第3章：離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)

1、第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3-1 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的離散化方法結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的離散化方法 離散化離散化將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為有限自由度系統(tǒng)將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為有限自由度系統(tǒng) 關(guān)鍵關(guān)鍵 ：合理考慮慣性力的作用，：合理考慮慣性力的作用， 合理選擇動(dòng)力自由度合理選擇動(dòng)力自由度3.1.1 質(zhì)量集中法質(zhì)量集中法 將分布質(zhì)量集中在有限個(gè)離散點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)之間通過(guò)一定的彈性連接。將分布質(zhì)量集中在有限個(gè)離散點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)之間通過(guò)一定的彈性連接。 (b)3m2m1m圖圖3.1.2 三層剪切框架及簡(jiǎn)化模型三層剪切框架及簡(jiǎn)化模

2、型(a)(1)(1) 只考慮豎向的慣性力，三個(gè)自由度；只考慮豎向的慣性力，三個(gè)自由度；(2)(2) 若考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，六個(gè)自由度；若考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，六個(gè)自由度；(3) (3) 再考慮水平位移，九個(gè)自由度。再考慮水平位移，九個(gè)自由度。圖圖3.1.1 三個(gè)自由度的集中質(zhì)量系統(tǒng)三個(gè)自由度的集中質(zhì)量系統(tǒng)x3( )y t2( )y t1( )y t1m2m3my( )F to3IF2IF1IFn =1 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法圖圖3.1.3 簡(jiǎn)支梁的離散化簡(jiǎn)支梁的離散化1m2m3m2m1m3 l2 l1 l )(2211211lmlmm ) 1 . 1 .

3、 3()(3322212 lmlmm 3.1.2 廣義位移法廣義位移法簡(jiǎn)支梁的廣義位移簡(jiǎn)支梁的廣義位移xly)2 . 1 . 3(sin)(),(1 nnlxntYtxyn =2 n =3 )3 . 1 . 3(3sin)(2sin)(sin)(),(321 lxtYlxtYlxtYtxy 三個(gè)廣義坐標(biāo)，近似為三自由度三個(gè)廣義坐標(biāo)，近似為三自由度 )(1tY)(2tY)(3tY推廣推廣: : 一維問(wèn)題一維問(wèn)題: : )4 . 1 . 3()()(),(1 NnnnxtYtxy二維問(wèn)題二維問(wèn)題: : )5 . 1 . 3(),()(),(11 MmNnmnmnyxtWtyxW 。),()( 應(yīng)滿(mǎn)

4、足幾何邊界條件應(yīng)滿(mǎn)足幾何邊界條件和和條件：條件：yxxmnn 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.1.3 有限單元法有限單元法數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想 : : 分片插值和變分原理分片插值和變分原理 應(yīng)用有限單元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力分析的基本步驟應(yīng)用有限單元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力分析的基本步驟 : : (1) (1) 單元?jiǎng)澐郑哼x擇合適的單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散；單元?jiǎng)澐郑哼x擇合適的單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散； (2) (2) 單元分析：計(jì)算單元的動(dòng)能和勢(shì)能及外力和阻尼單元分析：計(jì)算單元的動(dòng)能和勢(shì)能及外力和阻尼 力的功，應(yīng)用哈密頓原理建立單元的運(yùn)動(dòng)方程；力的功，應(yīng)用哈密頓原理建立

5、單元的運(yùn)動(dòng)方程； (3) (3) 單元集總：組裝所有的單元，形成整體運(yùn)動(dòng)方程；單元集總：組裝所有的單元，形成整體運(yùn)動(dòng)方程；(4) (4) 引入邊界條件，消除剛體位移，修改運(yùn)動(dòng)方程；引入邊界條件，消除剛體位移，修改運(yùn)動(dòng)方程； (5) (5) 解動(dòng)力方程，求固有頻率、固有振形及結(jié)點(diǎn)動(dòng)位移；解動(dòng)力方程，求固有頻率、固有振形及結(jié)點(diǎn)動(dòng)位移；(6) (6) 用插值公式求出各單元內(nèi)部各點(diǎn)的動(dòng)位移和動(dòng)應(yīng)力。用插值公式求出各單元內(nèi)部各點(diǎn)的動(dòng)位移和動(dòng)應(yīng)力。 )6 . 1 . 3()( tFxKxCxM F (t ) 等效激振力列陣。等效激振力列陣。 M M 質(zhì)量矩陣；質(zhì)量矩陣；C 阻尼矩陣；阻尼矩陣；K剛度矩陣；

