線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的因果和穩(wěn)定性學(xué)習(xí)教案

1、線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)(xtng)的因果和穩(wěn)定性的因果和穩(wěn)定性第一頁(yè)，共41頁(yè)。1、可加性11( )( )y nT x n22若：，y (n)=Tx (n)121212( )( )( )( )( )( )T x nx nT x nT x ny ny n則：2、比例性：11Tx (n)=y (n)111Tax (n)=aTx (n)=ay (n)則：線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)特征：在全部(qunb)時(shí)間為零輸入時(shí)，其輸出也恒等于零。即：零輸入產(chǎn)生零輸出第1頁(yè)/共41頁(yè)第二頁(yè)，共41頁(yè)。例：證明y(n)=ax(n)+b(a、b為常數(shù)）所代表的系統(tǒng)不是線(xiàn)性系統(tǒng)。11證：設(shè)Tx(n)=ax(n)+b22Tx

2、 (n)=ax (n)+b1212則：Tx(n)+x (n)=ax(n)+x (n)+b12=ax(n)+ax (n)+b=y(n)12顯然： y(n)y(n)+y (n)第2頁(yè)/共41頁(yè)第三頁(yè)，共41頁(yè)。線(xiàn)性系統(tǒng)ax(n)x(n)y(n)y0(n)線(xiàn)性系統(tǒng)部分： Tx(n)=ax(n)0零輸入響應(yīng)輸入 x(n）0時(shí)的輸出是： y (n)=b第3頁(yè)/共41頁(yè)第四頁(yè)，共41頁(yè)。若系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)，則稱(chēng)為移不變系統(tǒng)。即：若輸入x(n）產(chǎn)生輸出為y(n)，則輸入x(n-m)產(chǎn)生輸出y(n-m)。輸入移動(dòng)多少位，輸出也移動(dòng)相同的位數(shù)。T若： x(n)=y(n），則有： ()()T x

3、nmy nmm為任意(rny)整數(shù)第4頁(yè)/共41頁(yè)第五頁(yè)，共41頁(yè)。例：證明y(n)=ax(n)+b 是移不變系統(tǒng)設(shè)m為任一固定整數(shù)。已知：Tx(n）=ax(n)+b=y(n)而： Tx(n-m)=ax(n-m)+b滿(mǎn)足： Tx(n-m)=y(n-m)第5頁(yè)/共41頁(yè)第六頁(yè)，共41頁(yè)。例：y(n)=nx(n)，討論該系統(tǒng)是否為移不變系統(tǒng)。方法一： Tx(n)=nx(n)=y(n)Tx(n-m)=nx(n-m)而y(n-m)=(n-m)x(n-m)顯然：Tx(n-m)y(n-m) 時(shí)變系統(tǒng)第6頁(yè)/共41頁(yè)第七頁(yè)，共41頁(yè)。方法二：尋找一個(gè)反例11x(n)= (n)y(n)=n (n)=021x

4、(n)=x (n-1)=(n-1) 2( )(1)(1)y nnnn探討該系統(tǒng)是有移變?cè)隽縩的系統(tǒng)，若已知當(dāng)前的輸入是1，而不知當(dāng)前所在時(shí)刻，仍不能確定當(dāng)前的輸出是多少。系統(tǒng)有一個(gè)移變的增益，則系統(tǒng)一定是一個(gè)結(jié)論：移變系統(tǒng)第7頁(yè)/共41頁(yè)第八頁(yè)，共41頁(yè)。例：考慮y(n)=x(2n)是否為移不變系統(tǒng)？nx1(n)0-44123454321第8頁(yè)/共41頁(yè)第九頁(yè)，共41頁(yè)。ny1(n)0-2213513nx2(n)=x1(n-2)0-241234543216第9頁(yè)/共41頁(yè)第十頁(yè)，共41頁(yè)。ny2(n)0-2313531ny1(n)0-2235131第10頁(yè)/共41頁(yè)第十一頁(yè)，共41頁(yè)。單位抽樣

