D4.4差分方程1

1、第四節(jié)第四節(jié)一、差分的概念一、差分的概念二、差分方程的概念二、差分方程的概念機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 差分與差分方程的概念差分與差分方程的概念 第四章第四章 常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)三、三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)引言引言 在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多問(wèn)題中在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多問(wèn)題中, ,經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)大多按等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)大多按等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì), ,因此因此, ,各有關(guān)變量的取值是各有關(guān)變量的取值是離散的離散的, ,如何尋求如何尋求它們之間的關(guān)系和變化規(guī)律呢？它們之間的關(guān)系和變化規(guī)

2、律呢？差分方程差分方程是是研究這類研究這類離散數(shù)學(xué)模型離散數(shù)學(xué)模型的有力工具。的有力工具。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一、一、差分的概念差分的概念定義定義1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，記為，記為 。( )yf x xy當(dāng)當(dāng) 取遍取遍非負(fù)整數(shù)非負(fù)整數(shù)時(shí)函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列：時(shí)函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列：x01,xyyy則差則差 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的差分差分，1xxyy xyx也稱為也稱為一階差分一階差分，記為，記為 ，xy 即即1xxxyyy (0, 1, 2,)x 例例1. 常數(shù)的差分為零。常數(shù)的差分

3、為零。解：解：指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)。指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)。 例例3. 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 已知已知 （ 為常數(shù)），求為常數(shù)），求 。xyC Cxy 10 xxxyyyCC 例例2. 設(shè)設(shè) （其中（其中 且且 ），求），求 。xxya 0a 1a xy 解：解：11(1)xxxxxxyyyaaaa sin,xyax 求求 。xy 解：解：1sin (1)sinxxxyyya xax 112cos ()sin22a xa例例4. 設(shè)設(shè)解解:例例5. 設(shè)階乘函數(shù)設(shè)階乘函數(shù) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)

4、束結(jié)束 2xyx 求求 。xy 221(1)21xxxyyyxxx ( )(1)(2)(1),nxyxx xxxn(0)1,x 求求 。xy 解解:( )( )1(1)nnxxxyyyxx (1) (1)(11)(1)(1)xx xxnx xxn (1)(1) (1)(2)xxnx xxn(1)nnx 差分的四則運(yùn)算法則差分的四則運(yùn)算法則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (1)();CyC y(2)();xxxxyzyz 11(3)();xxxxxxxxxxyzyzzyyzzy1111(4)().xxxxxxxxxxxxxxyzyyzzyyzzzzzz（利用一階差分的

5、定義，自己證明。）（利用一階差分的定義，自己證明。）高階差分的定義：高階差分的定義：一階差分的差分一階差分的差分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11()()xxxxxyyyyy 211()()xxxxyyyy212xxxyyy稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在在 處的處的二階差分二階差分，記為，記為 ，即，即 xyx2xy 2212xxxxyyyy二階差分的差分稱為二階差分的差分稱為三階差分三階差分，記為，記為 ，即，即3xy 332133xxxxxyyyyy二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分高階差分。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)

6、束結(jié)束 函數(shù)函數(shù) 在在 處的處的 階差分階差分，記為，記為 ，xyxnxy n1()nnxxyy 一般地，一般地，即即例例6. 設(shè)設(shè)22,.xxxyey求求解：解：2(1)2221(1)xxxxxxyyyeeee 22222()(1)(1)xxxxyyeeee 222(1)xee例例7. 已知已知解解:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 223342,.xxxyxxyy求求23 ()4 ( )(2)xyxx 3(21)4061xx2()(61)(6 )(1)xxyyxx 6 ( )06x 32()(6)0 xxyy 結(jié)論：結(jié)論： 次多項(xiàng)式的次多項(xiàng)式的 階差分為常數(shù)，階差

7、分為常數(shù)， 階以上階以上kkk的差分均為零。的差分均為零。說(shuō)明：說(shuō)明：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 函數(shù)函數(shù) 在不同時(shí)期的值和它的各階差分之間的關(guān)系在不同時(shí)期的值和它的各階差分之間的關(guān)系xy(1) 函數(shù)的函數(shù)的 階差分可以表示成已知函數(shù)在不同階差分可以表示成已知函數(shù)在不同n時(shí)期值時(shí)期值 的線性組合。的線性組合。11,x nx nxxyyyy (2) 函數(shù)函數(shù) 的差分仍然是的差分仍然是 的函數(shù)，函數(shù)在不同的函數(shù)，函數(shù)在不同xyx時(shí)期的值時(shí)期的值 可以表示成可以表示成 及其各階差分的及其各階差分的xyx ny 線性組合。線性組合。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè)

