函數極限的概念07027PPT學習教案

1、會計學1函數極限的概念函數極限的概念07027一、極限存在準則一、極限存在準則1.夾逼準則夾逼準則準則準則 如果數列如果數列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數列那末數列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁/共22頁,1 ayNnn時恒有時恒有當當,2 azNnn時恒有時恒有當當,max21NNN 取取上兩式同時成立上兩式同時成立, ayan即即, azan恒有恒有時時當當,Nn , azxyannn,成立成立

2、即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限第2頁/共22頁準則準則 如果當如果當)(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .)(xhy )(xfy )(xgy A A0 x 0 x 0 x）（）（1 2 A第3頁/共22頁準則準則 和準則和準則 稱為稱為夾逼準則夾逼準則.注意注意: :.,).1(的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與

3、與鍵是構造出鍵是構造出利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關nnnnzyzy時的情形也成立時的情形也成立此準則對于此準則對于 x).2()()()(xhxfxg 夾逼定理示意圖夾逼定理示意圖A第4頁/共22頁例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第5頁/共22頁2.單調有界準則單調有界準則滿足條件滿足條件如果數列如果數列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxx

4、x單調減少單調減少單調數列單調數列準則準則 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限. 幾何解釋幾何解釋:x1x2x3xnx1 nxMA第6頁/共22頁例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數列證明數列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第7頁/共22頁第8頁/共22頁二、兩個重要極限

5、二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx首先注意到首先注意到都有定義都有定義對一切對一切函數函數0sin xxx設法構造一個設法構造一個“夾逼不等式夾逼不等式”，使函數，使函數xxsin在在x=0的某去心鄰域內置于具有同一極限值的兩個的某去心鄰域內置于具有同一極限值的兩個函數函數 g(x), h(x) 之間，以便應用之間，以便應用準則準則第9頁/共22頁作如圖所示的單位圓作如圖所示的單位圓AC)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設單位圓設單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形

6、,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 x第10頁/共22頁xxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注此結論可推廣到此結論可推廣到1)()(sinlim xxax 有限值，也可為有限值，也可為可為可為，其中，其中時時條件是條件是axax0)(, 第11頁/共22頁例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原

7、式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例4 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原式原式第12頁/共22頁 xxxxxxcos1cos1sinlim2011211 例例5 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx時時則當則當 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt第13頁/共22頁(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設設 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1

8、()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 第14頁/共22頁類似地類似地,).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e第15頁/共22頁,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxx

9、xxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第16頁/共22頁, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim此結論可推廣到此結論可推廣到 exxax )(1)(1lim 有限值，也可為有限值，也可為可為可為，其中，其中時時條件是條件是axax0)(, 注注特別有特別有第17頁/共22頁ettt 10)1(limezzz 10)1(lim例例6 6.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例7 求求xxxx 11lim第18頁/共22頁解一解一)121()121(lim221 xxxx原式原式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 第19頁/共22頁三、小結三、小結1.兩個準則兩個準則夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .2.兩個重要極限兩個重要極限,為某過程中