移連續(xù)性條件即協(xié)調(diào)性條件。因而，矩形雙線性單元是完備的協(xié)調(diào)單元。3.2.23.2.2形函數(shù)的確定形函數(shù)的確定 建立以節(jié)點位移為基

3、本未知量的有限元方程，把u和v表示成形函數(shù)與節(jié)點位移乘積之和的形式 形函數(shù)確定的條件： （1）每個形函數(shù)都仍然是坐標的雙線性函數(shù)； （2）Ni在結(jié)點i處等于1，在其他節(jié)點處等于0。4141iiiiiiuNvuNu根據(jù)條件2，可得根據(jù)矩形單元各個節(jié)點的坐標，可將形函數(shù)Ni統(tǒng)一表示為 （i=1,2,3,4）對任意雙線性函數(shù)f(x , y),都有 為f(x , y)在節(jié)點i的值，分別取f(x , y)=1， f(x , y)=x和f(x , y)=y，得：yxNyxNyxNyxN11411141114111414321yyxxNiii114141,iiifNyxfif414141,1iiiiiiii

4、yNyxNxyxN 形函數(shù)是定義在給定單元上的，所以上式對單元的每一點（x , y）都成立。單元內(nèi)一點的坐標通過單元節(jié)點坐標 的表達式，即坐標插值函數(shù)。 位移插值函數(shù)和坐標插值函數(shù)具有完全相同的構(gòu)造，都是以節(jié)點處的函數(shù)值作為參數(shù)，并具有相同的形函數(shù)。因而矩形雙線性單元也是一種等參數(shù)單元。),(iiyx3.2.23.2.2矩形雙線性單元的完備性和協(xié)調(diào)性矩形雙線性單元的完備性和協(xié)調(diào)性完備性：所采用的位移插值函數(shù)的確能反映任意給定的剛體位移和常應變，簡稱為滿足常應變準則或完備性條件上式是任何等參數(shù)單元滿足常應變準則的充分必要條件414141,1iiiiiiiiyNyxNxyxN協(xié)調(diào)性：只要相鄰單元在

5、其公共邊界上具有共同節(jié)點，相鄰單元間公共邊界上任一點的位移就必定相同，所以位移連續(xù)條件（即協(xié)調(diào)性條件）得到滿足。在x=1邊界上，N1=0，N4=0，有同理，在x=1的邊界有 ?？芍匦坞p線性單元的邊界在手里變形后，仍保持為直線邊界。此協(xié)調(diào)性論證適用于任何等參單元。)1(2)1(21)1(21),1(),1(),1(232323322yuuuuyuyuyNuyNyuyvvvv122323.33.3四節(jié)點四邊形等參單元四節(jié)點四邊形等參單元前面介紹的四節(jié)點矩形雙線性單元只適用于規(guī)則區(qū)域。本屆介紹可用于不規(guī)則區(qū)域的四節(jié)點任意四邊形單元。3.3.1四節(jié)點任意四邊形單元對任意四邊形單元，不能再直接采用雙

6、線性插值函數(shù)。通過適當?shù)淖鴺俗儞Q，把物理平面（xy平面）四邊形單元變換成平面上以坐標原點為中心的邊長為2的正方形單元，xy平面上的節(jié)點1，2，3，4分別對應正方形單元的節(jié)點1，2，3，4。如圖所示對于a所示的四邊形單元，將各邊的等分點用之線連接，并規(guī)定它與局部坐標系下單元的相應對邊、等分點的連線對應，這樣，就建立了圖a所示四邊形單元和圖b所示正方形單元個點間的一一對應關系。3.3.2自然坐標系下的位移插值函數(shù)自然坐標系下的位移插值函數(shù)：式中形函數(shù) （i=1,2,3,4）有可知，插值函數(shù)在自然坐標系下滿足常應變準則和協(xié)調(diào)性條件4141,iiiiiiuNvuNuiiiN1141,414141,1i

7、iiiiiiiNNN3.3.3坐標變換整體坐標和自然坐標之間的坐標變換關系式：由形函數(shù)在節(jié)點i為1，在其他節(jié)點為0的性質(zhì)可知，上式把正方形的四個頂點變換成整體坐標下的節(jié)點（Xi，Yi）。其次，考察母單元某一條邊，如12邊=-14141,iiiiiiyNyxNx2121431211211211210,0yyyxxxNN上式是一條以為參數(shù)的直線方程，因而變換式把母單元的12邊變換成整體坐標下連接節(jié)點的直邊。對其他邊也有同樣結(jié)論。位移插值公式和坐標變換公式具有完全相同的構(gòu)造，因此這種四節(jié)點任意四邊形單元也是等參單元，簡稱為四節(jié)點等參數(shù)單元，在整體坐標下也必然滿足常應變準則。位移插值函數(shù)在自然坐標系下