5、響應(yīng)h(n)=T (n)(,x n設(shè)系統(tǒng)輸入序列）輸出序列y(n)( )( ) ()mx nx mnm( )( ) ()my nTx mnm( ) ()mx m Tnm滿(mǎn)足比例性和可加性m=-x(m)h(n-m)滿(mǎn)足移不變性第11頁(yè)/共41頁(yè)第十二頁(yè)，共41頁(yè)。( )( )* ( )y nx nh nLSI系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)第12頁(yè)/共41頁(yè)第十三頁(yè)，共41頁(yè)。1、交換律( )( )* ( )( )* ( )y nx nh nh nx nh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)第13頁(yè)/共41頁(yè)第十四頁(yè)，共41頁(yè)。1212( )*( )*( ) ( )*(

6、 )*( )x nh nh nx nh nh n12( )* ( )*( )x nh nh n21 ( )*( )*( )x nh nh nh1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)第14頁(yè)/共41頁(yè)第十五頁(yè)，共41頁(yè)。1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nx(n)y(n)h1(n)+h2(n)x(n)y(n)第15頁(yè)/共41頁(yè)第十六頁(yè)，共41頁(yè)。某時(shí)刻的輸出只取決于此時(shí)刻和此時(shí)刻以前的時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)。00( )( )|n ny nnnx n0即：n=n 的輸出只

7、取決于的輸入012012對(duì)于因果系統(tǒng)：若nn ，x(n)=x (n)，則nn 時(shí)，y(n)=y (n)非因果系統(tǒng)系統(tǒng)現(xiàn)在的輸出還取決于未來(lái)的輸入第16頁(yè)/共41頁(yè)第十七頁(yè)，共41頁(yè)。（1）、圖像處理。變量不是時(shí)間，此時(shí)，因果性往往不是 根本性的限制。（2）、非實(shí)時(shí)情況。待處理的數(shù)據(jù)事先記錄下來(lái)。例如：()Nkx nk為了去除噪聲的變化，保留總的緩慢的變化趨勢(shì)，常作取平均。1 y(n)=2N+1第17頁(yè)/共41頁(yè)第十八頁(yè)，共41頁(yè)。( )0 n0h n ，引伸更一般的，對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，它的因果性就等效于初始松弛條件。將n0,x(n)=0的序列叫因果序列，表示這個(gè)因果序列可以作為一個(gè)因果系統(tǒng)的單

8、位抽樣響應(yīng)。問(wèn)題：頻率特性為理想矩形的低通濾波器是否為因果系統(tǒng)？第18頁(yè)/共41頁(yè)第十九頁(yè)，共41頁(yè)。BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（）的系統(tǒng)。MP 若： x(n)則： y(n)LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件：( )nh nP LSI結(jié)論：因果穩(wěn)定的系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是因果的（單邊的）且是絕對(duì)可和的。第19頁(yè)/共41頁(yè)第二十頁(yè)，共41頁(yè)。LSIn例：某系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=a u(n),討論其因果性和穩(wěn)定性。1（）、因果性 n0時(shí)，h(n)=0，故為因果系統(tǒng)。2（ ）穩(wěn)定性。01111nnaaaanh(n)第20頁(yè)/共41頁(yè)第二十一頁(yè)，共41頁(yè)。LSIn例：某系統(tǒng)，其

9、單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=-a u(-n-1),討論其因果性和穩(wěn)定性。1（）、因果性 n0時(shí)，h(n)0，故為非因果系統(tǒng)。2（ ）穩(wěn)定性。11111nnaaaanh(n)第21頁(yè)/共41頁(yè)第二十二頁(yè)，共41頁(yè)。00()()NMkmkma y nkb x nm：為未知序列（指輸出序列y(n)）變量序號(hào)的最高值與最低階差值之差。各y(n-k)及各x(n-m)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)；否則時(shí)非線(xiàn)性：線(xiàn)性的。第22頁(yè)/共41頁(yè)第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。手工迭代迭代法序列域求解法計(jì)算機(jī)軟件（MATLAB）經(jīng)典解法變換域求解法第23頁(yè)/共41頁(yè)第二十四頁(yè)，共41頁(yè)。( )01nn差分方程在給定輸入和