6、剛度矩陣； 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3-2 質(zhì)量參數(shù)及其確定方法質(zhì)量參數(shù)及其確定方法 質(zhì)量參數(shù)與系統(tǒng)的動(dòng)能密切相關(guān)！質(zhì)量參數(shù)與系統(tǒng)的動(dòng)能密切相關(guān)！ 圖圖3.2.1 有集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁有集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁mM/2l/2l例例3.2.1 圖示等截面簡(jiǎn)支梁，設(shè)質(zhì)圖示等截面簡(jiǎn)支梁，設(shè)質(zhì)量塊在振動(dòng)過(guò)程中梁的撓曲線可用量塊在振動(dòng)過(guò)程中梁的撓曲線可用單個(gè)正弦波函數(shù)來(lái)表示，試計(jì)算系單個(gè)正弦波函數(shù)來(lái)表示，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能，并確定作為單自由度系統(tǒng)的等效質(zhì)量。統(tǒng)的動(dòng)能，并確定作為單自由度系統(tǒng)的等效質(zhì)量。 解：解： 梁撓曲線方程梁撓曲線方程 ： ) 1 . 2 . 3

7、(/sin)(),( lxtYtxyY(t )是質(zhì)量塊的豎向是質(zhì)量塊的豎向位移，為廣義坐標(biāo)。位移，為廣義坐標(biāo)。 系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能 ： ldxtymtYMT 02221)(21(t)Y dxl x mMl202sin21 )2 . 2 . 3()(21212 tY lmMT等效質(zhì)量等效質(zhì)量 ： ) 3 . 2 . 3(2121 mMlmMMeq)(1tY 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法例例3.2.2 考察例考察例3.2.1中的簡(jiǎn)支梁，假設(shè)梁的撓曲線可用三個(gè)正弦中的簡(jiǎn)支梁，假設(shè)梁的撓曲線可用三個(gè)正弦波的和來(lái)表示，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能，并確定系統(tǒng)的質(zhì)量參

8、數(shù)。波的和來(lái)表示，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能，并確定系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)。 解：解： 梁撓曲線方程梁撓曲線方程 ： )4 . 2 . 3(3sin)(2sin)(sin)(),(321 lxtYlxtYlxtYtxy系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能 ： )5 . 2 . 3(21212022/ dxtymtyMTllx將式將式(3.2.4)代入式代入式(3.2.5)，并利用正弦函數(shù)的正交性，得，并利用正弦函數(shù)的正交性，得 )6 . 2 . 3(22322214123312121 YYYmYYYYMT矩陣形式矩陣形式 ：)7 . 2 . 3(000021321212121321 TYYYmMMmMmMYYYT 第第3章章

9、離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣 ： )7 . 2 . 3(0000212121 mMMmMmMM多自由度離散系統(tǒng)動(dòng)能的一般表達(dá)式多自由度離散系統(tǒng)動(dòng)能的一般表達(dá)式 : : nknllklkqqmT1121 )23. 2 . 1 (31 liNikiikllkqxqxmmm動(dòng)能的矩陣形式動(dòng)能的矩陣形式 : : )8 . 2 . 3(21 TqMqTnqqq21q)9 . 2 . 3(212222111211 nnnnnnmmmmmmmmmM 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法例例3.2.3 考察某一維的彈性

10、體，長(zhǎng)度為考察某一維的彈性體，長(zhǎng)度為l，分布質(zhì)量為，分布質(zhì)量為m (x)。設(shè)。設(shè)彈性體的振動(dòng)位移可用滿(mǎn)足邊界條件的位移函數(shù)的和來(lái)表示彈性體的振動(dòng)位移可用滿(mǎn)足邊界條件的位移函數(shù)的和來(lái)表示: )10.2 .3()()(),(1niiixtYtxy 試求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。試求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。解：解： 動(dòng)能動(dòng)能: :dxtyxmTl20/)(21 dxxYxmlniii201)()(21 ninjjiljidxxxxmYY110)()()(21 ninjjiijYYm1121質(zhì)量矩陣的系數(shù)質(zhì)量矩陣的系數(shù): : )12. 2 . 3()()()(0 dxxxxmmjilij對(duì)于有限單元法，質(zhì)量矩陣與單元?jiǎng)?/p>