8、的協(xié)調(diào)性自動保證了坐標變換式的合理性及位移插值函數(shù)在整體坐標系下的協(xié)調(diào)性今后，對每個單元，我們把立足點放在自然坐標上，一切計算都轉(zhuǎn)換到自然坐標系下進行位移插值函數(shù)可用矩陣記號記為：3.3.4應變矩陣B建立對平面應力問題eNvuvuNNNNNNNNvuf44114321432100000000exyyxBvuxyyx00上式B是一個三行8列矩陣 （i=1，2，3，4）利用復合函數(shù)求導法則，得寫成矩陣形式，xNyNyNxNBiiiii00yyxxyyxxyxJyxyxyx式中坐標變換矩陣（雅可比矩陣）由矩陣求逆法則得式中41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ414141

9、41111iiiiiiiiiiiixNxNyNyNJxxyyJJxyyxJ3.3.5應力應變關系S=DB為應力矩陣3.3.6單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷1.面元變換公示自然坐標系下的無限小面積元，經(jīng)過坐標變換式變換為整體坐標系下無限小平行四邊形，如圖eezyxSDBD變換后微元面積記為dA，則2.單元剛度矩陣把積分區(qū)域變換到自然坐標系平面上的相應區(qū)域 ddJddyxyxdAdyydxxdydydxdxxdyydxdA,dtdJDBBKDBtdxdyBKTeATe 1111A單元所占區(qū)域t單元厚度3.等效節(jié)點載荷dtdJQNPTeQ 1111討論作用在單元邊界上的表面里引起的等效節(jié)點載荷11122

10、11122111211112122111212121414141400002,12tdPlPtdPlPtdPlPtdPlPPNPNPNPNQNdldslsQtdsNPyeyxexyeyxexyxyxTTeQ在12邊上，=-1，N3=0,N4=03.3.7等參變換的條件為了確保坐標變換式能確定整體坐標與自然坐標間一一對應關系，要求：所以，為保證等參數(shù)變換得以進行，所謂的任意四邊形所有內(nèi)角都必須小于180當內(nèi)角接近180，丨J丨接近與零，因為丨J丨出現(xiàn)在求逆矩陣的分母，將導致計算誤差迅速增大，因而計算實踐不應使四邊形單元過于歪斜。0,J3.4等參單元的收斂性為了保證協(xié)調(diào)性，相鄰單元在這些公共邊（或

11、面）上應有完全相同的節(jié)點，同時每一單元沿這些邊(或面)的坐標和未知函數(shù)應采用相同的插值函數(shù)加以確定。關于單元的安全性，對于 型單元，要求插值函數(shù)中包含完全的線性項，本章討論的所有單元在自然坐標中是滿足此要求的。研究經(jīng)過等參變換后，笛卡爾坐標下有：將上式代入，就得到單元內(nèi)的函數(shù)表達式可以看出，如果插值函數(shù)滿足 ，說明單元滿足完備性要求0C1,111111niiniiiiiiniiiniiiniiiniiiNdzcybxNadzcybxadzcybxaNzNzyNyxNx某些情況下，坐標插值多項式次數(shù)低于位移插值多項式，計算更為便捷，這樣的單元稱為次參數(shù)單元，如圖為典型的二維次參數(shù)單元。坐標插值函

12、數(shù)的階數(shù)高于位移插值函數(shù)的階數(shù)的單元，稱為超參數(shù)單元，可以更準確的描述殼體的復雜幾何形狀3.5數(shù)值積分方法3.5.1插值求積法在求積區(qū)間-1，1上取n個分點i（i=1,2n）,n 個求積節(jié)點的分布可等距也可不等距，記根據(jù)節(jié)點上的函數(shù)值Fi，構(gòu)造一個n-1次插值多項式Pn(),使得 ，稱為F()的插值多項式或拉格朗日插值多項式。寫成如下形式：根據(jù)Ni()的性質(zhì)可知 ),2 , 1( ,niFFii iinFPiniinFNP1 niiiiiiiniiiN11211121記則有插值多項式可寫為于是有 若記 就得到插值求積公式 niw21 iiiwwN iniiinFwwP1 nniiiniiiin

