《線性代數(shù)》知識點歸納整理

1、線性代數(shù)知識點歸納整理誠毅學(xué)生 編01、余子式與代數(shù)余子式 .- 2 -02、主對角線 .- 2 -03、轉(zhuǎn)置行列式 .- 2 -04、行列式的性質(zhì) .- 3 -05、計算行列式 .- 3 -06、矩陣中未寫出的元素 .- 4 -07、幾類特殊的方陣 .- 4 -08、矩陣的運算規(guī)則 .- 4 -09、矩陣多項式 .- 6 -10、對稱矩陣 .- 6 -11、矩陣的分塊 .- 6 -12、矩陣的初等變換 .- 6 -13、矩陣等價 .- 6 -14、初等矩陣 .- 7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣.- 7 -16、逆矩陣 .- 7 -17、充分性與必要性的證明題 .- 8 -18、伴

2、隨矩陣 .- 8 -19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形： .- 9 -20、矩陣的秩： .- 9 -21、矩陣的秩的一些定理、推論 .- 9 -22、線性方程組概念 .-10-23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量） .-10-24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念 .-11-25、線性方程組的向量形式 .-11-26、線性相關(guān) 與 線性無關(guān) 的概念 .-12-27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān).-12-28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題. - 12 -29、線性表示 與 線性組合 的概念 .-12-30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的

3、秩這三者的關(guān)系其例題 .-12-31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3 個定理 .-12-32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩 .-12-33、線性方程組解的結(jié)構(gòu) .-12-1- / 1501、余子式與代數(shù)余子式a11a12a13（1）設(shè)三階行列式 D a21a22a23，則a31a32a33a22a23a21a23a21a22元素a11，a12，a1311，M1213的余子式分別為： M a31， Ma31a32a32a33a33對 M11 的解釋：劃掉第 1 行、第 1 列，剩下的就是一個二階行列式a22a23，這個a32a33行列式即元素a1111的余子式 M 。其他元素的余子式以此類推。元素

4、a11，a12，a13111 1M11121)1 2M12，的代數(shù)余子式分別為： A ( 1)，A(131 3M13.ijijijMij.A ( 1)對 A的解釋（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列）： A( 1)（N 階行列式以此類推）（2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題：M3104(-1)3+1 040，A31033（3）例題：課本P8、課本 P21-27、作業(yè) P1 第 1 題、作業(yè) P1 第 3 題02、主對角線一個 n 階方陣的主對角線，是所有第k 行第 k 列元素的全體， k=1, 2, 3 n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副

5、對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式即元素 aij 與元素 aji 的位置對調(diào)（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列），比如說， a12 與 a21 的位置對調(diào)、 a35 與 a53 的位置對調(diào)。-2- / 1504、行列式的性質(zhì)詳見課本 P5-8（性質(zhì)）其中，性質(zhì)可以歸納為這個：A ， i k，ai 1 Ak1 ai 2 Ak 2 ainAkn （i 表示第 i 行， k 表示第 k 列）0 ， ik熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計算。例題：作業(yè) P1 第 2 題05、計算行列式（1）計算二階行列式a11a12 ：a21a22a11a方法（首選

6、）：12 a11a22 a12 a21 （即，左上角×右下角右上角×左下角）a22a21a11a12a方法： a A a A a a a21a21a2211111212112212例題：課本 P14a11a12a13（2）計算三階行列式 a21a 22a 23：a31a32a 33a11a12a13a21a22a23 a11 A11a12 A12a13 A13 a11 ( 1) 11M11 a12 ( 1)12M12 a13 ( 1)1 3M13a31a32a33N 階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進行轉(zhuǎn)化，0 元素較多時方便計算 .（r 是 row，

7、即行。 c 是 column，即列）例題：課本 P5、課本 P9、課本 P14、作業(yè) P1 第 4 題、作業(yè) P2 第 3 小題（3）n 階上三角行列式（ 0 元素全在左下角）與n 階下三角行列式（ 0 元素全在右上角）：D a11 a22 ann （主對角線上元素的乘積）例題：課本 P10、作業(yè) P3 第 4 小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本 P11-3- / 15（4）范德蒙行列式： 詳見課本 P12-13（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為 1 的一行，方便化簡行列式。例題：作

