[工學(xué)]D6考研基礎(chǔ)班

1、1定積分的應(yīng)用 若能把某個量表示若能把某個量表示成定積分成定積分,我們就可以我們就可以應(yīng)用定積分計(jì)算這個量應(yīng)用定積分計(jì)算這個量第六章2( )iiiAfx ，1iiixx ，(3) 求和，求和，1( ).niiiAfx (4) 求極限，求極限，01lim()niiiAfx 相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，個小窄曲邊梯形，小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯形的面積為,iA 則則1niiAA (2)計(jì)算計(jì)算iA 的近似值，的近似值，而第而第i個個(1)把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個長度為個長度為ix 的小區(qū)間的小區(qū)間，,1iixx 得得A的近似值的近似值,得得A的精確值的精確值

2、.回顧：回顧：曲邊梯形的曲邊梯形的面積面積表示為表示為定積分定積分的步驟：的步驟：ab xyoA)(xfy ( )dbaf x x 1ix ix 3abxyoA( )yf x xdxx Ad對以上過程進(jìn)行簡化對以上過程進(jìn)行簡化:的面積，的面積，則則xxfAd)( 取取, x 面積元素面積元素若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxxd 上的窄曲邊梯形上的窄曲邊梯形 xxfAd)(lim.d)( baxxfAA d ,A記記為為：d( )dAf xx 則則，dAA dA ( )df xx ，這種簡化以后的定積分方法叫這種簡化以后的定積分方法叫“微元法微元法”或或“元素法元素法”4一、定積分

3、的元素法一、定積分的元素法1.什么問題可以用定積分（元素法）解決什么問題可以用定積分（元素法）解決 ?表示為表示為01lim()niiiUfx 1) 所求量所求量 U 是與區(qū)間是與區(qū)間a , b上有定義的上有定義的f (x) 有關(guān)的有關(guān)的2) U 對區(qū)間對區(qū)間 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通過即可通過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”( )dbaf xx 01lim()niiifx 定積分定義定積分定義一個整體量一個整體量 ;5.d)( baxxfU第一步，第一步，根據(jù)具體情況根據(jù)具體情況選取積分變量，選取積分變量，確定確定x的變化的變化區(qū)間區(qū)間a,

4、b.第二步，第二步，把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個小區(qū)間，個小區(qū)間， 取一代表區(qū)間取一代表區(qū)間，,xxxd 求出該區(qū)間上所求量的部分量的求出該區(qū)間上所求量的部分量的；xxfUd)(d 稱為量稱為量U的微元的微元.第三步，第三步，寫出定積分的表達(dá)式：寫出定積分的表達(dá)式：近似表達(dá)式近似表達(dá)式這個方法通常叫做這個方法通常叫做元素法元素法x如如：元素的幾何形狀常取為元素的幾何形狀常取為: 條條,帶帶,段段,環(huán)環(huán),扇扇,片片,殼殼等等2.應(yīng)用定積分的元素法解決問題的具體步驟是：應(yīng)用定積分的元素法解決問題的具體步驟是：63. (1)U是與一個變量是與一個變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量有關(guān)的量.(

5、2)U對于區(qū)間對于區(qū)間a,b具有可加性，具有可加性，則則U相應(yīng)地分成許多相應(yīng)地分成許多即如果把區(qū)間即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間，分成許多部分區(qū)間，部分量，部分量， 而而U等于所有部分量之和等于所有部分量之和.則則U在在a,b 上的值可由定積分上的值可由定積分( )dUf xx ，示為示為(3) 在在a,b中任取的小區(qū)間中任取的小區(qū)間,xxxd 上的部分量上的部分量U 與區(qū)間長度與區(qū)間長度dx可以通過可以通過x的某函數(shù)的某函數(shù)( )f x乘積近似表乘積近似表 ( )dbaf xx 來計(jì)算來計(jì)算.71. 直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算(1)( )( 0)yf x