13、FHFHFHdFdwwHdFwwdPdF 221111111111111式中的系數(shù)Hi(i=1,2,3n)稱為求積系數(shù)或加權(quán)系數(shù)。它的值與被積函數(shù)無關，只依賴于求積節(jié)點的個數(shù)和位置。當F()本身是次數(shù)不超過n-1的多項式時， 即具有n個求積節(jié)點的插值求積公式至少具有n-1次的代數(shù)精確度。3.5.2高斯求積法對求積節(jié)點的位置予以優(yōu)選，使插值求積公式對任何次數(shù)不超過2n-1次的多項式函數(shù)都精確成立。這時求積公式的最高代數(shù)精確度為2n-1次，稱為高斯求積公式 FPn設F()為次數(shù)不超過2n-1次的任意多項式，因此有只需要選取i(i=1,2,，n)，使以下n個等式成立，則插值求積公式即為高斯求積公式。

14、積分點的個數(shù)n，稱為數(shù)值積分的階 1110nnnwPF dwFdwwdFnkkkiniii 101111111 111, 2 , 1 , 0, 0nkdwk 11111),2,1(,nidwwHFHdFiiiniiiN次勒讓德多項式在區(qū)間-1，1上的n個根就是高斯求積公式中的n個求積節(jié)點。利用此性質(zhì)可確定節(jié)點i和系數(shù)Hi。因此高斯求積公式又叫高斯勒讓德求積法。 n=1情形，得一階高斯求積公式式中1=0，H1=2，此為中點矩形插值公式，對任意一次多項式都精確成立 n=2情形，二階高斯求積公式式中 ,它對任意三次多項式函數(shù)都精確成立。nnnnnddnL)1(!212 1111FHdF 221111

15、FHFHdF1,31,312121HH 下表列出n=1至n=4時高斯求積公式中的求積節(jié)點坐標和相應的求積系數(shù)3.5.3二維和三維高斯求積公式因為故二維高斯求積公式為：同理，三維高斯求積公式為：對有限元分析而言，由于幾何各向同性要求，個方向的求積節(jié)點個數(shù)取為相同，故有上述公式 niiiFHdFddFddF11111111111, 111111,ninijijiFHHddF nininikjikjiFHHHdddF111111111,3.6數(shù)值積分階次的選擇選擇積分階次的原則：1.保證積分的精度縮減積分：高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案。采用縮減積分可以取得較完全精確積

16、分更好的精度。理由如下： .精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全項的最高次方要求，而決定有限元精度的是完全多項式的次方。 .有限元計算模型具有較實際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度，縮減積分方案將使模型剛度有所降低，因此提高計算精度3.23.2坐標變換與平面四結(jié)點等參元坐標變換與平面四結(jié)點等參元 圖3-1(a)為一個任意四邊形單元，稱為實際單元。在實際單元內(nèi)以對邊的中點連線建立起一個局部坐標系，通過坐標轉(zhuǎn)換把實際單元“映射”為如圖3-1(b)所示的一個正方形，此坐標系稱為單元的自然坐標系或等參數(shù)坐標系，正方形稱為基本單元，基本單元內(nèi)任一點P( ， )與實際單元內(nèi)的一點P(x，y)唯一對應。圖圖3-1(a)3-1

17、(a)(a) 直角坐標系與實際單元 (b) 自然坐標系與基本單元圖圖3-1(b)3-1(b)實際單元與基本單元的對應關系實際單元與基本單元的對應關系可寫為可寫為(3-1)(3-1)(3-2) 用同樣的形狀函數(shù)來插值單元內(nèi)任意一點用同樣的形狀函數(shù)來插值單元內(nèi)任意一點( (x, yx, y) )的位移的位移(3-3) 為此單元的結(jié)點位移列向量為此單元的結(jié)點位移列向量 為形狀函數(shù)矩陣。為形狀函數(shù)矩陣。這里采用了同樣的形狀函數(shù)式這里采用了同樣的形狀函數(shù)式(3-2)(3-2)，用同樣的結(jié)點插值函數(shù)表示出單，用同樣的結(jié)點插值函數(shù)表示出單元的幾何坐標元的幾何坐標x x、y y與與u u、v v，這種單，這種

