第3章彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(修改)

1、2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1 前面兩章分別從靜力學(xué)和幾何學(xué)的角度出發(fā)，導(dǎo)出了平衡（微分）方程和幾何方程，這些方程均與物體的材料性質(zhì)（物理性質(zhì)）無關(guān)，因而適用于任何連續(xù)介質(zhì)。但僅用這些方程還不能求解土木工程領(lǐng)域的實際力學(xué)（彈塑性）問題。 對土木工程領(lǐng)域的一個實際力學(xué)問題（正問題），需要求解的未知量通常包括應(yīng)力、內(nèi)力和位移。由于平衡方程僅建立了力學(xué)參數(shù)（應(yīng)力分量與外力分量）之間的聯(lián)系，而幾何方程也僅建立了運(yùn)動學(xué)參數(shù)（位移分量與應(yīng)變分量）之2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系2間的聯(lián)系，所以，平衡方

2、程和幾何方程是兩類完全相互獨(dú)立的方程，它們之間還缺乏必要的聯(lián)系。對于所求解的問題來講，因為未知量數(shù)目多于任何一類方程的個數(shù)，所以，無法利用這兩類方程求得全部未知量。 為了求解具體的力學(xué)問題，還必須引進(jìn)一些關(guān)系式，這些關(guān)系式即是所謂的本構(gòu)關(guān)系。本構(gòu)關(guān)系反映可變形固體材料的固有特性，故也稱為物理關(guān)系，它實際上是一組聯(lián)系力學(xué)參數(shù)和運(yùn)動學(xué)參數(shù)的方程式，即本構(gòu)方程。也就是反映可變形固體材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的方程。 下面我們僅以簡單拉壓為例來介紹一下本構(gòu)方程。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系3 一、一、低碳鋼的拉伸實驗低碳鋼的拉伸實驗 圖圖3-1為簡單拉

3、伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線。為簡單拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線。 1、比例變形階段、比例變形階段 ： OA段段 在此階段中，應(yīng)力和應(yīng)變之在此階段中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系是線性的，即可用胡克間的關(guān)系是線性的，即可用胡克定律定律( (Hooke) ) 表示。表示。 E（31） 式中：式中：E彈性模量（彈性模量（moculus of elastics） ； 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系4A點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限（點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限（Propotional limit） 2、彈性變形階段、彈性變形階段 ： AB段段 這時，這時， 與與 之間的關(guān)系不再之間的

4、關(guān)系不再是線性，但變形仍然是彈性的；是線性，但變形仍然是彈性的； B點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力稱為對應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限彈性極限( (elastic limit) )。 注：注：對許多材料來講，對許多材料來講，A A，B B 兩點(diǎn)非常接近，所以工程兩點(diǎn)非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分上對彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分。 3、屈服階段、屈服階段： BD段段 當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限之后，將出現(xiàn)應(yīng)變增加很快，而應(yīng)當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限之后，將出現(xiàn)應(yīng)變增加很快，而應(yīng)2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系5力則在很小范圍內(nèi)波動，這種力則在很小范圍內(nèi)波動，這種應(yīng)

5、力變化不大而應(yīng)變顯著增加應(yīng)力變化不大而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱為的現(xiàn)象稱為屈服屈服或或流動流動。 C點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力分別稱為材料的點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力分別稱為材料的上屈服極限上屈服極限和和下屈下屈服極限服極限，但在實際應(yīng)用中一般都，但在實際應(yīng)用中一般都采用下屈服極限采用下屈服極限作為作為材料的材料的屈服極限屈服極限 (yield limit)記作記作 。 s 4、塑性流動階段、塑性流動階段： DH段段 在這一階段中，在這一階段中，雖然應(yīng)力沒有增雖然應(yīng)力沒有增加，應(yīng)變卻在不斷增加加，應(yīng)變卻在不斷增加。 HbHb段：段：強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段 由由H點(diǎn)開始出現(xiàn)強(qiáng)化現(xiàn)象，即試點(diǎn)開始出現(xiàn)強(qiáng)化現(xiàn)象，即試件上只有應(yīng)力

6、增加時，應(yīng)變才能增加件上只有應(yīng)力增加時，應(yīng)變才能增加。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系6 如果在材料的屈服階段或強(qiáng)化階段卸載，則卸載線為圖如果在材料的屈服階段或強(qiáng)化階段卸載，則卸載線為圖3-1中的中的 ，可以看出當(dāng)逐漸卸除拉力，應(yīng)力和應(yīng)變，可以看出當(dāng)逐漸卸除拉力，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系將沿著與關(guān)系將沿著與OB平行的斜線平行的斜線 和和 回到回到 點(diǎn)和點(diǎn)和 點(diǎn)。點(diǎn)。 OHOD 、HDOH OO 如果由點(diǎn)如果由點(diǎn) 開始再加載，則加載過程仍沿開始再加載，則加載過程仍沿 線進(jìn)行，線進(jìn)行，直到直到H點(diǎn)后材料才開始屈服，因此材料的點(diǎn)后材料才開始屈服，因此材料的比

7、例極限得到了提比例極限得到了提高高。 OHO 5、局部變形階段、局部變形階段： b點(diǎn)以后點(diǎn)以后 在在b b點(diǎn)之前，試件處于均勻的應(yīng)變點(diǎn)之前，試件處于均勻的應(yīng)變狀態(tài)，到達(dá)狀態(tài)，到達(dá)b b點(diǎn)之后，試件出現(xiàn)頸縮現(xiàn)點(diǎn)之后，試件出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，如果再繼續(xù)拉伸，則變形將集中在象，如果再繼續(xù)拉伸，則變形將集中在頸縮區(qū)進(jìn)行，最后試件將被拉斷。頸縮區(qū)進(jìn)行，最后試件將被拉斷。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系7 二、沒有明顯屈服階段的材料的拉伸實驗（圖二、沒有明顯屈服階段的材料的拉伸實驗（圖3- -2） 如：中碳鋼、高碳鋼、黃銅，對于沒有明顯屈服階段的如：中碳鋼、高

