2.3-連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)ppt

1、12.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度1 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義2 概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)3 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量4 小結(jié)小結(jié)2 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類型的隨機(jī)變量對(duì)這種類型的隨機(jī)變量, 不能象離不能象離散型隨機(jī)變量那樣散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個(gè)值概以指定它取每個(gè)值概率的方式率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過而是通過給出所謂給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)

2、變量的下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法描述方法.3一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)定義定義 如果對(duì)于隨機(jī)變量如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)，存在，存在非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) f (x)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，有，有則稱則稱 X 為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)其中函數(shù) f (x) 稱為稱為X 的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱概率密度概率密度. xdttfxF,)()(記為記為 ：X f(x) ，其圖象稱為密度曲線。，其圖象稱為密度曲線。說明：說明： 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

3、連續(xù)函數(shù)。4二二 概率密度概率密度 f(x) 具有具有以下性質(zhì)以下性質(zhì)：. 0)(. 1 xf. 1)(. 2 dxxff (x)0 x1)()(. 31221xFxFxXxP f (x)x01x2x)( .)(2121xxdxxfxx 前兩個(gè)條件是概率密度的前兩個(gè)條件是概率密度的 充分必要條件充分必要條件X落落在在 (x1,x2上概率是概上概率是概率密度在率密度在(x1,x2上的定積分上的定積分值。值。5，均均有有連連續(xù)續(xù)的的點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于一一切切使使xxf)(. 4xdttfxxFxxFxxxxx )(lim)()(lim00事實(shí)上，事實(shí)上，).()(xfxF )()(lim)(lim00

4、xffxxfxx 既有既有).()(xfxF 0 aXP5.設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, 則對(duì)任意的實(shí)數(shù)則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a, 有有注意注意: :連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是密度函數(shù)不是概密度函數(shù)不是概率！率！ 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X 落落在區(qū)間在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極之比的極限限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x) 相當(dāng)于線相當(dāng)于線密度密度.x ,(x

5、xx 若若 x 是是 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)，則的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解: 0limxF xxF xfxx 0limxP xXxxx 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，的高度，并不反映并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這個(gè)高度越大，則但是，這個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點(diǎn)密度也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.8說明：說明： 由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，

6、我們關(guān)心它 在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題它在某一區(qū)間上取值的問題 GdxxfGXP此公式非常重要！此公式非常重要！bxaPbxaPbxaPbxaP 若已知連續(xù)型隨機(jī)變量若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x),則則X在任在任意區(qū)間意區(qū)間G(G可以是開區(qū)間可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間也可以是閉區(qū)間;可以是有限可以是有限區(qū)間區(qū)間,也可以是無窮區(qū)間也可以是無窮區(qū)間)上取值的概率為上取值的概率為271）求3（；)(的分布函數(shù)）求2（;）確定常數(shù)1（其它,043,2230,)(具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量

7、1例XPxFXkxxxkxxfX其它,043,2230,)(解xxxkxxf61得1)(由)1(kdxxf0 x340303(2)0,0,036( )2,34621,4xxxxdxxF xxxdxdxxx分布函數(shù)0 x34 xx x x ,xF xf t dtx 220,0,0312( )32,3441,4xxxF xxxxx 即分布函數(shù) 77413112248PXFF（ ）13例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其它其它021210 xxxxxf的的分分布布函函數(shù)數(shù)試試求求 X解解時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)10 x xdttfdttf00 xtdt022x xdt

8、tfxF0)( xf xdttfxFxxf )(14時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x xdttfdttfdttfdttf221100 21102dtttdt1 xdttfxF xdttfxF的分布函數(shù)的分布函數(shù)量量綜上所述，可得隨機(jī)變綜上所述，可得隨機(jī)變X xxxxxxxxF2121122102002215二、一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量二、一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1. . 均均 勻勻 分分 布布定義定義 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其其它它01bxaabxf記作記作 X U a , b xbbxaa