10、給定邊界（起始）條件下，可用迭代的方法求系統(tǒng)的響應(yīng)。如果輸入是 (n)這一特定情況，響應(yīng)就是單位抽樣響應(yīng)h(n)。如：利用只在取值為的特點(diǎn)，可用迭代法求h(0)、h(1)、h(2)h(n)。例：常系數(shù)線(xiàn)性差分方程：y(n)-ay(n-1)=x(n)求h(n)。設(shè)初始狀態(tài)為：y(-1)=0。第24頁(yè)/共41頁(yè)第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。設(shè)x(n)= (n)，且y(-1)=h(-1)=0 有y(n)=h(n)=0，n0(0)( 1)(0)1hah依次迭代：h(1)=ah(0)+ (n)=ah(0)=a2h(2)=ah(1)+ (n)=a a=annh(n)=ah(n-1)+ (n)=a +0=anan0

11、 h(n)=0n0( )( )nh na u n或第25頁(yè)/共41頁(yè)第二十六頁(yè)，共41頁(yè)。例：常系數(shù)線(xiàn)性差分方程：y(n)=ay(n-1)+x(n)求h(n)。邊界條件假設(shè)：y(0)=0。0n解：可得時(shí)，y(n)=h(n)=0(設(shè)x(n)= (n)）1(1) ( )( )y ny nx na由方程得：( )00h nn，1(0) (1)(1)0hhxa第26頁(yè)/共41頁(yè)第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。11( 1) (0)(0)hhxaa 21( 2) ( 1)( 1)hhxaa 1( )(1)nh nh naa 00( )0nnh nan(h nn或：）=-a u(-n-1)它是非因果系統(tǒng)。1a，系統(tǒng)穩(wěn)

12、定。第27頁(yè)/共41頁(yè)第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。( )(1)( )(0)1y nay nx ny例：常系數(shù)線(xiàn)性差分方程：邊界條件：。討論它的移不變、線(xiàn)性問(wèn)題。1（）、移不變問(wèn)題11( )( )(0)1x nny令，1112111n111(1)(0)(1) y (2)=ay (1)+x (2)=a y (n)=ay (n-1)+x (n)=ayayxa則：第28頁(yè)/共41頁(yè)第二十九頁(yè)，共41頁(yè)。11(1) ( )( )01y ny nxay nn 同樣利用：遞推求得：，1( )( )ny na u n22( )(1)(0)1x nny令，12( )( )(1)(1)nnny na u nau na

13、un 不是移不變的（2）、線(xiàn)性性問(wèn)題nnn-1n22x1(n)= (n)y1(n)=a u(n)x (n)= (n-1)y (n)=a u(n)+au(n-1)+a u(-n-1)第29頁(yè)/共41頁(yè)第三十頁(yè)，共41頁(yè)。3123( )( )( )( )(1)(0)1x nx nx nnny令；13( )( )(1)nny na u nau n則有：312( )( )( )y ny ny n顯然：LSILSI結(jié)論：一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程并不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)，只有選擇合適的邊界條件才可能是系統(tǒng)。第30頁(yè)/共41頁(yè)第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。01( )( )(1)y nb x na y n例如：一個(gè)一階差分

14、方程：Z-1x(n)y(n)b0-a1第31頁(yè)/共41頁(yè)第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。( )ax t( )ax t（a）抽樣器原理第32頁(yè)/共41頁(yè)第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。( )()TmttmT沖激函數(shù)序列：理想抽樣輸出：( )( )( )( ) () =() ()aaTamamtx ttx ttmTx mttmTxT：抽樣(chu yn)間隔第33頁(yè)/共41頁(yè)第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。()( )aa jFT x t aa設(shè)：X (j )=FTx (t)； T(j )=FT T(t)； X1()()*()2aTaXjjXj 于是：2()()kT jksT 2,sT 即采樣角頻率12()()*()21 =()TaakakXjksXjTXjjks 第34頁(yè)/共41頁(yè)第三十五頁(yè)，共41頁(yè)。/20/2ss 限帶信號(hào)：Xa(j )Xa(j )=第35頁(yè)/共41頁(yè)第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。()Xa j(b)(c)()Xa j(a)()Xa j第36頁(yè)/共41頁(yè)第三十七頁(yè)，共41頁(yè)。22shshff 要想抽樣能夠不失真地還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率（），即抽樣的恢復(fù)/20/2ss TH(j )=()H j0/2s/2s( )h t()H j( )ax t()Xa j( )( )aay