8、業(yè) P2 第 1 小題、作業(yè) P2 第 2 小題06、矩陣中未寫出的元素課本 P48 下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣詳見課本 P30-32（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0（3）數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同（4）零矩陣：所有元素都為0，記作 O（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為 0，記作 E 或 En （其行列式的值為1）08、矩陣的運算規(guī)則（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A 的行數(shù)與矩陣 B 的行數(shù)相同；矩陣 A 的列數(shù)與矩陣 B 的列數(shù)也相同）：課本 P32

9、“ AB”、“AB”加法交換律： ABB A加法結(jié)合律： A（ B C）（ A B） C （2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本 P34 陰影）：數(shù)與矩陣的乘法：I. 課本 P33“ kA”II. kA kn A （因為 k A 只等于用數(shù) k 乘以矩陣 A 的一行或一列后得到的矩陣的行列式）同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：aa× b ba ba b a ba b111211121111122111121222a21abba ba22b a ba22b222122211121211222-4- / 15描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為AB，則CDA 的值

10、為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相加。即 A a11 × b11 a12 × b21B 的值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素， 并將它們相加。即 B a11 × b12 a12 × b22C的值為：中第 2 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相加。即 C a21 × b11 a22 × b21D的值為：中第 2 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素， 并將它們相加。即 D a21 × b12 a22 × b22 .a11a12a13b11

11、b12b13a11b11a12b21a13b31a11b12a12b22a13b32a21a22a23× b21b22b23 a21b11a22b21a23b31a21b12a22b22a23b32aaabbba ba b21a ba ba b22a b32313233313233311132333131123233描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為a11b13a12b23a13b33a21b13 a22b23 a23b33 a31b13 a32b23 a33b33ABCDEF，則GHIA 的值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素， 并將它們相

12、加。即 A a11 × b11 a12 × b21 a13 × b31B、C、D、E、F、 G、 H、 I 的值的求法與 A 類似。數(shù)乘結(jié)合律： k（lA）（ kl）A ，（ kA）B A（ kB） k（ AB）數(shù)乘分配律：（k l）A kAlA ，k（AB） kAkB乘法結(jié)合律：（AB） CA（BC）乘法分配律： A（BC） ABAC ，（AB）C AC BC需注意的：I. 課本 P34 例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II. 課本 P34 例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III. 一般來講，（AB） k A k B k，因為矩陣乘法不滿足交換律IV.課本

13、 P40 習(xí)題第 2 題：（A B） 2 不一定等于 A2 2ABB2 ，（AB）2 不一定等于 A2 2ABB2，（AB）（AB）不一定等于 A2 B2 . 當(dāng) AB BA 時，以上三個等式均成立（3）矩陣的轉(zhuǎn)置運算規(guī)律： (AT )TA (A±B)TA T±B T-5- / 15 (kA)TkAT (AB)TB TAT (ABC)TCTB TAT (ABCD)TDTCTB TAT（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本 P46）ABA B（5）例題：課本 P35、課本 P36-37、課本 P40 第 4 大題、課本 P40 第 5 大題

14、、課本 P51 第 1 大題、課本 P51 第 4 大題、課本 P60 第 4 大題、作業(yè) P5 全部、作業(yè) P5 第 3 大題、作業(yè)P5第 4大題09、矩陣多項式詳見課本 P 3610、對稱矩陣（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本 P37）（2）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本 P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本 P 42例題：作業(yè) P6 全部13、矩陣等價若矩陣

15、A 經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣 A 與矩陣 B 等價，記為 AB-6- / 1514、初等矩陣（1）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本 P48-49（2）設(shè) A 為 m×n 矩陣，則對 A 施行一次初等行變換相當(dāng)于在A 的左邊乘上一個相應(yīng)的m 階初等矩陣； A 施行一次初等列變換相當(dāng)于在A 的右邊乘上一個相應(yīng)的n 階初等矩陣 .詳見課本 P50-51（3）課本 P51 第 3 大題15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線