9、baxaxxF10abxF (x)01X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間服從區(qū)間 a,b 上的均勻分布上的均勻分布. .161 顯然，顯然， ；，有有對(duì)對(duì)任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab1 是是密密度度函函數(shù)數(shù)其其它它故故 01bxaabxf17均勻分布的概率背景均勻分布的概率背景XXabllx0 lccdxxflcXcP)(既有：既有：.1abldxablcc 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X服從區(qū)間服從區(qū)間 a,b 上的均勻分布上的均勻分布, ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X在在區(qū)間區(qū)間 a,b 上任意一個(gè)子區(qū)間上取值的概率與該

10、區(qū)間的長(zhǎng)上任意一個(gè)子區(qū)間上取值的概率與該區(qū)間的長(zhǎng)度成正比度成正比, ,與該區(qū)間的位置無關(guān)與該區(qū)間的位置無關(guān). .此時(shí)可認(rèn)為隨機(jī)變量此時(shí)可認(rèn)為隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上取值是等可能的上取值是等可能的. .18例例5 設(shè)公共汽車站從上午設(shè)公共汽車站從上午7 7時(shí)起每隔時(shí)起每隔15分鐘來一班車分鐘來一班車, ,如果某乘如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到到7:30之間的均勻隨機(jī)變量試求之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)間不超過該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率分鐘的概率解：解：其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為 其它其它0300301xxf令：令：B=候車時(shí)間不超過候車時(shí)間不超過5

11、分鐘分鐘 ,則則 BP 30251510301301dxdx31 乘客到達(dá)此站的時(shí)間是乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到到7:30之間的均勻隨機(jī)變量之間的均勻隨機(jī)變量 設(shè)該乘客于設(shè)該乘客于7時(shí)時(shí)X 分到達(dá)此站分到達(dá)此站, , X 服從區(qū)間服從區(qū)間 0,30 上的均勻分布上的均勻分布 30251510 XPXP19例例 6 上上的的均均勻勻分分布布，服服從從區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量31 Y試試求求方方程程0)2(442 YxYx有有實(shí)實(shí)根根的的概概率率 其它其它03141yyf解解 隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y Y的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為： 有有實(shí)實(shí)根根方方程程設(shè)設(shè)：0)2(442 YxYxA 0)

12、2(4442 YYPAP則則 021 YYP 21 YYP或或 321410dxdx41 202.指指 數(shù)數(shù) 分分 布布定義定義 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為0其中為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為 的指數(shù)分布記為：記為： 0100 xexxFx 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為( )XE說明說明 指數(shù)分布常用于近似表示指數(shù)分布常用于近似表示 “壽命壽命”分布，如：分布，如：服務(wù)時(shí)間，某消耗品的壽命，放射性元素的衰變期等，服務(wù)時(shí)間，某消耗品的壽命，放射性元素的衰變期等，指數(shù)分布在排隊(duì)論與可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用。指數(shù)分布在排隊(duì)論與可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用。 1,0,0 ,x exfx 其

13、其它它, ,/1,0( )0,xexF xP Xx 其它若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為事實(shí)上事實(shí)上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), xF xf t dt 01txedt 0 xdt 22例例 7解解 00010110 xxexfx 2010 XPBP令：令：B= 等待時(shí)間為等待時(shí)間為1020分鐘分鐘 ,則則 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0 設(shè)打一次電話所用的時(shí)間設(shè)打一次電話所用的時(shí)間X(分鐘分鐘)是服從參數(shù)為是服從參數(shù)為

14、=1/10的指數(shù)分布的指數(shù)分布.如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間,求你需求你需要等待要等待1020分鐘的概率分鐘的概率.X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為X(分鐘分鐘)是服從參數(shù)為是服從參數(shù)為=1/10的指數(shù)分布的指數(shù)分布233.正正 態(tài)態(tài) 分分 布布0 xf (x)(1) 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)如果連續(xù)型隨機(jī)變量如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 xexfx22221 ( (其中其中(-(-0),),則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,2的的正態(tài)分布正態(tài)分布, ,由稱高斯分布由稱高斯分布. .記為記為: :XN(,2)24密度函