8、碳鋼、黃銅，對于沒有明顯屈服階段的材料，通常以產(chǎn)生材料，通常以產(chǎn)生0.2%的的塑性應(yīng)變時所對應(yīng)的應(yīng)力塑性應(yīng)變時所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為作為屈服極限，并稱為名名義屈服極限義屈服極限用用 表示。表示。2 . 02022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系8三、包辛格三、包辛格 效應(yīng)效應(yīng)：見圖：見圖3-3。 )(rBaisehinge 若自點(diǎn)若自點(diǎn) 繼續(xù)卸載（即繼續(xù)卸載（即壓縮），則反向加載時屈服壓縮），則反向加載時屈服極限極限 不僅比不僅比 小，而且還小，而且還比初始屈服極限比初始屈服極限 小，這里小，這里的的 是自點(diǎn)是自點(diǎn) 點(diǎn)拉伸到屈服點(diǎn)拉伸到屈服時

9、的屈服極限，時的屈服極限，這種具有強(qiáng)這種具有強(qiáng)化性質(zhì)的材料隨著塑性變形化性質(zhì)的材料隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方的增加，屈服極限在一個方向上提高，而在相反方向降向上提高，而在相反方向降低的效應(yīng)低的效應(yīng)稱為稱為包辛格反應(yīng)包辛格反應(yīng)。OssOss 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系9 一般認(rèn)為一般認(rèn)為“包辛格效應(yīng)包辛格效應(yīng)”是由多晶材料晶界間的殘余應(yīng)是由多晶材料晶界間的殘余應(yīng)力引起的。力引起的。 “包辛格效應(yīng)包辛格效應(yīng)”使材料具有各向異性性質(zhì)使材料具有各向異性性質(zhì)。 理想包辛格效應(yīng)理想包辛格效應(yīng)：若一個方向屈服極限提高的數(shù)值和相：若一個方向屈服

10、極限提高的數(shù)值和相反方向屈服極限降低的數(shù)值相等，則稱為理想包辛格效應(yīng)。反方向屈服極限降低的數(shù)值相等，則稱為理想包辛格效應(yīng)。 包辛格效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜包辛格效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，因而在塑性力學(xué)中，因而在塑性力學(xué)中，對這一效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述經(jīng)常要進(jìn)行相應(yīng)的簡化。對這一效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述經(jīng)常要進(jìn)行相應(yīng)的簡化。 四、名義應(yīng)力與真實應(yīng)力四、名義應(yīng)力與真實應(yīng)力 在一般的拉伸實驗中，設(shè)在一般的拉伸實驗中，設(shè) 為初始截面積，為初始截面積，P為外載，為外載，則有：則有： 0A0/ AP名義應(yīng)力：名義應(yīng)力： 若試件標(biāo)距長度為若試件標(biāo)距長度為 ，伸長為，伸長為 ，則有：，則有： 0ll2022-5-24周書敬第三章第

11、三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系10名義應(yīng)變：名義應(yīng)變： 0/ll 這里的這里的 并不是試件截面上的真實應(yīng)力，這是因為在并不是試件截面上的真實應(yīng)力，這是因為在拉伸過程中，試件截面是逐漸縮小的。這種現(xiàn)象在應(yīng)力到達(dá)拉伸過程中，試件截面是逐漸縮小的。這種現(xiàn)象在應(yīng)力到達(dá) b b點(diǎn)之前，往往可以認(rèn)為對應(yīng)力應(yīng)變曲線的精度影響不大。點(diǎn)之前，往往可以認(rèn)為對應(yīng)力應(yīng)變曲線的精度影響不大。但過了但過了b b點(diǎn)之后，試件發(fā)生頸縮，截面面積的較大變化對于點(diǎn)之后，試件發(fā)生頸縮，截面面積的較大變化對于應(yīng)力的計算將有明顯的影響。應(yīng)力的計算將有明顯的影響。 若試件截面上的若試件截面上的真實應(yīng)力真實應(yīng)力用用 表

12、示，表示，A為某一瞬間試件為某一瞬間試件的實際截面積，則應(yīng)有：的實際截面積，則應(yīng)有： T由于由于 ，所以有，所以有 。 0ATAPT/（32） 真實應(yīng)力：真實應(yīng)力：2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系11根據(jù)體積不可壓縮假設(shè)，應(yīng)有：根據(jù)體積不可壓縮假設(shè)，應(yīng)有： AllA00（33） lAlA/00（34）)1 ()1 ()(000000lllllAPlAPlT（35） 由（由（3-5）式很容易由）式很容易由應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變曲線力應(yīng)變曲線得到得到真實應(yīng)力應(yīng)變真實應(yīng)力應(yīng)變曲線曲線（圖（圖3-4）。）。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)

13、系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系122022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系13 五、壓縮實驗五、壓縮實驗 關(guān)于通過壓縮試驗，獲得塑性變形時的真實的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)于通過壓縮試驗，獲得塑性變形時的真實的應(yīng)力應(yīng)變曲線的過程，見書曲線的過程，見書P7780。 )1 (0APAPT（36）0/1HH2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系14 對于不同的材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，其本構(gòu)方程是完對于不同的材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，其本構(gòu)方程是完全不同的全不同的 ，特別是對于塑性力學(xué)問題其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非，特別是對于塑性力學(xué)問題其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

14、為非線性，疊加原理不能應(yīng)用，而且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還和變形的線性，疊加原理不能應(yīng)用，而且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還和變形的歷史有關(guān)。歷史有關(guān)。 根據(jù)不同材料簡單拉壓試驗，提出以下幾種不同的根據(jù)不同材料簡單拉壓試驗，提出以下幾種不同的簡簡化力學(xué)模型化力學(xué)模型（本構(gòu)方程），（本構(gòu)方程），在第在第0章已給出過章已給出過，在此給出在此給出具體分析。具體分析。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系15 在彈性變形階段，把應(yīng)力與應(yīng)變之間看成是一種在彈性變形階段，把應(yīng)力與應(yīng)變之間看成是一種線性關(guān)線性關(guān)系系。 1、理想彈性塑性、理想彈性塑性（材料）（材料）模模型型（見圖（見圖a） s

15、sEEss（39） 當(dāng)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，若不當(dāng)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，若不考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)，則可得到理考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)，則可得到理想彈塑性模型想彈塑性模型。這里的強(qiáng)化指的是。這里的強(qiáng)化指的是當(dāng)材料在經(jīng)過塑性形變后，于第二當(dāng)材料在經(jīng)過塑性形變后，于第二次加載時的彈性極限提高了。次加載時的彈性極限提高了。sso（a）理想彈塑性模型2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系16 分析式（分析式（3-9），該式中只包含了材料常數(shù)），該式中只包含了材料常數(shù) 和和 ，故，故不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征；又由于在不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征；又由于在 處解處解析