8、 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1xxxyyy 211()xxxxxxxyyyyyyy 222xxxxxxxyyyyyyy 23222xxxxxxyyyyyy 2(2)xxxyyy 2333xxxxyyyy 二、差分方程的概念二、差分方程的概念機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義3 含有未知函數(shù)的差分或含有未知函數(shù)含有未知函數(shù)的差分或含有未知函數(shù)幾個(gè)不同幾個(gè)不同時(shí)期值的符號(hào)的方程稱為時(shí)期值的符號(hào)的方程稱為差分方程差分方程，其一般形式為，其一般形式為或或2( ,)0nxxxxF x yyyy12( ,)0 xxxx nG x yyyy 或或12( ,)0 xxxx nH x

9、 yyyy 例如：例如：2;xxyyx223xxyyx 2212xxxxyyyy差分方程的差分方程的不同形式不同形式之間可以之間可以相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例如：例如：差分方程差分方程2123xxxxyyy可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為21223xxxxyyy 若將原方程的左邊寫成若將原方程的左邊寫成212112()()2xxxxxxxxyyyyyyyy2122xxxxxyyyyy 則原方程又可化為則原方程又可化為223xxxyy定義定義4 4 差分方程中未知函數(shù)的最大下標(biāo)與最小差分方程中未知函數(shù)的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的差稱為差分方程的下標(biāo)的差稱為差分方程

10、的階階。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例：例：5324320 xxxyyy三階差分方程三階差分方程310 xxyy二階差分方程二階差分方程定義定義5 5 如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩程的程的通解通解。數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個(gè)解為差分方數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個(gè)解為差分方分方程的解中，含有分方程的解中，含有相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的任意常數(shù)任意常數(shù)的個(gè)的個(gè)邊恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的邊恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解解。若在差。若在差機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例如：例如：函數(shù)函數(shù)是一階差分

11、方程是一階差分方程152xyx函數(shù)函數(shù)2()xyCxC為為數(shù)數(shù)任任意意常常的的解解；12xxyy 是一階差分方程是一階差分方程的的解解，12xxyy 而且是它的而且是它的通解通解。我們通常根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài)，對(duì)差分我們通常根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài)，對(duì)差分滿足初始條件的滿足初始條件的解解稱為差分方程的稱為差分方程的特解特解。方程附加一定條件，這種附加條件稱為方程附加一定條件，這種附加條件稱為初始條件初始條件。三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為階常系數(shù)線性差分方程的一般形

12、式為n1111( )x nx nnxnxya yaya yf x 其中其中 為常數(shù)，且為常數(shù)，且 ， 為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。(1,2, )ia in 0na ( )f x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，差分方程時(shí)，差分方程 稱為稱為齊次的齊次的； ( )0f x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，差分方程時(shí)，差分方程 稱為稱為非齊次的非齊次的； ( )0f x 若若 是是 階常系數(shù)非齊次線性差分方程，階常系數(shù)非齊次線性差分方程，n則其所對(duì)應(yīng)的則其所對(duì)應(yīng)的 階常系數(shù)齊次線性差分方程為階常系數(shù)齊次線性差分方程為n11110(0)x nx nnxnxnya yaya ya 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 n關(guān)于關(guān)于

13、 階常系數(shù)線性差分方程的解有如下一些結(jié)論階常系數(shù)線性差分方程的解有如下一些結(jié)論定理定理1.次線性差分方程次線性差分方程的解，則它們的線性組合的解，則它們的線性組合若函數(shù)若函數(shù) 都是常系數(shù)齊都是常系數(shù)齊12( ),( ),( )kyxyxyx1122( )( )( )( )kky xC yxC yxC yx也是方程也是方程 的解，其中的解，其中 為常數(shù)。為常數(shù)。12,kCCCn定義定義6. 設(shè)有設(shè)有 個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù)12( ),( ),( )nyxyxyx都在某都在某一區(qū)間一區(qū)間 上有定義，若存在一組不全為零的數(shù)上有定義，若存在一組不全為零的數(shù)I否則，稱之為否則，稱之為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

14、錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12,nkkk使對(duì)一切使對(duì)一切 有有,xI 110nnk yk y則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上上線性相關(guān)線性相關(guān)，12( ),( ),( )nyxyxyxI定理定理2. 若函數(shù)若函數(shù) 是是 階常系數(shù)階常系數(shù)12( ),( ),( )nyxyxyxn齊次線性差分方程齊次線性差分方程的的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則n11( )( )xnnYC yxC yx就是方程就是方程的的通解通解（其中（其中 為常數(shù)）。為常數(shù)）。12,nCCC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理3. 若若 是非齊次方程是非齊次方程 的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 是它對(duì)是它對(duì)*xyxY應(yīng)的齊次方程應(yīng)的齊次方程的通解，則非齊次方程的通解，則非齊次方程的的通解通解為為 *xxxyYy定理定理4. 若若 分別是非齊次方程分別是非齊次方程*12,yy11111( )x nx nnxnxya yaya yfx 11112( )x nx nnxnxya yaya yfx 111112( )( )x nx nnxnxya yaya yfxfx 的特解，則的特解，則 是方程是方程*12yyy的特