函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及基本性質(zhì)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及基本性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及基本性質(zhì) 有有限限個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的和和仍仍是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，有有限限個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的和和的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分也也分分別別等等于于他他們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分的的和和對對于于無無限限個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的和和是是否否具具有有這這些些性性質(zhì)質(zhì)呢呢？對對于于冪冪函函數(shù)數(shù)是是這這樣樣的的，那那么么對對于于一一般般的的函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)是是否否如如此此？問題:第1頁/共33頁解,)(nnxxs 且且得和函數(shù)：因?yàn)樵摷墧?shù)每一項(xiàng)都在0,1是連續(xù)的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(處間斷處間斷在在

2、和函數(shù)和函數(shù) xxs例1考察函數(shù)項(xiàng)級數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx和函數(shù)的連續(xù)性第2頁/共33頁 函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)的的每每一一項(xiàng)項(xiàng)在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且級級數(shù)數(shù)在在,ba上上收收斂斂，其其和和函函數(shù)數(shù)不不一一定定在在,ba上上收收斂斂同同樣樣函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)的的每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分所所成成的的級級數(shù)數(shù)的的和和也也不不一一定定等等于于他他們們和和函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分結(jié)論 對對什什么么級級數(shù)數(shù)，能能從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的連連續(xù)續(xù)性性得得出出和和函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性，從從每每一一項(xiàng)項(xiàng)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分所所成成的的級級數(shù)數(shù)之之和和得得出

3、出原原來來級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及積積分分呢呢？問題第3頁/共33頁 設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級數(shù)設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1)(nnxu如果對于任意如果對于任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，都存在著一個(gè)只依賴于，都存在著一個(gè)只依賴于 的自的自然數(shù)然數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)Nn 時(shí)，對區(qū)間時(shí)，對區(qū)間I上的一切上的一切x，都有不等式，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，則成函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成立，則成函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間I上一致上一致收斂于和收斂于和)(xs，也稱函數(shù)序列，也稱函數(shù)序列)(xsn在區(qū)間在區(qū)間I上上一致收斂于一致收斂于)(xs定義第4頁/共33頁 只要只要n充分大充分大)(Nn

4、,在區(qū)間在區(qū)間I上所有曲上所有曲線線)(xsyn 將位于曲線將位于曲線 )(xsy與與 )(xsy之間之間.xyoI )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 幾何解釋:第5頁/共33頁 研究級數(shù)研究級數(shù) 111112111nxnxxxx在區(qū)間在區(qū)間), 0上的一致收斂性上的一致收斂性.例2解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxsnnn余項(xiàng)的絕對值)0(11)()( xnnxxsxsrnn第6頁/共33頁對于任給對于任給0 ，取自然數(shù)，取自然數(shù) 1 N，則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)，對于區(qū)間時(shí)，對于區(qū)間, 0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根根據(jù)據(jù)定定義義，所所給給級

5、級數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間, 0 上上一一致致收收斂斂于于. 0)( xs第7頁/共33頁例3研究例1中的級數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在區(qū)間( 0 , 1內(nèi)的一致收斂性.解 該級數(shù)在區(qū)間該級數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)處處收斂于和內(nèi)處處收斂于和0)( xs，但并不一致收斂但并不一致收斂對于任意一個(gè)自然數(shù),n取取nnx21 ，于是，于是,21)( nnnnxxs, 0)( nxs但但.21)()()( nnnnnxsxsxr從而從而第8頁/共33頁只要取只要取21 ，不論，不論n多么大，在多么大，在(0,1)總存在總存在點(diǎn)點(diǎn)nx，,)( nnxr使得使得因此級數(shù)在( 0, 1 )內(nèi)不一致連續(xù)說明

6、:從下圖可以看出:但雖然函數(shù)序列nnxxs )(在( 0, 1 )內(nèi)處處,0)( xs)(xsn在( 0, 1 )內(nèi)各點(diǎn)處收收斂于斂于零的“快慢”程度是不一致的第9頁/共33頁oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收斂一致收斂上上，這級數(shù)在，這級數(shù)在注意：對于任意正數(shù)注意：對于任意正數(shù), 01rr 小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)第10頁/共33頁定理（魏爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法）如如果果函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間I上上滿滿足足條條件件: :(1)(1) )3 , 2 , 1()( naxunn; ;(2) (2) 正