6、 設(shè)設(shè)曲曲線線與與直直線線,()xa xb abx 及及 軸軸所所圍圍曲曲邊邊梯形的面積為梯形的面積為 A. baxxfAd)(ba( )yf x xoyxdxx dA( )( ),yf xyg x axb ， ( )( )f xg x 所圍圖形的面積所圍圖形的面積.其面積元素為：其面積元素為：d ( )( )dAf xg xx ，則面積為則面積為 baxxgxfA d)()( )yf x ( )yg x xdxx 二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用8 dcyyA d)( dcyyyA d)()( (3)(, 0)xyc d 以以為為曲曲邊邊, ,以以為為底底的的曲曲邊邊梯梯

7、形形( )( ),xyxy cyd ， ( )( )yy 所圍圖形的面積所圍圖形的面積.其面積元素為：其面積元素為：d ( )( )dAyyy ，則面積為則面積為xoy( )xy ( )xy cdxyocd( )xy y+dyyy+dyy的面積的面積A.d( )dAyy 9,(),xa xb abxA 及及 軸軸所所圍圍曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為則則(5)( ) , ,( )f xa byf x 當(dāng)當(dāng)在在上上有有正正有有負(fù)負(fù)時時 設(shè)設(shè)曲曲線線與與直直線線abyxO( )yf x 1A2A3AxxfAd)(d xxfAd)(d xxfAd)(d ba1)( )0f x 時時, ,2)( )

8、0f x 時時, ,.d baxyxxfd)( A10回顧：極坐標(biāo)系回顧：極坐標(biāo)系1. 極坐標(biāo)系的定義：極坐標(biāo)系的定義： 在平面上取定一點(diǎn)在平面上取定一點(diǎn)o， 叫做叫做極點(diǎn)極點(diǎn).從極點(diǎn)出發(fā)引一條射線從極點(diǎn)出發(fā)引一條射線Ox,叫叫極軸極軸， 并取定一個并取定一個長度單位長度單位和計(jì)算角度的和計(jì)算角度的正方向正方向(通常取通常取逆時針方向作正方向逆時針方向作正方向),這樣這樣就建立了一個就建立了一個平面極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系.x1 2 3 4o. 2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化cos ,sin .xy 222,tan, (0)xyyxx xoy (,) ),(yxyx P P (

9、 , ) 0,02 11過點(diǎn)過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程cosa 過極點(diǎn)且傾角為過極點(diǎn)且傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程為的射線的極坐標(biāo)方程為 xo( , )P yxo( , )P .Mbycos ,sin .xy 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系關(guān)系:sinb 軸的直線方程為軸的直線方程為過點(diǎn)過點(diǎn)M 且平行于極且平行于極( ,)2b xa yb 3. 幾個常用曲線的極坐標(biāo)方程幾個常用曲線的極坐標(biāo)方程xoy M(a,0)( , )P 12xo ry圓極坐標(biāo)方程圓極坐標(biāo)方程r o ( , )P xy2a2 cosa o ( , )P xy2a2

10、sina 圓極坐標(biāo)方程圓極坐標(biāo)方程圓極坐標(biāo)方程圓極坐標(biāo)方程axyx222 ayyx222 222ryx ( , )P 132. 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算( ),( )0 ,C 設(shè)設(shè)求由曲線求由曲線( ) 及及, 射射線線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積.( ) x d 解解:在區(qū)間在區(qū)間, 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,d 則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 21d( )d2A 所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為21( )d2A o212SR 圓圓扇扇形形 d 143.已知平行截面面積函數(shù)的立體體積已知平行截

11、面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ( ) , A xa b在在則在小區(qū)間則在小區(qū)間 ,d x xx 的體積元素為：的體積元素為：立體體積為：立體體積為：上連續(xù)上連續(xù),xA(x)xab( )dbaVA xx d( )dVA xx dxx 15(1)曲邊梯形曲邊梯形2 ( )f x 旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：( ) ()yf xaxbx繞繞軸軸dxbaV (2)曲邊梯形曲邊梯形( ) ()xycyd 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積為：2 ( )y dydcV xoy(

12、 )xy cdy( )dbaVA xx y4.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積oabx( )yf x x16abyxoxdx生成的旋轉(zhuǎn)的體積生成的旋轉(zhuǎn)的體積.u求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積x+dx( ),0yf xxa xb yy 求求曲曲邊邊梯梯形形，繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周( )yf x 2()xfx內(nèi)表面積：內(nèi)表面積：d2( )dVxf xx 2( )dbyaVxf xx 柱殼法柱殼法17abyxoxdx生成的旋轉(zhuǎn)的體積生成的旋轉(zhuǎn)的體積.u求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法柱殼法x+dx( ),0yf xxa xb yy 求求曲曲邊邊梯梯形形，繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周( )yf x d2( )dV