16、表達(dá)式有變化，給具體計算帶來一定困難。析表達(dá)式有變化，給具體計算帶來一定困難。 該力學(xué)模型抓住了該力學(xué)模型抓住了韌性材料韌性材料的主要特征，因而與實際的主要特征，因而與實際情況符合得較好。情況符合得較好。Ess2、( (雙雙) )線性強(qiáng)化彈塑性模型（圖線性強(qiáng)化彈塑性模型（圖b b） 當(dāng)當(dāng)考慮材料強(qiáng)化性質(zhì)考慮材料強(qiáng)化性質(zhì)時，可采用時，可采用該模型。該模型。 其其解析表達(dá)式解析表達(dá)式為（為（3-10）sso（b）線性強(qiáng)化彈塑性模型AB)(1ssEEss（3-10）2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系17 具有這種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的材料，稱為具有這種應(yīng)力應(yīng)變

17、關(guān)系的材料，稱為彈塑性線性強(qiáng)化材彈塑性線性強(qiáng)化材料料。這種近似的力學(xué)模型對某些材料是足夠精確的。這種近似的力學(xué)模型對某些材料是足夠精確的。 如果如果AB的斜率足夠小的斜率足夠小，則作為，則作為理想彈塑性體理想彈塑性體考慮并不致考慮并不致于產(chǎn)生很大的誤差于產(chǎn)生很大的誤差,但計算卻可大為簡化。但計算卻可大為簡化。 如果如果AB的斜率大到不能忽略時，的斜率大到不能忽略時，則應(yīng)按式（則應(yīng)按式（3-10）進(jìn)行）進(jìn)行計算。計算。 這個模型和理想彈塑性模型雖然相差不大，但具體計算這個模型和理想彈塑性模型雖然相差不大，但具體計算卻要復(fù)雜的多。卻要復(fù)雜的多。 為了避免解析式在為了避免解析式在 處的變化，有時可采

18、用處的變化，有時可采用冪強(qiáng)化冪強(qiáng)化力學(xué)模型力學(xué)模型。（見圖。（見圖c）s2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系183、冪強(qiáng)化（效應(yīng)）力學(xué)模型、冪強(qiáng)化（效應(yīng)）力學(xué)模型10nAn01nAnA（3- -11） 上式所代表的曲線在上式所代表的曲線在 處與處與 軸相切，而且有：軸相切，而且有：0 當(dāng)當(dāng) 時，為理想彈性模型；時，為理想彈性模型； 1n當(dāng)當(dāng) 時，為理想剛塑性模型時，為理想剛塑性模型( (圖圖c c) )； 0n當(dāng)當(dāng) 時，沒有線彈性階段。時，沒有線彈性階段。 10 nsos（c）理想剛塑性模型卸載線卸載線2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑

19、性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系19 在許多實際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小的多，在許多實際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小的多，因而可以忽略彈性應(yīng)變，這時采用冪強(qiáng)化模型較合適。因而可以忽略彈性應(yīng)變，這時采用冪強(qiáng)化模型較合適。 對于對于“剛塑性力學(xué)模型剛塑性力學(xué)模型” ，其假設(shè)為：在應(yīng)力達(dá)到屈服，其假設(shè)為：在應(yīng)力達(dá)到屈服極限之前應(yīng)變?yōu)榱恪O限之前應(yīng)變?yōu)榱恪?具有線性強(qiáng)化性質(zhì)的剛塑性力學(xué)模型（見圖具有線性強(qiáng)化性質(zhì)的剛塑性力學(xué)模型（見圖d）,其卸載其卸載線也是平行于線也是平行于 軸的。軸的。 （d）線性強(qiáng)化剛塑性模型)(1ssEso卸載線卸載線E1為該線的斜率。為該線的斜率。2022-5-

20、24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系204、強(qiáng)化后卸載，再進(jìn)行反向加載的模型、強(qiáng)化后卸載，再進(jìn)行反向加載的模型 （1）等向（各向同性）強(qiáng)化模型）等向（各向同性）強(qiáng)化模型 ks 這種模型表示材料當(dāng)由于拉伸這種模型表示材料當(dāng)由于拉伸而提高了反向屈服應(yīng)力，且反向屈而提高了反向屈服應(yīng)力，且反向屈服應(yīng)力得到同樣大的提高。服應(yīng)力得到同樣大的提高。 so等向（各向同性）強(qiáng)化模型等向（各向同性）強(qiáng)化模型 （2）隨動強(qiáng)化模型）隨動強(qiáng)化模型 sos隨動強(qiáng)化模型隨動強(qiáng)化模型 符合理想包辛格效應(yīng)的情況，即符合理想包辛格效應(yīng)的情況，即若一個方向屈服極限提高的數(shù)值和反若一個方向屈服極限提高

21、的數(shù)值和反向屈服極限降低的數(shù)值相等。向屈服極限降低的數(shù)值相等。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系21 在塑性成形理論中的多數(shù)情況下，塑性應(yīng)變一般都比彈在塑性成形理論中的多數(shù)情況下，塑性應(yīng)變一般都比彈性應(yīng)變大得多，所以忽略彈性應(yīng)變而只考慮塑性應(yīng)變是合理性應(yīng)變大得多，所以忽略彈性應(yīng)變而只考慮塑性應(yīng)變是合理的，對總體的計算結(jié)果影響不大。采用剛塑性模型給數(shù)學(xué)計的，對總體的計算結(jié)果影響不大。采用剛塑性模型給數(shù)學(xué)計算帶來較大的簡化，是許多復(fù)雜問題能獲得完整的解析表達(dá)算帶來較大的簡化，是許多復(fù)雜問題能獲得完整的解析表達(dá)式。應(yīng)用比較廣泛的力學(xué)模型是：式。應(yīng)用比