7、項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) 1nna收斂收斂, ,則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間I上一致收斂上一致收斂. .一致收斂性簡便的判別法：第11頁/共33頁證 由由條條件件(2)，對對任任意意給給定定的的0 ，根根據(jù)據(jù)柯柯西西審審斂斂原原理理存存在在自自然然數(shù)數(shù)N，使使得得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí)，對對于于任任意意的的自自然然數(shù)數(shù)p都都有有.221 pnnnaaa由由條條件件(1)，對對任任何何Ix ，都都有有)()()(21xuxuxupnnn )()()(21xuxuxupnnn ,221 pnnnaaa第12頁/共33頁令令 p,則則由由上上式式得得 2)(xrn.因因此此函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)

8、 1)(nnxu在在區(qū)區(qū)間間I上上一一致致收收斂斂.例4證明級數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在在),( 上一致收斂上一致收斂.第13頁/共33頁證在在),(內(nèi)內(nèi)), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 級級數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂，由由魏魏爾爾斯斯特特拉拉斯斯判判別別法法，所給級數(shù)在所給級數(shù)在),( 內(nèi)一致收斂內(nèi)一致收斂第14頁/共33頁定理1 如果級數(shù)如果級數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上也連續(xù)上也連續(xù).

9、 .證 設(shè)設(shè)xx ,0為為 ba,上任意點(diǎn)由上任意點(diǎn)由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn 第15頁/共33頁)()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 級數(shù)級數(shù) 1)(nnxu一致收斂于一致收斂于)(xs，對對0 ，必必 自自然然數(shù)數(shù))( NN ，使使得得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí),對對 ba,上上的的一一切切x都都有有3)( xrn(2).3)(0 xrn同樣有第16頁/共33頁故故)(xsn(Nn )在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù)，(3)0 當(dāng)當(dāng) 0 xx時(shí)總有時(shí)總有 3)()(0 xsxsnn由(1)、

10、(2)、(3)可見,對任給對任給0 ，必有，必有0 ，當(dāng)當(dāng) 0 xx時(shí)，有時(shí)，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限項(xiàng)項(xiàng)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)之之和和，所以所以)(xs在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，處連續(xù)，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上連連續(xù)續(xù)第17頁/共33頁定理2 如果級數(shù)如果級數(shù) 1)(nnxu的各項(xiàng)的各項(xiàng))(xun在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上都連續(xù)上都連續(xù), ,且且 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上一上一致收斂于致收斂于)(xs, ,則則)(xs在在 ba, 上可以逐項(xiàng)積分上可以逐項(xiàng)積分, ,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()(

11、)(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0, , 并并 且且上上 式式 右右 端端的的 級級 數(shù)數(shù) 在在 ba, 上上也也一一致致收收斂斂. .(4)第18頁/共33頁證 級數(shù)級數(shù) 1)(nnxu在在ba,一致收斂于一致收斂于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上連續(xù)，上連續(xù)，所以積分所以積分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存在存在,從而有從而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又又 由由 級級 數(shù)數(shù)的的 一一 致致收收 斂斂 性性 ,對對 任任 給給 正正 數(shù)數(shù) 必必 有有)( NN 使使

12、得得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí),對對ba,上上的的一一切切x,都都有有.)(abxrn 第19頁/共33頁 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxqb根據(jù)極限定義，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依賴于只依賴于 而于而于xx ,0無關(guān)，無關(guān)，所以級數(shù)所以級數(shù) 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收斂上一致收斂.于于是是，當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí)有有第20頁/共33頁定理3 如果級數(shù)如果級數(shù) 1)(nnxu在區(qū)間在區(qū)間 ba, 上收斂上收斂于和于和)(xs，它的各項(xiàng)，它