16、，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題： 課本 P45、作業(yè) P6 全部、課本 P51 第 2 大題16、逆矩陣（1）設(shè) A 為 n 階方陣，如果存在n 階方陣 B，使得 AB BA E，則稱方陣 A 是可逆的，并稱 B 為 A 的逆矩陣 .（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣 A 可逆，則 A 的逆矩陣是唯一的，

17、并將A 的逆矩陣記作 A1，AA 1 EA1 A*（3）n 階方陣 A 可逆的充要條件為 A 0，并且，當(dāng)A 可逆時，A（證明詳見課本 P54）例題：課本 P59 第 1 大題（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）（5）性質(zhì)：設(shè) A，B 都是 n 階的可逆方陣，常數(shù)k0，那么 (A1) 1A AT 也可逆，并且 (AT )-1 (A-1 )T(kA)-1 1 A-1 kA 也可逆，并且k AB 也可逆，并且 (AB) -1B-1A-1-7- / 15 AB 不一定可逆，而且即使A B 可逆，一般 (AB)-1A-1B-1A-1 1-1-1E 1-11AAAEAAAA例題：課本P58

18、 例 2.3.7、作業(yè) P7 第 1 題（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本 P57（7）由方陣等式求逆矩陣：課本 P58 例 （8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=10 可逆，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本 P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A | E初等行變換E |A-1（例題：課本、課本）P68P71（13）形如 A

19、XB 的矩陣方程，當(dāng)方陣 A 可逆時，有 A-1AXA-1B，即 XA-1B.此時有： A |B初等行變換E | X矩陣方程的 例題：課本 P35、課本 P69、課本 P41 第 6 大題、課本 P56、課本 P58、課本 P59 第 3 大題、課本P60 第 5 大題、課本 P60 第 7 大題、課本P71第 3大題矩陣方程計算中易犯的錯誤： 課本 P56“注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題（1）必要性：由結(jié)論推出條件（2）充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本 P41 第 8 大題、作業(yè) P5 第 5 大題18、伴隨矩陣（1）定義： 課本 P52 定義（2）設(shè) A 為 n 階方陣（ n2

20、），則 AA* A* A A En （證明詳見課本 P53-54）（3）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣）A* A A1 (kA)* kA · (kA)-1 k n A ·1 A-1 k n 1 · A A-1 k n-1A* （k0）kk-8- / 15|A*|111（因為存在1，所以 A 0） A n-1A A| A n· | A| A n·AA (A* *1* 11 1An 11 11)|(AA)| A |(A )A A n 1 · 1A A n-2 A （因為 AA 1 E，所以 A 1 的逆矩陣是 A，即 (A 1) 1 ）A A

21、 (AB) * B* A*(A*)-1(A-1) * AA（4）例題： 課本 P53、課本 P55 、課本 P58、課本 P60 第 6 大題、作業(yè) P7 第 2 題、作業(yè) P8 全部19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：（1）定義： 課本 P61-62（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形20、矩陣的秩：（1）定義： 課本 P63（2）性質(zhì)：設(shè) A 是 m×n 的矩陣， B 是 p×q 的矩陣，則 若 k 是非零數(shù)，則 R (kA)R (A) R (A)R (AT ) 等價矩陣有相同的秩，即若AB，則 R (A)R (B) 0R (Am× n) min m ,

22、n R (AB)min R ( A) , R(B) 設(shè) A 與 B 都是 m× n 矩陣，則 R (AB) R (A) R (B)（3）n 階方陣 A 可逆的充要條件是： A 的秩等于其階數(shù)，即R (A)n（4）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表示為若干個初等矩陣的乘積。 （證明： P67）（5）設(shè) A 是 m×n 矩陣，P、Q 分別是 m 階與 n 階可逆方陣，則 R (A) R (PA)R (AQ)R (PAQ) （6）例題：課本 P64、課本 P66、課本 P71、作業(yè) P7 第 3 題、作業(yè) P9 全部21、矩陣的秩的一些定理、推論-9- / 15線代老師說這

23、部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本 P7022、線性方程組概念線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）（1）定義： 課本 P81（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本 P81（3）系數(shù)矩陣 A、增廣矩陣 A 、矩陣式方程： 課本 P82（4）矛盾方程組（方程組無解） ：課本 P85 例題（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本 P87（6）系數(shù)矩陣的最簡階梯形：課本 P87（7）課本 P87 下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時不用交換列。（8