22、較廣泛的力學(xué)模型是：理想彈塑性力學(xué)模型理想彈塑性力學(xué)模型，冪冪強(qiáng)化力學(xué)模型強(qiáng)化力學(xué)模型，理想剛塑性力學(xué)模型理想剛塑性力學(xué)模型。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系22dGeneralize(sHook)Law 這里研究的是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性本構(gòu)方程。這里研究的是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性本構(gòu)方程。 對各向同性均勻材料，其廣義胡克定律為：對各向同性均勻材料，其廣義胡克定律為： )(1)(1)(1xyzzzxyyzyxxEEEGGGzxzxyzyzxyxy（31）（書：（書：313） 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)

23、力應(yīng)變關(guān)系23其中，其中，E為彈性模量（為彈性模量（modulus of elasticity） 為泊松比為泊松比( (Poissons ratio) ) G為剪切彈性模量為剪切彈性模量( (Shear modulus of elasticity) ) )1 (2EG （32） 將式將式（31）的的 前三式相加后，則有前三式相加后，則有:)(21)(2)(1zyxzyxzyxzyxEE三個三個(工程彈工程彈性性)常數(shù)中常數(shù)中,實實際上獨(dú)立的只際上獨(dú)立的只有兩個。有兩個。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系24而：而： 003,3zyxzyx則有：則

24、有： E21 （33） 或：或： 0021E （34）（）（書：書：314） 上式表明，體積應(yīng)變與三個主應(yīng)力之和成正比。引入上上式表明，體積應(yīng)變與三個主應(yīng)力之和成正比。引入上式則廣義胡克定律又可寫為：式則廣義胡克定律又可寫為： zzyyxxEEE)1 (1)1 (1)1 (1zxzxyzyzxyxyGGG111（34）（）（書：書：314）2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系25由式（由式（34）和（）和（35）可以得出：）可以得出： )(1213)1 (121)1 (100000 xxxxEEEEE即得應(yīng)變偏量分量即得應(yīng)變偏量分量 與應(yīng)力偏量分量

25、與應(yīng)力偏量分量 的關(guān)系式的關(guān)系式 xexSxxxSGSEe211式中，式中， ， 。 0 xxe0 xxS 同理可得：應(yīng)變偏量分量同理可得：應(yīng)變偏量分量 和和 ， 即有（即有（36）（書：）（書：316）：）： yeze2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系26zzzyyyxxxSGSEeSGSEeSGSEe211211211（36） （書：（書：316） 由式（由式（35）和（）和（36）可知：在彈性階段中有：）可知：在彈性階段中有： GSeSeSezxzxyzyzxyxyzzyyxx21222用主應(yīng)力偏量和主應(yīng)變偏量表示時，則有：用主應(yīng)力偏量和主

26、應(yīng)變偏量表示時，則有： GSeSeSe213322112022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系27由此可得：由此可得： GSSeeSSeeSSee21131332322121此式可用下式表示：此式可用下式表示： G21131332322121（37）（書：）（書：317） （37）式說明：）式說明：在彈性變形階段，應(yīng)力莫爾圓與應(yīng)變莫爾在彈性變形階段，應(yīng)力莫爾圓與應(yīng)變莫爾圓是成比例的。圓是成比例的。 根據(jù)代數(shù)運(yùn)算規(guī)則根據(jù)代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 FEDCBAFEDBCA由（由（37）式可得出：）式可得出：2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈

27、性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系28131323123122或或 313131231222因此可得：因此可得： )6(3tg)6(3tg 由此可見：在彈性階段由于應(yīng)力莫爾圓與應(yīng)變莫爾圓相似，由此可見：在彈性階段由于應(yīng)力莫爾圓與應(yīng)變莫爾圓相似，所以有以下結(jié)論：所以有以下結(jié)論： 應(yīng)力與應(yīng)變洛德參數(shù)相等：應(yīng)力與應(yīng)變洛德參數(shù)相等： ； 應(yīng)力與應(yīng)變型式指數(shù)相等：應(yīng)力與應(yīng)變型式指數(shù)相等： ； 應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合；應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合； 各應(yīng)力分量與相應(yīng)的應(yīng)變分量的比值相同。各應(yīng)力分量與相應(yīng)的應(yīng)變分量的比值相同。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系29 上面的上面的

28、廣義胡克定律廣義胡克定律是用是用應(yīng)力來表示應(yīng)變應(yīng)力來表示應(yīng)變的，下面給出用的，下面給出用應(yīng)變來表示應(yīng)力應(yīng)變來表示應(yīng)力的的的的廣義胡克定律廣義胡克定律： 由廣義胡克定律的第一式可得到：由廣義胡克定律的第一式可得到：)21()1(1)(1zxzyxxxxEEE由此可得到：由此可得到： )21)(1 (1EExx引入拉梅常數(shù)（引入拉梅常數(shù)（Lame Contants）：）： )21)(1 (E2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系30并利用并利用 可得：可得： 12EGxxG2用相同的方法可求出其它各量，即有式（用相同的方法可求出其它各量，即有式（3- -

29、8）同樣若用平均應(yīng)變表示平均應(yīng)力時，有：式（同樣若用平均應(yīng)變表示平均應(yīng)力時，有：式（3- -9） zzyyxxGGG222zxzxyzyzxyxyGGG（38） （書：（書：318）kGE3)23()21 (（39） （書：（書：3192022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系31其中其中K 稱為體積彈性模量（稱為體積彈性模量（bulk moculus of elasticity） )21 (3EKK0（3-9）式可寫為：）式可寫為： 該式反應(yīng)了體積應(yīng)變與平均應(yīng)力之間的關(guān)系，稱為體積應(yīng)變的胡克定律。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變

30、關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系32 塑性力學(xué)塑性力學(xué)：研究塑性變形和作用力之間的關(guān)系以及在塑研究塑性變形和作用力之間的關(guān)系以及在塑性變形后物體內(nèi)部應(yīng)力分布規(guī)律的學(xué)科性變形后物體內(nèi)部應(yīng)力分布規(guī)律的學(xué)科。 一、一、塑性力學(xué)問題的幾個特點(diǎn)：塑性力學(xué)問題的幾個特點(diǎn)： 88P （1）應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）是非線性的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）是非線性的，其非線性性質(zhì)與具體材料有關(guān)；（其非線性性質(zhì)與具體材料有關(guān)；（本構(gòu)關(guān)系是非線性的本構(gòu)關(guān)系是非線性的） （2）應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一一對應(yīng)關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一一對應(yīng)關(guān)系，它與加載歷史，它與加載歷史有關(guān)；有關(guān)； 2022-5-24周書敬第三章第三章