13、xf xx 2( )dbyaVxf xx ()dfxx底面積：底面積：18圍成的曲邊梯形繞圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周所以：由連續(xù)曲線所以：由連續(xù)曲線( ),()yf xxa xb abx 直直線線及及 軸軸所所2( )dbyaVxf xx 類似地，類似地， 如果旋轉(zhuǎn)體是由如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線連續(xù)曲線( ),xy 直直線線,()yc yd cdy 及及 軸軸所所圍圍成成x的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周2( )ddxcVyyy dxx xyoabx( )yf x 而成的立體的體積而成的立體的體積.dyy yxoy( )xy cd而成的立體的體積而成的立體的體積.1

14、95. 弧長弧長 (數(shù)數(shù)1、數(shù)、數(shù)2)yxoab( )yf x 2 1d ,basyx (1)( )yf x 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程：( ):( )xtyt (2)參數(shù)方程參數(shù)方程.d)()(22ttts (3)極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程() ( ) 22( )( )d .s 注意注意: 求弧長時積分上求弧長時積分上下限必須下限必須上大下小上大下小d .ss 大大小小sdyxO)(xfy xxxddxdyds222(d ) =(d )(d )sxy 222(d ) =(d )(d )sxy 206.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(數(shù)數(shù)1、數(shù)、數(shù)2)設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線1( ) , ,yf x

15、C a b 求求( ) 0,f x 且且它繞它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .xyoabxyoab ,d x xx 位位于于上上的的圓圓臺臺的的側(cè)側(cè)面面積積d2dSy s 積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積22( ) 1( ) dbafSxfxx 取側(cè)面積元素取側(cè)面積元素:2( )f x 21( ) dfxx abx( )yf x 221d .bxaAyyx dsxyoab( )yf x ds(注意在不同坐標(biāo)系注意在不同坐標(biāo)系下下 ds 的表達(dá)式的表達(dá)式)21dxx xyoabx( )yf x dyy yxoy( )xy cd2 ( )

16、 dyy dycV 2 ( ) dbxaVf xx 2( )dbyaVxf xx 2( )ddxcVyyy ( )dbaAf xx ( )ddcAyy dbay x ddcx y 2 1d ,basyx 22( ) 1( )d .bxaAf xfxx 22注意：注意：1) 以上公式都要求以上公式都要求2) 復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會分割復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會分割.3) 不能用公式時應(yīng)會元素法不能用公式時應(yīng)會元素法.,.ab cd4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程則上述公式可以用定積分的換元法處理則上述公式可以用定積分的換元法處理.( )().( )xttyt 5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程

17、若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程：則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程：(), ) )( )cos()( )sinxy 6)與弧長有關(guān)時與弧長有關(guān)時,其限應(yīng)其限應(yīng)上大下小上大下小.23sin,cos1,.0yx yxxx 求求例例曲曲線線及及所所圍圍成成.平平面面圖圖形形的的面面積積cosyx sinyx 2解解:sincosyxyx 與與的的交交點(diǎn)點(diǎn)2(,),42坐坐標(biāo)標(biāo)為為則則所所求求面面積積為為：0cossin dAxx x 404=(cossin )d(sincos )dxxxxxx =2 2.典型例題分析典型例題分析xyo243sin,2.1sin 求求夾夾在

18、在例例兩兩曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)部部平平面面圖圖形形的的面面積積. .解解:21( )d2A 面面積積公公式式3sin1sin 解解方方程程組組6 得得，22621206112( )d( )d 22A 則則所所求求面面積積為為226206(3sin) d(1sin) d xyo(2010).0 .re 研研 當(dāng)當(dāng)時時, ,對對練練數(shù)數(shù)螺螺線線的的弧弧長長為為習(xí)習(xí)2(1)e 6 3221( )d2A 面面積積公公式式( ) xo A253 (03.),yx xA 過過曲曲線線 上上點(diǎn)點(diǎn) 作作切切線線 使使該該例例切切線線與與曲曲線線3:4xD及及 軸軸圍圍成成的的平平面面圖圖形形 的的面面積積為為 ，