11、分及單元形式有關(guān)。不論采對(duì)于有限單元法，質(zhì)量矩陣與單元?jiǎng)澐旨皢卧问接嘘P(guān)。不論采用哪種方法，最后系統(tǒng)的動(dòng)能都可以表達(dá)為式用哪種方法，最后系統(tǒng)的動(dòng)能都可以表達(dá)為式(3.2.8)(3.2.8)的形式。的形式。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3-3 能量耗散與阻尼參數(shù)的確定能量耗散與阻尼參數(shù)的確定 系統(tǒng)的阻尼系數(shù)與系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所耗散的能量密切相關(guān)。系統(tǒng)的阻尼系數(shù)與系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所耗散的能量密切相關(guān)。 阻尼的主要形式阻尼的主要形式 : : 內(nèi)阻尼和外阻尼內(nèi)阻尼和外阻尼 內(nèi)阻尼內(nèi)阻尼: : 也稱(chēng)結(jié)構(gòu)阻尼，由材料的非彈性部分所致；也稱(chēng)結(jié)構(gòu)阻尼，由材料的非

12、彈性部分所致； 外阻尼外阻尼 ：介質(zhì)阻尼：介質(zhì)阻尼 、庫(kù)侖阻尼、庫(kù)侖阻尼 、連接阻尼等、連接阻尼等3.3.1 粘滯阻尼模型粘滯阻尼模型 ) 1 . 3 . 2( iiiDc rF圖圖3.3.1 粘滯阻尼模型粘滯阻尼模型DFDF1x cDF2x 阻尼力阻尼力 ： )2 . 3 . 2()(12 xxxFFccDD 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.3.2 滯變阻尼模型滯變阻尼模型 特點(diǎn)：振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)變特點(diǎn)：振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)變 的相位總是的相位總是落后于應(yīng)力落后于應(yīng)力 的相位一個(gè)角度的相位一個(gè)角度 。 )3 . 3 . 3()(,)()(0)(

13、0 tjtjetEet應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 ： )4 . 3 . 3( Eej 稱(chēng)為結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)，稱(chēng)為結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)， 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于1 1)5 . 3 . 3(1 jej近似應(yīng)力近似應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 ： )6 . 3 . 3()1 (* EEj復(fù)彈性模量復(fù)彈性模量 ： 復(fù)剛度：復(fù)剛度： jEE1*kjk 1*復(fù)阻尼理論：復(fù)阻尼的實(shí)部就是剛度系數(shù)，虛部代表的阻尼。復(fù)阻尼理論：復(fù)阻尼的實(shí)部就是剛度系數(shù)，虛部代表的阻尼。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.3.3 能量耗散與等效阻尼能量耗散與等效阻尼 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 ： )7 . 3 . 3()(

14、 tFxkxcxm )8 . 3 . 3()()1 ( tFxkjxm 對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率 : : )/ln(/ln3221xxxx3221xxxxe)9 . 3 . 3(2312 xxxxe各振動(dòng)周期開(kāi)始的能量各振動(dòng)周期開(kāi)始的能量 : : 21211xkV )10. 3 . 3(,22212xkV 能量耗散比能量耗散比 : : 11VV121VVV 212221xxx 2121xx21e)11. 3 . 3(42 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法11VV 42114VV 212xk 2122xm )12. 3 . 3(21 xc阻尼系數(shù)的等效阻尼

15、系數(shù)的等效 : : 結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼 : : 振動(dòng)一個(gè)周期阻尼所耗散的能量相等。振動(dòng)一個(gè)周期阻尼所耗散的能量相等。 2*AV等效粘滯阻尼等效粘滯阻尼 ： 2 AcVeqVV*)13. 3 . 3(/ eqc一般等效原理一般等效原理 : : 在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力所做的虛功相等。在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力所做的虛功相等。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法圖圖3.3.2 等效阻尼系統(tǒng)等效阻尼系統(tǒng)M1c2c/3l/3l/3l例例3.3.1 圖示懸臂梁，自由端固定圖示懸臂梁，自由端固定一個(gè)質(zhì)量塊。梁在一個(gè)質(zhì)量塊。梁在 l /3和和 2l/3處各處各安裝一個(gè)阻尼器