31、 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系33 （3）在變形體中有彈性變形區(qū)和塑性變形區(qū)在變形體中有彈性變形區(qū)和塑性變形區(qū)，而在求，而在求解問題時需要找出彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線；解問題時需要找出彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線； （4）在分析問題時，需要區(qū)分是加載過程還是卸載過在分析問題時，需要區(qū)分是加載過程還是卸載過程程，在塑性區(qū)，當(dāng)加載時要使用塑性本構(gòu)關(guān)系，而卸載時，在塑性區(qū)，當(dāng)加載時要使用塑性本構(gòu)關(guān)系，而卸載時，要使用廣義胡克定律。要使用廣義胡克定律。 從這里我們可以看出從這里我們可以看出對彈塑性力學(xué)問題，如何判斷材料對彈塑性力學(xué)問題，如何判斷材料是處于彈性階段還是處于塑性階段是一個很重要的問

32、題是處于彈性階段還是處于塑性階段是一個很重要的問題。這。這個判別準(zhǔn)則稱為個判別準(zhǔn)則稱為屈服條件屈服條件或或塑性條件塑性條件。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系34 二、屈服條件二、屈服條件（塑性條件塑性條件） 1、在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，問題很容易解決，即當(dāng)應(yīng)力在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，問題很容易解決，即當(dāng)應(yīng)力小于屈服極限時，材料處于彈性狀態(tài)；應(yīng)力等于屈服極限小于屈服極限時，材料處于彈性狀態(tài)；應(yīng)力等于屈服極限時，便認(rèn)為材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。時，便認(rèn)為材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。 2、在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，問題就不這么簡單了。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，問題就不這么簡單了。因為因為我們知

33、道一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是由六個應(yīng)力分量確定的，因而我們知道一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是由六個應(yīng)力分量確定的，因而不能選取某個應(yīng)力分量的數(shù)值作為判斷材料是否進(jìn)入了塑不能選取某個應(yīng)力分量的數(shù)值作為判斷材料是否進(jìn)入了塑性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，而是應(yīng)該，而是應(yīng)該考慮所有這些應(yīng)力分量對材料進(jìn)考慮所有這些應(yīng)力分量對材料進(jìn)入塑性狀態(tài)時的影響入塑性狀態(tài)時的影響。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系35即：受力物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)處于多向應(yīng)力狀態(tài)時，必須同時考慮所有的應(yīng)力分量。在一定的變形條件（變形溫度、變形速度等）下，只有當(dāng)各應(yīng)力分量之間符合一定關(guān)系時，質(zhì)點(diǎn)才開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，這種關(guān)系稱

34、為屈服準(zhǔn)則，也稱塑性條件。 它是描述受力物體中不同應(yīng)力狀態(tài)下的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入塑性狀態(tài)并使塑性變形繼續(xù)進(jìn)行所必須遵守的力學(xué)條件，這種力學(xué)條件一般可表示為：Cfij)(又稱為屈服函數(shù)，式中 C 是與材料性質(zhì)有關(guān)而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)的常數(shù)，可通過試驗求得。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系36 3、有關(guān)材料性質(zhì)的一些基本概念（回憶） （1）理想彈性材料 物體發(fā)生彈性變形時，應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，并可假定它從彈性變形過渡到塑性變形是突然的。 （2）理想塑性材料（又稱全塑性材料） 材料發(fā)生塑性變形時不產(chǎn)生硬化的材料，這種材料在進(jìn)入塑性狀態(tài)之后，應(yīng)力不再增加，也

35、即在中性載荷時即可連續(xù)產(chǎn)生塑性變形。 （3）彈塑性材料 在研究材料塑性變形時，需要考慮塑性變形之前的彈性變形的材料這里可分兩種情況： 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系37 a. 理想彈塑性材料 在塑性變形時，需要考慮塑性變形之前的彈性變形，而不考慮硬化的材料，也即材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，應(yīng)力不再增加可連續(xù)產(chǎn)生塑性變形。 b. 彈塑性硬化材料 在塑性變形時，既要考慮塑性變形之前的彈性變形，又要考慮加工硬化的材料，這種材料在進(jìn)入塑性狀態(tài)后，如應(yīng)力保持不變，則不能進(jìn)一步變形。只有在應(yīng)力不斷增加，也即在加載條件下才能連續(xù)產(chǎn)生塑性變形。 4、剛塑性材料 在研

36、究塑性變形時不考慮塑性變形之前的彈性變形。 這2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系38又可分兩種情況： a. 理想剛塑性材料 在研究塑性變形時，既不考慮彈性變形，又不考慮變形過程中的加工硬化的材料。 b. 剛塑性硬化材料 在研究塑性變形時，不考慮塑性變形之前的彈性變形，但需要考慮變形過程中的加工硬化材料。 下面是幾種真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線及其某些簡化形式：2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系39真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線 及其某些簡化形式a）實際金屬材料（-有物理屈服點(diǎn) -無明顯物理屈服點(diǎn)）b）理想彈塑性 c）理想

37、剛塑性 d）彈塑性硬化 e）剛塑性硬化 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系40 為討論方便，在此引入為討論方便，在此引入應(yīng)力空間應(yīng)力空間的概念，的概念，所謂所謂應(yīng)力空間應(yīng)力空間就是以應(yīng)力為坐標(biāo)軸的空間就是以應(yīng)力為坐標(biāo)軸的空間。顯然。顯然應(yīng)力空間是一個應(yīng)力空間是一個六維空間六維空間，空間中的每一個點(diǎn)都代表一個應(yīng)力狀態(tài)空間中的每一個點(diǎn)都代表一個應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力的變化在應(yīng)力，應(yīng)力的變化在應(yīng)力空間中將會給出一條曲線，稱為空間中將會給出一條曲線，稱為應(yīng)力路徑應(yīng)力路徑，根據(jù)不同應(yīng)力路，根據(jù)不同應(yīng)力路徑所進(jìn)行的實驗，可以定出徑所進(jìn)行的實驗，可以定出從彈性階段進(jìn)入