13、的各項(xiàng))(xun都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù))(xun ，并且級數(shù)，并且級數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上一致收斂，上一致收斂，則級數(shù)則級數(shù) 1)(nnxu在在 ba, 上也一致收斂，且可逐上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即項(xiàng)求導(dǎo)，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)第21頁/共33頁注意:級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級數(shù) 22222sin22sin1sinnxnxx在任何區(qū)間在任何區(qū)間,ba上都是一致收斂的上都是一致收斂的.逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級數(shù),cos2coscos22 xnxx.,發(fā)散的發(fā)散的都是都是所以對于任意值所以對于任意值因其一般項(xiàng)不趨于零因其一般項(xiàng)不趨于零x所以

14、原級數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)第22頁/共33頁定理4 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 1nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為0 R, ,則則其其級級數(shù)數(shù)在在),(RR 內(nèi)內(nèi)的的任任意意閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上一一致致收收斂斂. .進(jìn)一步還可以證明，如果冪級數(shù)進(jìn)一步還可以證明，如果冪級數(shù) 1nnnxa在收斂在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂，則一致收斂的區(qū)間可擴(kuò)大到包區(qū)間的端點(diǎn)收斂，則一致收斂的區(qū)間可擴(kuò)大到包含端點(diǎn)含端點(diǎn)冪級數(shù)的一致收斂性第23頁/共33頁定理5 如 果 冪 級 數(shù)如 果 冪 級 數(shù) 1nnnxa的 收 斂 半 徑 為的 收 斂 半 徑 為0 R，則其和函數(shù)，則其和函數(shù))(xs在在),(RR 內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，

15、且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 111)(nnnnnnxnaxaxs, ,逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑斂半徑第24頁/共33頁證在在),(RR 內(nèi)任意取定內(nèi)任意取定x，在限定，在限定1x，使得，使得Rxx 1記記11 xxq，則，則先先證證級級數(shù)數(shù) 11nnnxna在在),(RR 內(nèi)內(nèi)收收斂斂,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna 由比值審斂法可知級數(shù)由比值審斂法可知級數(shù) 11nnnq收斂，收斂，),(01 nnqn于是第25頁/共33頁故數(shù)列故數(shù)列1 nnq有界，必有有界，必有0 M，使得，使得), 2

16、 , 1(111 nMxnqn又又Rx 10，級數(shù)，級數(shù) 11nnnxa收斂，收斂，由由比比較較審審斂斂法法即即得得級級數(shù)數(shù) 11nnnxna收收斂斂 由由定定理理 4，級級數(shù)數(shù) 11nnnxna在在),(RR 內(nèi)內(nèi)的的任任意意閉閉區(qū)區(qū)間間ba,上上一一致致連連續(xù)續(xù)，第26頁/共33頁故冪級數(shù)故冪級數(shù) 1nnnxa在在ba,上適合定理上適合定理 3 條件，從條件，從而可以逐項(xiàng)求導(dǎo)而可以逐項(xiàng)求導(dǎo)即得冪級數(shù)即得冪級數(shù) 1nnnxa在在),(RR 內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo).設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù) 11nnnxna的的收收斂斂半半徑徑為為R ,RR 由由ba,在在),(RR 內(nèi)的任意性，內(nèi)的任意性， 將將此

17、此冪冪級級數(shù)數(shù) 11nnnxna在在x, 0)(Rx 上上逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分即即得得,1 nnnxa第27頁/共33頁因因逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分所所得得級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑不不會會縮縮小小，,RR 所以所以.RR 于是于是即即 11nnnxna與與 1nnnxa的收斂半徑相同的收斂半徑相同第28頁/共33頁1、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的定義；2、一致收斂級數(shù)的判別法魏爾斯特拉斯判別法；4、冪級數(shù)的一致收斂性3、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；第29頁/共33頁練 習(xí) 題上一致收斂上一致收斂在任一有限區(qū)間在任一有限區(qū)間證明證明之差的絕對值小于正數(shù)之差的絕對值小于正數(shù)與其極限與其極限時(shí)時(shí)能使當(dāng)能使當(dāng)取多大取多大問問上收斂于上收斂于在在一、已知函數(shù)序列一、已知函