16、，阻尼系數(shù)分別安裝一個(gè)阻尼器，阻尼系數(shù)分別為為c1和和c2，求等效阻尼系數(shù)，求等效阻尼系數(shù)c e q。 解：解： 近似取懸臂梁在自由端集中荷載作用下的靜撓度曲線為近似取懸臂梁在自由端集中荷載作用下的靜撓度曲線為梁的位移函數(shù)，以自由端的豎向最大位移為廣義坐標(biāo)梁的位移函數(shù)，以自由端的豎向最大位移為廣義坐標(biāo) 。)14. 3 . 3(3)(),(221 tYtxylx/:31)(2741tYv)(12741tYcFD)(2741tYy )(27142tYv)(227142tYcFD)(27142tYy :322211yFyFWDDDYYcc7291961621 YYceq 729/1961621ccc

17、eq 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.3.4 多自由度粘滯阻尼系統(tǒng)的能量耗散與阻尼矩陣多自由度粘滯阻尼系統(tǒng)的能量耗散與阻尼矩陣N 質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng), l個(gè)完整約束，個(gè)完整約束， n自由度，自由度， 廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)： nqqq, , 21qi 質(zhì)點(diǎn)所受的阻尼力質(zhì)點(diǎn)所受的阻尼力 : )18. 3 . 3( iiiDc rF廣義力廣義力: : NijiiijqqxxcF31* )19. 3 . 3(31 Nijiiiqxxc瑞雷瑞雷(Rayleigh)耗散函數(shù)耗散函數(shù): )20. 3 . 3(21312NiiixcR)21. 3 . 3(/* jj

18、qqRF比較式比較式(3.3.19)和和(3.3.20)： 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法用廣義坐標(biāo)表示廣義力：用廣義坐標(biāo)表示廣義力： nkkjkjqjqcqRF1* 粘滯阻尼系統(tǒng)的拉格朗日方程：粘滯阻尼系統(tǒng)的拉格朗日方程： )25. 3 . 3(,2,1* njFqRqLqLdtdjjjj除阻尼力以外的非保守力。除阻尼力以外的非保守力。 *jF廣義坐標(biāo)表示廣義坐標(biāo)表示R : )23. 3 . 3(21212111312qCqTnjnkkjjkNiiiqqcxcR C為阻尼矩陣為阻尼矩陣 : )24. 3 . 3(31 Nikijiijkqxqxc

19、c 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法圖圖3.3.3 兩個(gè)自由度的質(zhì)量?jī)蓚€(gè)自由度的質(zhì)量彈簧彈簧阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)3k2k1k3c2c1c2m2x1x1m2 23212221121xcxxcxcR矩陣形式矩陣形式 : : 21322221T21 21xxccccccxxR 322221ccccccC阻尼矩陣阻尼矩陣 : : 瑞雷耗散函數(shù)瑞雷耗散函數(shù) : : 例例3.3.2 圖示雙自由度系圖示雙自由度系統(tǒng)，質(zhì)量塊的質(zhì)量分別為統(tǒng)，質(zhì)量塊的質(zhì)量分別為m1和和m2，剛度系數(shù)和阻尼，剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為系數(shù)分別為k i和和c i ( i =1, 2, 3)，

20、試求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，試求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣和阻尼矩陣C。解：取質(zhì)量塊的水平位移解：取質(zhì)量塊的水平位移x1(t)和和x2 (t)為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo) 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣: : 212100),(mmmmdiagM 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法彈性參數(shù)，包括剛度和柔度，與系統(tǒng)的變形能有關(guān)。彈性參數(shù)，包括剛度和柔度，與系統(tǒng)的變形能有關(guān)。 3-4 3-4 彈性參數(shù)及其確定方法彈性參數(shù)及其確定方法 圖圖3.4.1 彈簧模型彈簧模型SFSF1x2xk彈簧的相對(duì)變形彈簧的相對(duì)變形 : : 12xxx( )SFf x圖圖3.4.2 彈簧的變形曲線彈簧的變形

21、曲線xSF(1)(2)線性范圍外力外力變形關(guān)系變形關(guān)系 : : 軟彈簧軟彈簧: : 彈簧剛度隨變形的增大而減少?gòu)椈蓜偠入S變形的增大而減少; ; 硬彈簧硬彈簧: : 彈簧剛度隨變形的增大而增大。彈簧剛度隨變形的增大而增大。 tan/0 xxfk 小變形情況小變形情況: : ) 1 . 4 . 3()( xkxFS21 () (3.4.2)SSFFk xk xx 彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力 : : 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法儲(chǔ)存在彈簧內(nèi)部的變形勢(shì)能儲(chǔ)存在彈簧內(nèi)部的變形勢(shì)能V 等于外力在變形過(guò)程中所做的功等于外力在變形過(guò)程中所做的功 )3 . 4 . 3(

