有題目——多自由度振動-拉格朗日方程

1、多自由度系統(tǒng)振動姓名: 何江波學(xué)院: 機(jī)械工程學(xué)院郵箱：2022-5-20教學(xué)內(nèi)容 拉格朗日方程 多自由系統(tǒng)的無阻尼自由振動2拉格朗日方程3m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t) g1mg2mAB)(tFkx對于如圖所示的三質(zhì)量系統(tǒng)，有6個彈簧，三個外界激勵，求系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)動力學(xué)方程。AB2L拉格朗日方程4單自由度系統(tǒng)受迫振動的動力方程： mcx kx( )F tkcx0m( )F t mx cx kxF t 212d mxdkxF tcxdtdx 221122dddmxkxF tcxdt dxd

2、x ddTdVF tcxdt dxdx對于多自由度系統(tǒng)，能否從能量入手建立動力方程？動能：T，勢能：V拉格朗日方程5 1736年1月25日生于意大利西北部的都靈, 1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。 他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法， 為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。 他的論著使他成為當(dāng)時歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。 1766他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)20年之久.在此期間，他完成了分析力學(xué)(1788出版)一書， 這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。 書中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個分支。拉

3、格朗日方程先看一個例子：圖示雙擺，質(zhì)量m1， m2在平面擺動。 因此，只有兩個坐標(biāo)獨(dú)立。廣義坐標(biāo)：),(11yxL1L2xy12),(22yxm1m2可以取四個直角坐標(biāo) 來描述系統(tǒng)的運(yùn)動。 11(,)x y22(,)xy但這四個直角坐標(biāo)不獨(dú)立，有：22211122221212(-)(-)xyLxxyyL能完備的描述系統(tǒng)運(yùn)動的一組獨(dú)立的坐標(biāo)叫廣義坐標(biāo)。本例中，可選 作為廣義坐標(biāo)；也可選 作為廣義坐標(biāo)。12(,) 12(,)x x6拉格朗日方程7ddjjjLLQtqq拉格朗日方程（ Lagrange 方程）:應(yīng)用Lagrange方程建立系統(tǒng)動力學(xué)方程的基本步驟：1、確定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；2、用廣義速

4、度和廣義坐標(biāo)給出系統(tǒng)的動能和勢能；3、給出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；4、確定系統(tǒng)的廣義力；5、拉格朗日函數(shù)、廣義力帶入Lagrange方程廣義坐標(biāo): ；拉格朗日函數(shù): LT-V；動能: ；勢能(包括重力勢能和彈性勢能): ；廣義力：11(, )kkTT qq qq t12,kqqq1( , , )kV V qqjQ拉格朗日方程8單自由度系統(tǒng)受迫振動的動力方程：kcxm( )F t應(yīng)用Lagrange方程建立系統(tǒng)動力學(xué)方程的基本步驟：1、廣義坐標(biāo) x2、動能，勢能：3、拉格朗日函數(shù)：4、系統(tǒng)的廣義力：5、拉格朗日函數(shù)、廣義力帶入 Lagrange方程：2211,22Tmx Vkx221122L T V

5、mxkx ddLLF ttxx mx kxF tcx F tcx 拉格朗日方程9 g1mg2mAB)(tFkx圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)動力學(xué)方程。AB2LAvx coscxvx L sincyvL2222221212222211112()cos222231(1 cos )2ccTm xm vJmmxm xLm LVm gLkx1、選定廣義坐標(biāo) x， 質(zhì)量塊速度為：均質(zhì)桿轉(zhuǎn)動速度為： 均質(zhì)桿質(zhì)心的速度為：AB2、動能和勢能分別為：拉格朗日方程104、廣義力：5、建立系統(tǒng)動力學(xué)方程：( ),0 xQF t Q g1mg2mAB)(tFkx22221222212

6、1()cos(1 cos )232L T Vmmxm xLm Lm gLkx dd,ddxLLLLQQtxxt212222222()cossin( )1(2 )cossin03mmxm Lm LkxF tmLm Lxm gL3、拉格朗日函數(shù)拉格朗日方程11m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t) 對于如圖所示的三質(zhì)量系統(tǒng)，有6個彈簧，三個外界激勵，求系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 拉格朗日方程12m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)對于如圖所示的三質(zhì)量系統(tǒng)，有6個彈簧，三個外界激勵，求系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 22211223312345622222211

7、122213332443552662111222111111,222222Tm xm xm xVVVVVVVVk x VkxxVkxxVk x Vk x Vk x1、選定廣義坐標(biāo) x1， x2， x3 2、動能和勢能分別為：拉格朗日方程135、建立動力學(xué)方程：4、廣義力：F1， F2， F3123456LTVVVVVV123112233ddd,dddLLLLLLFFFtxxtxxtxx1 11 12121222213235262233332433m xk xkxxFm xkxxkxxk xk xFm xkxxk xF3、拉格朗日函數(shù)拉格朗日方程141 11 12121222213235262233332433m xk xkxxFm xkxxkxxk xk xFm xkxxk xF11122112222356322333343