15、數(shù)的驗(yàn)證密度函數(shù)的驗(yàn)證 121222 dxedxxfx 只驗(yàn)證只驗(yàn)證 12122 dxedxxx )2(22 dxex dxedxexx2222122121則有則有12122 dueu 見高等見高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（下）（下）二重積二重積分分 dxduxu 則則，作變換：作變換：25由正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形知：由正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形知：xf (x)0hh hXPXhP 21 f 對(duì)對(duì)于于同同樣樣長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的值值就就越越小小這這表表明明，越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)，離離xfx .越越小小落落在在該該區(qū)區(qū)間間中中的的概概率率就就越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)時(shí)時(shí)，隨隨機(jī)機(jī)變變量量離離X (1) 曲線關(guān)于直線曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱對(duì)稱, ,這表明

16、這表明：對(duì)任意的：對(duì)任意的h0,有有(2) 當(dāng)當(dāng)x=時(shí)時(shí), f(x)取到最大值取到最大值26(3) 曲線曲線y=f(x)在在x=+, , x=-時(shí)處有拐點(diǎn)時(shí)處有拐點(diǎn);曲線以曲線以x軸為軸為漸近線漸近線.(4) 若若固定固定, ,改變改變的值的值,則則y=f(x)的圖形沿的圖形沿x軸平行移動(dòng)軸平行移動(dòng),但圖但圖形的形狀不改變形的形狀不改變.(5) 若若固定固定, ,改變改變的值的值,當(dāng)當(dāng)越小越小, ,則則y=f(x)的圖形越陡的圖形越陡,即即X落在落在值附近的概率越大值附近的概率越大; ;反之反之, ,當(dāng)當(dāng)越大越大, ,則則y=f(x)的圖形的圖形越平緩越平緩,表明表明X取值越分散取值越分散.

17、21)( fxf的的最最大大值值為為 所確定圖形的位置完全由參數(shù)xfy xf (x)027 特別是特別是,當(dāng)當(dāng)=0,2=1時(shí)稱正態(tài)分布為時(shí)稱正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 xexx2221 0 xf (x)其圖形如右其圖形如右布布.記為記為:N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為:28 ，則其分布函數(shù)為，則其分布函數(shù)為，若若2 NX xdtedttfxFxtx222)(21 )(1)(xx （2）分布函數(shù)分布函數(shù) ，則其分布函數(shù)為，則其分布函數(shù)為，若若10 NX xdtedttxxtx2221 且有且有29 xtxdtedttx2221 xuduex2221 xu

18、due2221 xudue22211 x0)(xx-x證明：證明：由公式有，由公式有，作變換作變換t =-，dt = -d得得 x 130 abbXaP ) 1 (說明說明 12 bbbbXP(2) 對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有，有當(dāng)當(dāng)0 x4 時(shí)，從附表直接只查時(shí)，從附表直接只查( (x).). 0005 . 01xxxxxx當(dāng)當(dāng)x4 時(shí)，時(shí)，( (x)=1;)=1;當(dāng)當(dāng)-4x時(shí)，時(shí)，( (x)=0.)=0.當(dāng)當(dāng)-4x0 時(shí)，時(shí)，( (x)=1-)=1-(-(-x).).31(3) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系 )1, 0(. 12NXYNX ，則，則，設(shè)設(shè) y

19、XPyYPyFY ytdte 22221 dtdutu ，則則作作變變換換 yuYdueyF2221 y yXP 32 ,有有故對(duì)任意的故對(duì)任意的ba xxFX)(. 2該公式給出了一般正態(tài)分該公式給出了一般正態(tài)分布分布函數(shù)值的求法布分布函數(shù)值的求法)(xXPxFX )( x xXP).()-(X abbaP33 xxfX1)(. 3222)(21)( xXexf22)(21211 xe x1該公式給出了一般正態(tài)該公式給出了一般正態(tài)分布概率函數(shù)值的求法分布概率函數(shù)值的求法34例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN(0,1) , ,試求試求: (: (1) P1X2;解：解： 21 XP841340977250. 135910. 21 XP 112 8413401977250. 818590. 12 12 21 XP35例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(2,9) 試求試求: :( (1) P1X5; ；062 XPXP解解 51 X