19、求求(1) (2)ADx點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)； 求求 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得立立體體的的體體積積. .xyo3yx A0 xB解：解：300(1)(,),Axx設(shè)設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為231,3yx 則則切切線線方方程程為為2330001(),3yxxxx 002,yxx 令令，得得0( 2,0),Bx 則則 點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為依題意有依題意有033000133d,24xxxx x 01x 解解得得，01y ， (1,1).A則則點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(2)Dx繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得的的體體積積為為122301 13() d3Vxx 12302=() d.5xx 126例例4.

20、計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線224yxyx 與與直直線線所所圍圍平平面面圖圖形形解：解： 如圖，如圖，V 802 dx x 21443 1283 x22yx oy4yx (8,4)(2,2) x繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. .xx分分析析：軸軸所所求求體體積積等等于于的的方方平平面面圖圖形形繞繞上上軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. .求兩曲線的交點(diǎn)求兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy482 ( ) dbaVf xx 27而成的而成的旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積.分析：分析： 無公式可用無公式可用,可用元素法可用元素法.如

21、圖如圖:例例5. 0,lnyxeyxxe 求求由由及及所所圍圍圖圖形形繞繞旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)解法解法1:選擇選擇 y 作積分變量作積分變量,0,1y xyo1elnyx xe ydyy 2d() dyVeey 則則120() dyVe ey 解法解法2:選擇選擇 x 作積分變量作積分變量,1, xe xyo1elnyx xe xdxx d2 ()ln dVexx x 則則12 ()ln deVexx x 1211(2)22ee 280 xe思考思考:過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線lnyx 軸圍成平面圖形軸圍成平面圖形D.解解: (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,x則所求切線方程為則所求切線方

22、程為0001ln()yxxxx lnyxx 曲曲線線及及0ln10,x 由切線過原點(diǎn)知由切線過原點(diǎn)知的切線的切線. 該切線與該切線與0,xe 故切線方程為故切線方程為1yxe yxe Dlnyx yOx1yxe 1(2003考研考研)1.2e111ln d2eAexx 1(1) 求求 D 的面積的面積;(2) 求求D 繞直線繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.29(2) 求求D 繞直線繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(2) 切線、切線、x 軸及直線軸及直線2113Ve 所圍三角形繞直線所圍三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為：

23、旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為：曲線、曲線、x 軸及直線軸及直線1220() dyVeey 所圍圖形繞直線所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所旋轉(zhuǎn)所2(41)2ee 因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為：因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為：21251236VVVee 得旋轉(zhuǎn)體體積為：得旋轉(zhuǎn)體體積為：xe xe xe xe 0 xeyxe Dlnyx yOx1yxe 113033cos,si6.nxatyat 例例 設(shè)設(shè)曲曲線線求求(1)曲曲線線所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積；解解:0(1)4daAy x 所所求求的的面面積積334( sin)d( cos)atat 03224( sin)(3 cos)( sin )datattt 242201

24、2sincos datt t 2462012sinsindattt 23!5!124! 26! 2a 23.8a02 31(2)x曲曲線線所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得立立體體的的體體積積；解解:20(2)2daxVyx 所所求求的的體體積積323022( sin) d( cos)atat 372206sincos datt t 379206sinsindattt 26!8!12()7!9!a 332.105a33cos,si6.nxatyat 例例 設(shè)設(shè)曲曲線線求求32(3)求求曲曲線線的的全全長長；解解:20(3)41daSyx 曲曲線線全全長長2332024(

25、 cos) ( sin) datatt 2222204( 3 cossin )(3 sincos ) dattattt 22222012sincos(sincos)dattttt 2012sin cos datt t 2012sin d(sin )att 1.6a33cos,si6.nxatyat 例例 設(shè)設(shè)曲曲線線求求33(4)x求求曲曲線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的面面積積. .解解:20(4)22 ( ) 1( )daxAf xfxx 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的面面積積332322022() ( cos) (sinsin) datatatt 23022(3 sin cosi