38、塑性階段的各個從彈性階段進(jìn)入塑性階段的各個界限界限，即，即屈服點(diǎn)屈服點(diǎn)。把這些點(diǎn)連接起來就形成了一個曲面（超。把這些點(diǎn)連接起來就形成了一個曲面（超曲面）稱為曲面）稱為屈服面屈服面，而，而描述這個描述這個屈服面屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為稱為屈屈服函數(shù)服函數(shù)或或屈服條件屈服條件。記為：。記為： 0)(ijf（310） 0),(zxyzxyzyxf2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系41 通常認(rèn)為應(yīng)力分量依賴于坐標(biāo)軸，而依據(jù)各向同性材料通常認(rèn)為應(yīng)力分量依賴于坐標(biāo)軸，而依據(jù)各向同性材料假設(shè)，屈服條件應(yīng)與坐標(biāo)軸無關(guān)假設(shè)，屈服條件應(yīng)與坐標(biāo)軸無關(guān)。 對于

39、各向同性材料，對于各向同性材料，屈服屈服條件不應(yīng)與坐標(biāo)軸的選取有關(guān)條件不應(yīng)與坐標(biāo)軸的選取有關(guān)，因此屈服條件可以在，因此屈服條件可以在主應(yīng)力主應(yīng)力空間空間中表示為：中表示為： 0),(321f（311） 0)(ijf0)(ijf0)(ijf當(dāng)當(dāng) 時，彈性階段；時，彈性階段；當(dāng)當(dāng) 時，屈服，開始產(chǎn)生塑性變形；時，屈服，開始產(chǎn)生塑性變形； 不存在。不存在。 在應(yīng)力（應(yīng)變）分析中，我們知道主應(yīng)力或應(yīng)力張量與在應(yīng)力（應(yīng)變）分析中，我們知道主應(yīng)力或應(yīng)力張量與坐標(biāo)軸無關(guān)，因此可用主應(yīng)力或應(yīng)力張量不變量為屈服函數(shù)坐標(biāo)軸無關(guān)，因此可用主應(yīng)力或應(yīng)力張量不變量為屈服函數(shù)的參變量。即有：的參變量。即有：2022-5-

40、24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系420),(321f又由于靜水壓力又由于靜水壓力 只引起只引起彈性體體積的變化彈性體體積的變化，而不影響材料，而不影響材料的塑性變形的假設(shè)，可知屈服條件只是應(yīng)力偏量的函數(shù)，即：的塑性變形的假設(shè)，可知屈服條件只是應(yīng)力偏量的函數(shù)，即： 00),(32, 1sssf（312） 在應(yīng)力空間中，過原點(diǎn)在應(yīng)力空間中，過原點(diǎn)O作等傾面作等傾面 ，稱為稱為 平面，過原點(diǎn)平面，過原點(diǎn)O作作 平面的法線，稱為等傾線平面的法線，稱為等傾線，則有，則有如下結(jié)論：如下結(jié)論： 0321 在主應(yīng)力空間中，屈服面是以等傾線為軸線，以在主應(yīng)力空間中，屈服面是以

41、等傾線為軸線，以 平面上平面上的屈服曲線為截面形狀的一個與坐標(biāo)軸等傾斜的柱體的表面的屈服曲線為截面形狀的一個與坐標(biāo)軸等傾斜的柱體的表面。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系43下面給出兩種下面給出兩種重要的屈服條件重要的屈服條件： 特雷斯卡（H.Tresca）屈服條件和米澤斯（Von.Mises ）屈服條件。解釋解釋：屈服面屈服面：屈服條件的幾何表示就是屈服面。：屈服條件的幾何表示就是屈服面。 平面平面：在主應(yīng)力空間中，與三個坐標(biāo)軸成相等傾角的：在主應(yīng)力空間中，與三個坐標(biāo)軸成相等傾角的直線稱為直線稱為 線，線上各點(diǎn)與靜水應(yīng)力相等，線，線上各點(diǎn)與靜

42、水應(yīng)力相等， ，方向余弦方向余弦 ，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與 線正交的平線正交的平面稱為面稱為 平面平面。其方程為：。其方程為： 。 平面平面上的各點(diǎn)代表應(yīng)力球形張量的偏斜應(yīng)力狀態(tài)。上的各點(diǎn)代表應(yīng)力球形張量的偏斜應(yīng)力狀態(tài)。 032131nml03212022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系44 三、特雷斯卡三、特雷斯卡（H.Tresca）屈服條件屈服條件)(1864) 特雷斯卡從觀察金屬擠壓實驗的結(jié)果提出以下假設(shè)：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。 即：當(dāng)受力物體（質(zhì)點(diǎn)）中的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時，該物體就發(fā)生屈服。 或者說

43、，材料處于塑性狀態(tài)時，其最大剪應(yīng)力是一不變的定值（正值），該定值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。所以又稱最大剪應(yīng)力不變條件。 特雷斯卡屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： kmax（313） k材料屈服時的最大剪應(yīng)力值，也稱剪切屈服強(qiáng)度。 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系45 若已知主應(yīng)力次序若已知主應(yīng)力次序 ，則屈服條件可寫為，則屈服條件可寫為: 321k231（314）（書：）（書：320） )(2131max 為了確定材料常數(shù)為了確定材料常數(shù) ，一般可以通過單向拉伸試驗確定，一般可以通過單向拉伸試驗確定，設(shè)材料的屈服應(yīng)力為設(shè)材料的屈

44、服應(yīng)力為 ，則有：，則有： ks0,321s代入（代入（314）式得：）式得：2sk或或 3sk（315）純剪切條件下的屈服條件是：純剪切條件下的屈服條件是：ss312022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系46 一般情況下，一般情況下，若主應(yīng)力次序未知若主應(yīng)力次序未知，則屈服條件可表示為：，則屈服條件可表示為： ssskkk222133221（316）（書：）（書：321） 【或者說（或者說（316）式中，）式中，至少有一個等式成立時，材料才開至少有一個等式成立時，材料才開始進(jìn)入塑性變形，否則仍處于彈性階段始進(jìn)入塑性變形，否則仍處于彈性階段。因為。因為