22、)(00221xxSxkdkdFV 3.4.1 并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧(1)并聯(lián)彈簧的特點(diǎn)并聯(lián)彈簧的特點(diǎn) 圖圖3.4.3 并聯(lián)彈簧模型并聯(lián)彈簧模型SFSFeqkSFSFnk2k1k)4 . 4 . 3(,2, 1 nixkFiiS總外力總外力: : niiSSFF1 niixk1 xknii 1)5 . 4 . 3( xkeq等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù) : : )6 . 4 . 3(1 niieqkk各彈簧的變形相等各彈簧的變形相等: x i= x 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法圖圖3.4.4 串聯(lián)彈簧模型串聯(lián)彈簧模型SFSFeqkSF

23、SFnk2k1k(2) 串聯(lián)彈簧的特點(diǎn)串聯(lián)彈簧的特點(diǎn) 各彈簧所受的力相等：各彈簧所受的力相等： SiSFF 各彈簧的變形：各彈簧的變形： )7 . 4 . 3 (,2, 1/ nikFxiSi串聯(lián)彈簧總變形：串聯(lián)彈簧總變形： niixx1niiSkF1niiSkF11)8 . 4 . 3( eqSkF等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù): : )9 . 4 . 3(111 niieqkk 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.4.2 單自由度系統(tǒng)等效剛度單自由度系統(tǒng)等效剛度系數(shù)系數(shù)的計(jì)算的計(jì)算 關(guān)鍵關(guān)鍵 ：計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的變形勢(shì)能?。河?jì)算實(shí)際系統(tǒng)的變形勢(shì)能！ 例例3

24、.4.1 圖示簡(jiǎn)支梁，已知抗彎圖示簡(jiǎn)支梁，已知抗彎剛度剛度 EI，質(zhì)量，質(zhì)量M 和剛度系數(shù)和剛度系數(shù) k, 試計(jì)算等效剛度系數(shù)。試計(jì)算等效剛度系數(shù)。圖圖3.4.5 受彈簧支撐的簡(jiǎn)支梁受彈簧支撐的簡(jiǎn)支梁mMEI/2l/2l k解：解：以跨中的最大撓度以跨中的最大撓度Y (t )為為廣義坐標(biāo)，分廣義坐標(biāo)，分三種情況討論：三種情況討論： Y (t )(1) 若若M較小，用均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的撓曲線來(lái)表示變形。較小，用均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的撓曲線來(lái)表示變形。 )10. 4 . 3(21)(),(325161 tYtxydxxyEItkYVl2212 0 221)(21)12. 4 . 3()(15.

25、492123 tYlEIk )13. 4 . 3(15.493)1( lEIkkeq等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù): : 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法(2) 若若M 較大，用跨中受集中力作用的簡(jiǎn)支梁撓曲線來(lái)表示變形。較大，用跨中受集中力作用的簡(jiǎn)支梁撓曲線來(lái)表示變形。 )14. 4 . 3(043)(),(2122 tYtxydlEIktYV2/102321152)(21 )15. 4 . 3()(482123 tYlEIk (2)348 (3.4.16)eqEIkkl等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù) : : (3) 取梁的位移函數(shù)為單個(gè)正弦波取梁的位移函數(shù)為單

26、個(gè)正弦波 )17. 4 . 3(sin)(),(3 tYtxydlEIktYV 102342sin)(21)18. 4 . 3()(71.482123 tYlEIk (3)348.71 (3.4.19)eqEIkkl等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù) : : 結(jié)論結(jié)論: 三種結(jié)果接近，為并聯(lián)的彈簧組合。三種結(jié)果接近，為并聯(lián)的彈簧組合。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.4.3 等效激振力的計(jì)算等效激振力的計(jì)算 等效激振力與外力所做的功有關(guān)！等效激振力與外力所做的功有關(guān)！ 仍用例仍用例3.4.1的梁來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。的梁來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。設(shè)梁受均勻分布的激振力作用