26、n)d)satttat 2042sidn12costat t 2520112sin5at 212.5a33cos,si6.nxatyat 例例 設(shè)設(shè)曲曲線線求求ds34(1)求由擺線求由擺線(sin ),(1cos )xa ttyat(0)a 的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .(2) 計(jì)算擺線計(jì)算擺線(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 的一拱與的一拱與 y0所圍所圍成的圖形分別繞成的圖形分別繞 x 軸軸 ,y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .(3) 計(jì)算擺線計(jì)算擺線(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 的一拱的長度的

27、一拱的長度.a2xx dy(sin )(1 cos )x a tty at x練習(xí)題：練習(xí)題：35提示提示:計(jì)算擺線計(jì)算擺線(sin )(0)0(1cos )xa ttayyat 的的一一拱拱與與所所圍圍成成的的平面圖形分別繞平面圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解：解：繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為220daxVyx 235a P280例例82220(1co(1cos )ds )aattt a2xxdy(sin )(1 cos )xa ttyat x用柱殼法求用柱殼法求 較好較好yV202dayVxy x 0202xat2 (sin )a

28、 tt (1 cos )at 22dt02 336a 23202(sin ) (1 cos ) datttt 36證證: 221 01dsyx 222 01cosdax x 設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1,s2,s22220( )( ) dsxyt 例例7. 證明正弦線證明正弦線sin (02 )yaxx 的弧長等于的弧長等于橢圓橢圓 (02 )t 的周長的周長.21sinyatcosxt 22220(sin )(1)(cos ) dtatt 22201cosdax x 12ss故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.22201cosdat t 37試用定積分求圓試用定積分求圓22(5)16yxx

29、繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)oxy454 上上半圓為半圓為2516yx下下22(516)x 22(516)x 402V dx2160 求體積求體積 :解解:方法方法1 利用對稱性利用對稱性而成的環(huán)體體積而成的環(huán)體體積 V 及表面積及表面積 S .方法方法2 用柱殼法用柱殼法dV 2 y 2x dy 914V 216 (5) dyyy 2160 454 oxyy 420220 16dxx 54sinyt 令令例例8.38oxy454 上上半圓為半圓為2516yx下下解解: 求側(cè)面積求側(cè)面積 :402 22 (516)x 21dyx 上上S 402 22 (516)x 21dyx 下下280 224022 (

30、5126)(1)16xxx 2222 (516)1() d16xxxx 22( ) 1( )d .bxaAf xfxx 0241d16160 xx 試用定積分求圓試用定積分求圓22(5)16yxx 繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積而成的環(huán)體體積 V 及表面積及表面積 S .例例8.392116dyy 解：解：如圖如圖2116limdbbyy 1116lim ()bby 16 21dyVxy 4,1,0 xyyxy 求求由由所所圍圍圖圖形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的立體的體積立體的體積.xyo144xy 例例9. 21()(1ln)yexxxx 設(shè)設(shè)位位于于曲曲線線下下練練習(xí)習(xí)方方, ,: :軸

31、軸上上方方GGx的的無無界界區(qū)區(qū)域域 , ,則則 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所形形成成的的立立體體的的體體積積 .(2010)為為年年研研數(shù)數(shù)三三24 40( )( ),(0)V tyf xxtxxt表表示示及及軸軸所所圍圍圖圖形形繞繞直直線線例例10.( )yf x 設(shè)設(shè)在在 x0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), (0)0,f 且且旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明證明:( )2( ) .Vtft 證證: 利用柱殼法利用柱殼法d2 () ( )dVtx f xx 則則0( )2 () ( )dtV ttx f xx 02( )dttf xx 02( )dtx f xx 0( )2( )dtV tf xx 2( )tf t 2( )tf t ( )2( )Vtf t 故故xtdxx xyo( )yf x xtdxx xyo( )yf x 4143 2(1132)1yxxx 曲曲線線, ,直直線線及及 軸軸所所年年數(shù)數(shù)圍圍的的平平面面圖圖形形 .x繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為0tan d (0) (111,4) .2xyt txs 曲曲線線的的弧弧長長年年數(shù)數(shù)ln(12) 思考題：思考題：(94 年數(shù)年數(shù)):求曲線求曲線231yx 與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直