函數(shù)的求導(dǎo)法則90625PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則90625xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容第1頁/共35頁定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu

2、)0)(xv第2頁/共35頁法則可推廣到任意有限項的情形.wvuwvu)( ,例如第3頁/共35頁推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )第4頁/共35頁解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第5頁/共35頁推論推論: 4)2vvCvC( C為常數(shù) )第6頁/共35頁 )(csc xxsin1x2s

3、in)(sinxx2sin,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第7頁/共35頁第8頁/共35頁 )( xf定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), ,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf1第9頁/共35頁1解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(si

4、nyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則第10頁/共35頁, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時,小結(jié)小結(jié):第11頁/共35頁第12頁/共35頁在點 x 可導(dǎo),定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) f

5、y )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導(dǎo),第13頁/共35頁例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).第14頁/共35頁. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax第15頁/共35

6、頁,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee第16頁/共35頁第17頁/共35頁思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中第18頁/共35頁第19頁/共35頁, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見 P96 例例17. 2shxx

7、eex的反函數(shù)第20頁/共35頁第21頁/共35頁1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x第22頁/共35頁 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求

8、導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)第23頁/共35頁求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln第24頁/共35頁求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin x

9、e2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第25頁/共35頁求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第26頁/共35頁第27頁/共35頁求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P95)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思

10、考與練習(xí)對嗎?2114341xx第28頁/共35頁第29頁/共35頁, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),第30頁/共35頁解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln第31頁/共35頁),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f第32頁/共35頁P 97 習(xí)題2-2 3 (2); 5; 6 (9) ; 7 (5) (8) (10) ;8 (5) (8) (10) ; 1