18、單元稱為等參單元。元稱為等參單元。 e N N類似地可以推廣到具有更多結(jié)點的單元，如類似地可以推廣到具有更多結(jié)點的單元，如圖圖3-23-2所示所示(a) 直角坐標系與實際單元 (b)自然坐標系與基本單元 圖3-2 八結(jié)點等參單元該基本單元的位移函數(shù)可取為該基本單元的位移函數(shù)可取為(3-4)其中在頂角結(jié)點與邊中點上的形函數(shù)在頂角結(jié)點與邊中點上的形函數(shù)分別為(3-5)(3-6)3.3 3.3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣首先給出單元內(nèi)的應變列向量，對平面問題首先給出單元內(nèi)的應變列向量，對平面問題應有應有 exyyxxyyxxyyxNvu0000(3-7)(3-7)按坐標變換關系式(3-1)，有 yyN

19、xxNNiiiyyNxxNNiii寫成矩陣表達式為： yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii(3-8)(3-8)由式由式(3-8)(3-8)可解出可解出 iiiiNNJyNxN1 yxyxJ其中其中(3-9)JJ稱為稱為坐標變換的雅可比（坐標變換的雅可比（JacabianJacabian）矩陣）矩陣，其中其中iixNxiiyNyiixNxiiyNy合寫成矩陣形式有合寫成矩陣形式有 44332211432143yxyxyxyxNNNNNNNNJii(3-10)(3-10)將式(3-3)代入式(3-7)中，則有 eezyxBNNNNNNNNxyyx432143210000000000 B為應變

20、轉(zhuǎn)換矩陣應變轉(zhuǎn)換矩陣，按結(jié)點分塊表示，有 4321BBBBB xNyNyNxNBiiiii00而而 i i=1,2,3,4=1,2,3,4(5-11)(5-11)將式(3-9)代入式(3-11)，即可得出此單元的應變轉(zhuǎn)換矩陣 ,進而求出 。 B同上，同上，單元內(nèi)的應力單元內(nèi)的應力可表示為可表示為 ezyxBD etdBDBkeT(3-12)(3-12)上述積分在自然坐標系內(nèi)進行，得上述積分在自然坐標系內(nèi)進行，得 ddJddyxyxd剛度矩陣剛度矩陣 1111TddJtBDBke(3-13)(3-13)單元剛度矩陣由虛功原理求得，即單元剛度矩陣由虛功原理求得，即式中，式中， 為對應的坐標位置為對

21、應的坐標位置 、 值，值， 、 為權(quán)重系數(shù)，為權(quán)重系數(shù)，L L、M M為沿為沿 、 方向的積分點數(shù)目。方向的積分點數(shù)目。)(iifiiiwjw 一般參數(shù)單元的計算都采用數(shù)值積分求式(3-13)的近似值，同時，為了減少計算點的數(shù)目和便于編寫程序，多采用高斯數(shù)值積分方法。二維積分二維積分法的高斯求積公式法的高斯求積公式為jiiiMjLiwwfddfI)()(111111 (3-14)(3-14)3.4 ANSYS3.4 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計算示例平面結(jié)構(gòu)計算示例3.4.1 3.4.1 問題描述問題描述 一個長方形面板，如圖5-3所示，其高AB=1m，寬BC=1.5m，板厚b=0.04，孔半徑R0.

22、2m，長方形面板的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊約束全部自由度。載荷：BC邊施加垂直向下均布載荷F10000000N/m。圖3-3 長方形板結(jié)構(gòu) 3.4.2 ANSYS3.4.2 ANSYS求解操作過程求解操作過程 打開打開AnsysAnsys軟件，在軟件，在AnsysAnsys環(huán)境下做如下操環(huán)境下做如下操作。作。 （1 1）選擇單元類型選擇單元類型運行運行PreprocessorElPreprocessorElement TypeAdd/Editement TypeAdd/Edit/Delete/Delete，彈出，彈出ElemenElement Typet

23、 Type對話框，如圖對話框，如圖3 3-4-4所示。單擊所示。單擊AddAdd，彈，彈出出Library of ElemenLibrary of Element Typet Type窗口，如圖窗口，如圖3-53-5所示，選擇所示，選擇PLANE82PLANE82。圖3-4 單元類型對話框 圖3-5單元類型庫對話框 在在Element TypesElement Types對話框中單擊對話框中單擊OptionsOptions對話框，彈出對話框，彈出如圖如圖3-63-6所示對話框，設置所示對話框，設置K3K3選項欄為選項欄為Plane strsw/thkPlane strsw/thk，設置設置K5