45、 ，當(dāng)然三，當(dāng)然三個式子不能同時取等號個式子不能同時取等號】 左邊為主應(yīng)力之差，故又稱主應(yīng)力差不變條件。式中三個式子只要滿足一個，該點(diǎn)即進(jìn)入塑性狀態(tài)。 0k 這個條件說明這個條件說明中間主應(yīng)力和平均應(yīng)力不影響材料的屈服中間主應(yīng)力和平均應(yīng)力不影響材料的屈服。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系47 顯然，在主應(yīng)力已知的情況下，用特雷斯卡屈服條件是比較方便的，其特點(diǎn)是：不受中間應(yīng)力 的影響，且屈服函數(shù)是線性的，但當(dāng)主應(yīng)力次序未知時，則使用起來將有一定的困難。2 若將若將 三三個坐標(biāo)軸投影到該坐標(biāo)系個坐標(biāo)軸投影到該坐標(biāo)系的等傾面上，（的等傾面上，（316

46、）式的幾何表示是一個正六式的幾何表示是一個正六邊圖形（圖邊圖形（圖312a）。）。 321，當(dāng)當(dāng) 時，（時，（316）式成為（）式成為（317）（書：）（書：322）即：）即： 032022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系48kkk2222112（317）（書：（書：322） 式（式（317）的）的幾何表示幾何表示如圖（如圖（312b）。）。 四、四、米澤斯米澤斯 屈服條件屈服條件（近似的）（近似的） 與與Tresca屈服條件的區(qū)別見圖屈服條件的區(qū)別見圖312。 提出了下述統(tǒng)一函數(shù)表達(dá)式的屈服條件：提出了下述統(tǒng)一函數(shù)表達(dá)式的屈服條件： MisesMis

47、es22132322212)()()(R（318）（書：（書：323） 這時：平面應(yīng)力這時：平面應(yīng)力狀態(tài)為一個橢圓狀態(tài)為一個橢圓2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系49或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?22222222)(6)()()(Rzxyzxyxzzyyx（319） 其中，常數(shù)其中，常數(shù)R可以用單向拉伸試驗確定為：可以用單向拉伸試驗確定為：sR 說明：說明：Mises屈服條件在屈服條件在 應(yīng)力空間上是一個垂應(yīng)力空間上是一個垂直于直于 平面的圓柱面，在平面的圓柱面，在 平面上的截跡是一個圓，圓連接平面上的截跡是一個圓，圓連接實驗點(diǎn)比直線連接更為合理。實驗點(diǎn)比直

48、線連接更為合理。321, 屈服條件的兩種解釋屈服條件的兩種解釋： （1）亨奇亨奇 解釋解釋(1924年年) 彈性形變比能（歪形能）達(dá)到一定值時，材料進(jìn)入塑性彈性形變比能（歪形能）達(dá)到一定值時，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)狀態(tài)。Mises)Hencky(2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系50dvWdvWvzyzyxzxzxyxyzzyyvxx0)(21其中，其中， )(210zyzyxzxzxyxyzzyyxxW為：為：單位體積的應(yīng)變能單位體積的應(yīng)變能，或稱為，或稱為彈性應(yīng)變比能彈性應(yīng)變比能。 彈性應(yīng)變能（彈性總比能）：彈性應(yīng)變能（彈性總比能）：外力對彈性體作

49、的功，將外力對彈性體作的功，將轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能。 亨奇認(rèn)為亨奇認(rèn)為Mises屈服條件相當(dāng)于：屈服條件相當(dāng)于： 彈性變形比能彈性變形比能=總應(yīng)變能總應(yīng)變能-體積變化比能體積變化比能 )(21)(210oii2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系51 書中用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示有：書中用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示有： )(221)(211332212322213322110EW 按前述：物體的變形可以分解為兩部分：按前述：物體的變形可以分解為兩部分：體積變化和形體積變化和形狀變化狀變化。因而應(yīng)變能也可以分解為相應(yīng)的兩部分：。因而應(yīng)變能也可以分解為相

50、應(yīng)的兩部分： dvWWW000其中，體積變化比能為：其中，體積變化比能為： 2321232120000)(621)(181223EKKWv【 ， ， 】 0021E)21 (3EK)(3132102022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系52彈性形變比能為：彈性形變比能為：213232221200)()()(12143GGWd)(6)()()(121222222zxyzxyxzzyyxG【 】 )()()(9121323222120 （歪形能歪形能）由于形狀變化所儲存在單位體積內(nèi)應(yīng)變能由于形狀變化所儲存在單位體積內(nèi)應(yīng)變能（彈性形變能彈性形變能）。）。 看

51、第二種解釋：看第二種解釋：納戴解釋納戴解釋dW02022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系53（2）納戴納戴 解釋解釋 “納戴納戴”（A.L.NadaiA.L.Nadai）認(rèn)為：當(dāng)正八面體等傾面上的剪）認(rèn)為：當(dāng)正八面體等傾面上的剪應(yīng)力應(yīng)力 達(dá)到一定值時材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。即達(dá)到一定值時材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。即 等傾面上的剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時，材料便進(jìn)入塑性狀等傾面上的剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。態(tài)。)Nadai(0)()()(9121323222120 值得注意的是值得注意的是：亨奇亨奇和和納戴納戴都沒有指出都沒有指出這一定值是多大這一定值是多大

52、。 后來蘇聯(lián)力學(xué)家后來蘇聯(lián)力學(xué)家伊柳辛伊柳辛 提出了提出了應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度 的的概念，概念，認(rèn)為當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度認(rèn)為當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度 等于材料單向拉伸的屈服極限等于材料單向拉伸的屈服極限 時，時，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。給出屈服條件為：。給出屈服條件為： )lyushenI (isi2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系54si使用比較方便，將復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下使用比較方便，將復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的的 與簡單拉伸屈服極限與簡單拉伸屈服極限 相聯(lián)系相聯(lián)系is212132322210)()()(2123i（320）（書：）（書：324） 若用若用應(yīng)力偏量表示應(yīng)力

53、強(qiáng)度應(yīng)力偏量表示應(yīng)力強(qiáng)度，則有：，則有： siSSS23222123（321）（書：）（書：324 ） 利用屈服條件和平衡方程聯(lián)立求解，經(jīng)?？梢垣@得某些利用屈服條件和平衡方程聯(lián)立求解，經(jīng)?？梢垣@得某些簡單問題的解。簡單問題的解。最 大 偏 應(yīng) 力 屈 服 條 件 ： 此 概 念 最 早 是 由最 大 偏 應(yīng) 力 屈 服 條 件 ： 此 概 念 最 早 是 由R.Schmidt 1932年提出的，我國學(xué)者俞茂宏用年提出的，我國學(xué)者俞茂宏用雙剪應(yīng)力的概念對上述屈服條件作了解釋說明。雙剪應(yīng)力的概念對上述屈服條件作了解釋說明。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)