27、：設(shè)梁受均勻分布的激振力作用： )20. 4 . 3()(),(0 tfqtxq等效條件：外力和等效激振力在等效條件：外力和等效激振力在任一虛位移上所做的虛功相等！任一虛位移上所做的虛功相等！ )0tfdxyqWl0F( )21. 4 . 3()(* YtFWeqF*FFWW)(64. 0)()(002516)1(tflqtflqtFeq )(628. 0)()(0085)2(tflqtflqtFeq (3)200( ) ( )0.637 ( )eqFtq l f tq l f tmEI/ 2l/ 2l( , )q x t 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確

28、定方法3.4.4 多自由度系統(tǒng)的變形勢(shì)能與剛度矩陣多自由度系統(tǒng)的變形勢(shì)能與剛度矩陣 考察在系統(tǒng)的平衡位置處對(duì)變形勢(shì)能考察在系統(tǒng)的平衡位置處對(duì)變形勢(shì)能V 作泰勒展開(kāi)作泰勒展開(kāi): : )23. 4 . 3(210112010 jininjjijnjjqqqqVqqVVV平衡位置平衡位置 : : 00V保守力保守力: : 0jjqqVF 變形勢(shì)能的矩陣形式：變形勢(shì)能的矩陣形式： )24. 4 . 3(21 qKqTV 剛度矩陣剛度矩陣K的元素：的元素： )25. 4 . 3(2 jijiijqqVkk彈性恢復(fù)力矢量彈性恢復(fù)力矢量 : : )26. 4 . 3(/)( KqqFVtS 第第3章章 離散

29、系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法例例3.4.2 試求例試求例3.3.2中雙自由度系統(tǒng)的中雙自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。剛度矩陣。 圖圖3.3.3 兩個(gè)自由度的質(zhì)量?jī)蓚€(gè)自由度的質(zhì)量彈簧彈簧阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)3k2k1k3c2c1c2m2x1x1m)27. 4 . 3(223212221121 xkxxkxkV解：仍取兩質(zhì)量塊的水平位移解：仍取兩質(zhì)量塊的水平位移x1(t)和和 x2 (t)為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能 : : 矩陣形式矩陣形式 : : )28. 4 . 3(212132222121 TxxkkkkkkxxV )29. 4 . 3(322221k

30、kkkkkK剛度矩陣剛度矩陣 : : 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.4.5 計(jì)算剛度系數(shù)的兩種常用方法計(jì)算剛度系數(shù)的兩種常用方法 (1) (1) 剛度法剛度法 為使系統(tǒng)沿為使系統(tǒng)沿q j方向產(chǎn)生單位方向產(chǎn)生單位位移而要在位移而要在q i方向施加的力。方向施加的力。 k i j的物理意義的物理意義:11k21k11222k12k112122F1F1x2x1SF2SF1 1m x 2 2m x 圖圖3.4.6 兩個(gè)自由度系統(tǒng)及其剛度系數(shù)兩個(gè)自由度系統(tǒng)及其剛度系數(shù)1x2x 2m 1m)30. 4 . 3()()()()(212221121121 tx

31、txkkkktFtF)31. 4 . 3 ()()()()()()(21222112112121 ttkkkkttttSSxxFFFF平衡條件：平衡條件： 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法11k21k31k112k22k32k113k23k33k1圖圖3.4.7 三層剪切型框架及其剛度系數(shù)三層剪切型框架及其剛度系數(shù)321mmm2k3/k5 / k例例3.4.3 確定圖示確定圖示 三層框架的質(zhì)量三層框架的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。矩陣和剛度矩陣。 解：集中質(zhì)量系統(tǒng)解：集中質(zhì)量系統(tǒng) 112 2mmmmM剛度系數(shù)剛度系數(shù): : kkkk342111kkkk158

32、3222kkk51333kkkk312211203113 kk kkkk513322311k221kk2k111k2k1k 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法剛度矩陣剛度矩陣: : )34. 4 . 3(330385052015 kK(2) 柔度法柔度法 )35. 4 . 3 ()()()()()()(21222112112112221121121 tFtFtFtFkkkktxtx)30. 4 . 3()()()()(212221121121 txtxkkkktFtF柔度矩陣柔度矩陣: : 22211211柔度系數(shù)柔度系數(shù) ij 的物理意義的物理意義:

33、 : 系統(tǒng)沿系統(tǒng)沿q j方向方向施加單位力施加單位力而而在在q i方向方向產(chǎn)生的位移。產(chǎn)生的位移。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法圖圖3.4.8 三自由度系統(tǒng)及其柔度系數(shù)三自由度系統(tǒng)及其柔度系數(shù)mm 3 mm 2 mm 1 33h11F )(1Mh31F )(3M3h21F )(2M23h例例3.4.4 圖示可忽略質(zhì)量的彈性懸臂梁，上面有三個(gè)集中圖示可忽略質(zhì)量的彈性懸臂梁，上面有三個(gè)集中質(zhì)量塊，質(zhì)量均為質(zhì)量塊，質(zhì)量均為m，梁的抗彎剛度，梁的抗彎剛度EI =常量。求系統(tǒng)的常量。求系統(tǒng)的柔度矩陣和剛度矩陣。柔度矩陣和剛度矩陣。 解：用單位荷載法求柔度系

34、數(shù)解：用單位荷載法求柔度系數(shù) )36. 4 . 3(0 hjiijdxEIMM , EIhEIhEIhEIh EIhEIh811625814,8188114,3333332233311332232112311 25851628828541623EIh80461246441612167138131hEIK 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法94144115/k圖圖 3.4.9 三層剪切型框架及其柔度系數(shù)三層剪切型框架及其柔度系數(shù)321mmm23/ kk例例3.4.5 用柔度法重新計(jì)算例用柔度法重新計(jì)算例3.4.3。 解：解： k/1令令 1 32 53

35、941441111 3303850520151kK 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.1 圖示的三層框架，各層的層高為圖示的三層框架，各層的層高為h，設(shè)各層立，設(shè)各層立柱每單位長(zhǎng)度總的質(zhì)量為柱每單位長(zhǎng)度總的質(zhì)量為mi (i=1, 2, 3) ，并假定各，并假定各層立柱的變形可用直線形狀來(lái)近似，試求系統(tǒng)的層立柱的變形可用直線形狀來(lái)近似，試求系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣。等效質(zhì)量矩陣。 5/k321mmm23/kk 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.2 在習(xí)題在習(xí)題2.2中，若梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量為中，若梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量

36、為m=M/5a，試求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。試求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。 )(tY)(1ty題題2.2圖圖kk2aaABM)(2ty )(,22212130221221yykVdxymYMTa1F 232131yyY )(1231yyyyax線性關(guān)系線性關(guān)系:系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取y1和和y2為廣義坐標(biāo)。為廣義坐標(biāo)。 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.3 如圖所示，質(zhì)量塊與支承面的摩擦系數(shù)為如圖所示，質(zhì)量塊與支承面的摩擦系數(shù)為，阻尼，阻尼力與接觸面正壓力之間的關(guān)系為力與接觸面正壓力之間的關(guān)系為FD= FN ，這種阻尼，這種阻尼機(jī)制稱(chēng)為庫(kù)侖阻尼。機(jī)

37、制稱(chēng)為庫(kù)侖阻尼。(1) 求等效阻尼和等效剛度；求等效阻尼和等效剛度；(2) 建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；(3) 確定受迫振動(dòng)的振幅確定受迫振動(dòng)的振幅A與激與激振頻率振頻率 p之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 題題3.3圖圖1k1( )x t2k3kDFsinFptm )(111213321321kkkkkkkkkKeq(1) 求等效剛度求等效剛度:(2) 求等效阻尼系數(shù)求等效阻尼系數(shù):庫(kù)侖阻尼力：庫(kù)侖阻尼力： mgNFD mgAAFWDf 44粘滯阻尼力：粘滯阻尼力： 2/20222/202)(cosAcdttcAdtxcdxFWDD tAxsin 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定

38、方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法mgAWf 42AcWD DfWW Amgceq4(3) 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程: (4) 質(zhì)量塊動(dòng)位移的振幅質(zhì)量塊動(dòng)位移的振幅: ptFxkxcxmeqeqsin 222)()(pcmpkFAeqeq 第第3章章 離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)及其確定方法3.4 五根彈簧的剛度系數(shù)分別為五根彈簧的剛度系數(shù)分別為ki (i=1,2,5)，(1) k1和和k2串聯(lián)，串聯(lián)， k3和和k4串聯(lián)后，再與串聯(lián)后，再與k5三者并聯(lián)；三者并聯(lián)；(2) k1和和k2并聯(lián)，并聯(lián)， k3和和k4并聯(lián)后，再與并聯(lián)后，再與k5三者串聯(lián)。求兩三者串聯(lián)。求兩種情況下的等效剛度系數(shù)。種情況下的等效剛度系數(shù)。 1k2k3k4k5k(1)1k2k3k4k5k(2) 第第3章章 離