24、K5選項欄為選項欄為Nodal stressNodal stress，設置，設置K6K6選項欄為選項欄為No extNo extra outputra output。表示單元是應用于平面應力問題，且單元。表示單元是應用于平面應力問題，且單元是有厚度的。是有厚度的。 圖圖3-6 PLANE82 3-6 PLANE82 單元類型選項對話框單元類型選項對話框 圖5-7實常數(shù)對話框圖5-8選擇要設置實常數(shù)的單元類型 圖5-9 PLANE82實常數(shù)對話框 運行運行PreprocessorReal Constants Add/Edit/DPreprocessorReal Constants Add/Edi

25、t/Deleteelete。彈出如圖。彈出如圖3-73-7所示對話框，點擊所示對話框，點擊AddAdd，彈出如圖，彈出如圖3 3-8-8所示對話框，點擊所示對話框，點擊OKOK，彈出如圖，彈出如圖3-93-9所示對話框。在所示對話框。在T THKHK選項欄中設置板厚度為選項欄中設置板厚度為0.04m0.04m。設置完畢單擊。設置完畢單擊OKOK按鈕按鈕完成設置。完成設置。圖圖3-103-10選擇材料屬性對話框選擇材料屬性對話框 圖圖3-11 3-11 設置材料屬性對話框設置材料屬性對話框 （2 2）設置材料屬性設置材料屬性運行運行PreprocessorMaterial Props Mater

26、ial ModelPreprocessorMaterial Props Material Models s，彈出如圖，彈出如圖3-103-10所示對話框，雙擊所示對話框，雙擊IsotropicIsotropic，彈出，彈出圖圖3-113-11所示對話框，在所示對話框，在EXEX選項欄中設置數(shù)值選項欄中設置數(shù)值2.1e112.1e11，在在PRXYPRXY選項欄中設置數(shù)值選項欄中設置數(shù)值0.30.3。設置完畢單擊。設置完畢單擊OKOK按鈕按鈕。 （3 3）建立模型建立模型 選擇選擇Preprocessor Modeling Create Area RectangleBy 2 CornersPre

27、processor Modeling Create Area RectangleBy 2 Corners；彈出如圖彈出如圖3-123-12所示對話框，設置參數(shù)，所示對話框，設置參數(shù)，WP XWP X選項欄中填寫選項欄中填寫0 0，WP YWP Y選項欄中填寫選項欄中填寫0 0，WidthWidth選項欄中填寫選項欄中填寫1.51.5，HeightHeight選項欄中填寫選項欄中填寫1 1，單擊，單擊OKOK，設置完畢。繼續(xù)運行，設置完畢。繼續(xù)運行P Preprocessor Modeling Create Area CircleSolid Circlereprocessor Modeling

28、Create Area CircleSolid Circle；得到如圖；得到如圖3-133-13所示對話框，在所示對話框，在WP XWP X選項欄中填寫選項欄中填寫0.750.75，WP YWP Y選項欄中填寫選項欄中填寫0.50.5，在，在RadiusRadius選項欄中填寫選項欄中填寫0.20.2，設置完畢點擊，設置完畢點擊OKOK按鈕。得到如圖按鈕。得到如圖3-143-14所示圖形。所示圖形。 圖圖5-12 5-12 依兩點建依兩點建立矩形對話框立矩形對話框圖圖5-13 5-13 創(chuàng)建實心圓創(chuàng)建實心圓對話框?qū)υ捒驁D圖5-14 5-14 長方形板模型長方形板模型 （4 4）劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格

29、運行運行MeshingSize Cntrls ManualSizeAreasAll AreMeshingSize Cntrls ManualSizeAreasAll Areasas，彈出如圖，彈出如圖3-153-15所示對話框，在所示對話框，在SIZESIZE選項欄中填寫選項欄中填寫0.050.05，點擊點擊OKOK按鈕；運行按鈕；運行MeshAreasFreeMeshAreasFree劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分如圖如圖3-163-16所示。所示。圖5-15 設置網(wǎng)格尺寸對話框 圖5-16劃分網(wǎng)格后板的有限元模型 圖圖5-17 5-17 對線施加全約束對線施加全約束 （5 5）施加約

30、束施加約束 選擇菜單選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructurSolutionDefine LoadsApplyStructureDisplacementOn LineseDisplacementOn Lines，選擇長方形底邊，彈出，選擇長方形底邊，彈出圖圖5-175-17所示對話框，選擇所示對話框，選擇All DOFAll DOF，單擊，單擊OKOK。 （6 6）施加載荷施加載荷 選擇菜單選擇菜單SolutionDefine LoadsApply StructSolutionDefine LoadsApply StructurePressureOn LinesurePressureOn Line