54、變關(guān)系55五、屈服準(zhǔn)則的幾何描述 1、空間主應(yīng)力中的屈服平面 屈服表面 以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸可以構(gòu)成一個主應(yīng)力空間，屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式在主應(yīng)力空間中的幾何圖形是一個封閉的空間曲面。 在主應(yīng)力空間中，任一應(yīng)力點(diǎn)P(1,2,3 )可用矢量OP來表示。過坐標(biāo)原點(diǎn)O引等傾線ON ，其方向余弦31nml2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系562、米澤斯屈服表面：因矢量 OP = OM + MP，所以矢量的模： 22OMOPMP其中： 2322212OP線上任一點(diǎn)的三個坐標(biāo)分量均相等，即1 =2 =3 ，表示球應(yīng)力狀態(tài)。由P點(diǎn)引一直線PMON，則矢量OP可分解

55、為OM和MP，這時，OM表示應(yīng)力球張量部分，MP表示應(yīng)力偏張量部分。 而OM就是1、2、3在 ON 線上的投影之和，即32132131nmlOM2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系57由此可得： iMP32)()()(313121323222123212322212132322210)()()(2123i根據(jù)米塞斯屈服準(zhǔn)則，當(dāng) 時材料就屈服，故P點(diǎn)屈服時有： sisMP322022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系58因此，若以 M 為圓心， 為半徑，在垂直于 ON 線的平面上作圓，則該面上各點(diǎn)的應(yīng)力偏張量均

56、相等，即均為 ，所以圓上各點(diǎn)都進(jìn)入塑性狀態(tài)。由于靜水應(yīng)力（包括 OM ）不影響屈服，所以，以 ON 為軸線，以 為半徑作一圓柱s32s32s32面，則此圓柱面上的點(diǎn)都滿足Mises屈服準(zhǔn)則。這個圓柱面就是用主應(yīng)力表示的Mises屈服準(zhǔn)則公式在主應(yīng)力空間中的幾何表達(dá)。稱為主應(yīng)力空間中的Mises 屈服表面。主應(yīng)力空間中的屈服表面2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系59 3、特雷斯卡屈服表面 與Mises屈服表面類似，采用同樣的分析方法，特雷斯卡（Tresca）準(zhǔn)則的表達(dá)式，在主應(yīng)力空間中的幾何圖形是一個內(nèi)接于米澤斯（Mises）圓柱面的正六棱柱面。稱

57、為主應(yīng)力空間的Tresca 屈服表面，如上圖 。 由上圖可知，屈服表面的幾何意義是：若主應(yīng)力空間中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)P 位于屈服表面，則該端點(diǎn)處于塑性狀態(tài)；若P 點(diǎn)在屈服表面內(nèi)部， 則P 點(diǎn)處于彈性狀態(tài)。對于理想塑性材料，P 點(diǎn)不能在屈服表面之外。2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系60 4、兩向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服軌跡 屈服軌跡 兩向應(yīng)力狀態(tài)下屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式在主應(yīng)力坐標(biāo)平面上的幾何圖形是一個封閉的曲線。 兩個屈服軌跡有六個交點(diǎn)，說明在這六個交點(diǎn)上，兩個屈服準(zhǔn)則是一致的。其中與坐標(biāo)軸相交的四個點(diǎn)A（s，0）、E（0 ，s）、G（-s，0）、K（

58、0，-s）表示單向應(yīng)力狀態(tài)； 與橢圓長軸相交2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系61的二個點(diǎn) C（s，s）、I（-s，-s）為軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。在兩個屈服軌跡不相交的部份，米澤斯橢圓上的點(diǎn)均在特雷斯卡六邊形之外，表明按米澤斯屈服準(zhǔn)則需要較大的應(yīng)力才能使材料（質(zhì)點(diǎn)）屈服。兩個屈服準(zhǔn)則差別最大的有六個點(diǎn)（B、D、F、H、J、L）。它們的坐標(biāo)分別由 對1和2求極值得出。其中四個點(diǎn)： 2222121sD： ss3231，B： ss33，J：ss32,31H：ss31,322022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系62

59、既表示平面應(yīng)力狀態(tài)，又表示平面應(yīng)變狀態(tài)，因這四個點(diǎn)3 0（平面應(yīng)變）， 或 （平面應(yīng)變狀態(tài)）。（平面應(yīng)變狀態(tài)）。 另兩個點(diǎn)F： ， L： 屬純剪應(yīng)力狀態(tài)。這六個點(diǎn)上，兩個屈服準(zhǔn)則相差都是 15.5% 。 m221312m222321ss31,31ss31,312022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系63 5、屈服準(zhǔn)則的試驗驗證與比較 分析前提為主應(yīng)力方向是固定不變的，主應(yīng)力次序也給定，若123，則特雷斯卡屈服準(zhǔn)則可寫為131s為了將米塞斯屈服準(zhǔn)則寫成類似式的形式，羅德引入了參數(shù)（后稱此參數(shù)為羅德應(yīng)力參數(shù)）123 得米塞斯屈服準(zhǔn)則可寫為： 23132s2

60、022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系64羅德實驗資料：1米澤斯準(zhǔn)則 2特雷斯卡準(zhǔn)則 2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系65泰勒及奎乃實驗資料：1米澤斯準(zhǔn)則 2特雷斯卡準(zhǔn)則2022-5-24周書敬第三章第三章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系66對兩個屈服準(zhǔn)則作綜合比較： （1）多數(shù)金屬符合米塞斯屈服準(zhǔn)則。 （2）當(dāng)主應(yīng)力大小順序預(yù)知時，特雷斯卡屈服函數(shù)為線性的，使用方便，在工程計算常常采用。若用修正系數(shù)來考慮中間應(yīng)力的影響，則米澤斯屈服準(zhǔn)則可以寫成： s23132或表達(dá)為： s31式中， 中