24、）克萊姆法則：初步認知：a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1a11a12a13已知三元線性方程組a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ，其系數(shù)行列式D a21a22a23 .a31 x1 a 32 x2 a33 x3 b3a31a32a33當(dāng) D0 時，其解為： x1D 1D 2，x3D 3，x2D.DDb1a12a13a11b1a13a11a12b1（其中 D1 b2a22a23 ，D2 a 21b2a23 ，D3 a21a22b2 ）（Dn 以此類推）b3a32a33a31b3a33a31a32b3定義： 課本 P15使用的兩個前提條件： 課本 P18例題： 課本 P3

25、、課本 P16-17、課本 P18、作業(yè) P3 第 7 題（9）解非齊次線性方程組 （方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：課本 P26、課本 P42、課本 P82、課本 P84、課本 P85、課本 P86 第 1 大題、課本P88、課本 P91、作業(yè) P10 第 1 題（10）解齊次線性方程組例題： 課本 P17、課本P18、課本 P85、課本 P86、課本 P90、課本-10- / 15P91、作業(yè) P1 第 5 題、作業(yè) P10 第 2 題（11）n 元非齊次線性方程組AXb 的解的情況：（R (A) 不可能R ( A )）R(A) R(A )無解 n有無窮多個解R

26、(A) R(A )有解 n有唯一解特別地，當(dāng) A 是A 0有唯一解n 階方陣時，可R (A) R ( A )無解由行列式來判斷R(A) R(A )有解當(dāng) A 0有無窮多個解例題：課本 P86 第 2 大題、課本 P88、課本 P92、作業(yè) P11 第三題（12）n 元齊次線性方程組AX O 的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）R (A) n只有零解（有唯一解，為0）R (A) n有非零解（有無窮多個解）特別地，當(dāng) A 是 n 階方陣A 0只有零解（有唯一解，為0）時，可由行列式來判斷A 0有非零解（有無窮多個解）例題：課本 P

27、24、課本 P90-91、作業(yè) P11 全部24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念詳見課本 P92-93將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）手寫零向量時不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式-11- / 15詳見課本 P9326、線性相關(guān) 與 線性無關(guān) 的概念詳見課本 P93-94例題：課本 P101 第 6 大題 、作業(yè) P14 第五大題27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線

28、性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見課本 P94 定理、定理例題：課本 P94-95 例、課本 P101 第 3 大題、課22 本 P101 第 5 大題、作業(yè) P12 第 3小題、作業(yè) P12 第二大題、作業(yè)P13 第三大題、作業(yè)P13 第四大題29、線性表示 與 線性組合 的概念詳見課本 P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見課本 P95-96 定理例題：課本 P95-96 例31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的 3 個定理詳見課本 P96 定理、課本 P97 定理、課本 P98 定理32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩詳見課本 P98-100 定義

29、、定義、定單位列向量，即“只有一個元素為 1，且其余元素都為 0”的一列向量 （求最大線性無關(guān)組 用）例題：課本 P100 例、課本 P101 第 4 大題、作業(yè) P14 第六大題33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n 元非齊次線性方程組AXb 的解的情況”與“ n 元齊次線性-12- / 15方程組 AXO 的解的情況”。（1）n 元齊次線性方程組AXO 解的結(jié)構(gòu) 定理：詳見課本 P101-102 定義（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本 P102 定理：詳見課本 P102 解題步驟（“注”為補充說明）（以課本 P104 例為例）：102740113

30、1（I）A0000000000注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往方向轉(zhuǎn)化”）。（ II ）得到同解方程組x1 2x37x44x5x2 x3 3x4x5x12x37 x44x5 0注：由x2x33x4x5 0得到同解方程組274131（ III ） 此方程組的一組解向量為：1 1，2 0，3 0010001注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1 有的是 0，一看便知x1 2x37x44x5x2 x33x4x5x3x3x4x4x5x5（ IV ）顯然1，2，3 線性無關(guān)。注：根據(jù) 課本 P93-94 定義 3.3.3 得出線性無關(guān)，