FIR濾波器的設(shè)計(jì)

1、基于窗函數(shù)法 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)陳敏敏寧夏大學(xué)電子信息工程 專業(yè) 09 級(jí) 12009243656摘要 簡(jiǎn)述了數(shù)字濾波器中的有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器的原理,對(duì) FIR 濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究。窗函數(shù)法在 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。通過 MATLAB 的仿真實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法繁瑣且結(jié)果不直觀,本文利用 MATLAB 具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和圖形顯示這一優(yōu)點(diǎn),與窗函數(shù)法設(shè)計(jì)理論相結(jié)合共同設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器,不但使設(shè)計(jì)結(jié)果更加直觀,而且提高了濾波器的設(shè)計(jì)精度,從而更好地達(dá)到預(yù)期效果。關(guān)鍵字 FIR 數(shù)字濾波器 窗函數(shù) MATLAB 仿真目 錄1

2、 引言-12 FIR 數(shù)字濾波器的介紹 -22.1 FIR 數(shù)字濾波器的特點(diǎn) -22.2 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的特點(diǎn) -22.2.1單位沖激響應(yīng) h(n)的特點(diǎn) -22.2.2線性相位的條件-22.2.3線性相位特點(diǎn)和幅度函數(shù)的特點(diǎn)-22.3 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理 -42.4 數(shù)字濾波器的性能指標(biāo) -53 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 -63.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)原理分析 -63.2 設(shè)計(jì)方法 -73.3 窗函數(shù)介紹 -93.4 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟 -133.5 設(shè)計(jì)實(shí)例 -133.6 窗函數(shù)法計(jì)算中的主要問題 -144 MATLAB 簡(jiǎn)介與數(shù)字濾波器的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) -194.1 MATLAB

3、 簡(jiǎn)介 -194.2 MATLAB 程序 -20結(jié)論-26謝辭-26參考文獻(xiàn)-26附錄-271 引言數(shù)字信號(hào)處理(DSP,digital signal processing)是從 20 世紀(jì) 60 年代以來，隨著信息學(xué)科和計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。數(shù)字信號(hào)處理是把信號(hào)用數(shù)字或符號(hào)表示的序列，通過計(jì)算機(jī)或通用(專用)信號(hào)處理設(shè)備，用數(shù)字的數(shù)值計(jì)算方法處理(例如濾波、變換、壓縮、增強(qiáng)、估計(jì)、識(shí)別等)，以達(dá)到提取有用信息便于應(yīng)用的目的。數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的一部分。數(shù)字濾波器按照單位取樣響應(yīng) h(n)的時(shí)域特性可以分為無限脈沖響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)和有限脈沖響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)。FI

4、R 數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于它可以做成具有嚴(yán)格線性相位,而同時(shí)可以具有任意的幅度特性;它的傳遞函數(shù)沒有極點(diǎn);這保證了設(shè)計(jì)出的 FIR 數(shù)字濾波器一定是平穩(wěn)的。 所謂數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)單地說，就是要找到一組能滿足特定濾波要求的系數(shù)向量 a和 b。而濾波器設(shè)計(jì)完成后還需要進(jìn)一步考慮如何將其實(shí)現(xiàn)，即選擇什么樣的濾波器結(jié)構(gòu)來完成濾波運(yùn)算。FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法很多，其中較為常用的是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率采樣設(shè)計(jì)法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。本文討論利用窗函數(shù)法來實(shí)現(xiàn)各種 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)。 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的基本思想是把給定的頻率響應(yīng)通過 IDTFT(Inverse Discrete Time Fourier Tr

5、ansform)，求得脈沖響應(yīng)，然后利用加窗函數(shù)對(duì)它進(jìn)行截?cái)嗪推交?，以?shí)現(xiàn)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)且具有線性相位的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)目的。其核心是從給定的頻率特性，通過加窗確定有限長(zhǎng)單位取樣響應(yīng) h(n)。MATLAB 軟件是由美國(guó) Math works 公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB 新的版本集中了日常數(shù)學(xué)處理中的各種功能，包括高效的數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形生成等功能。在 MATLAB 環(huán)境下，用戶可以集成地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。 MATLAB 提供了一個(gè)人機(jī)交互的數(shù)學(xué)系統(tǒng)環(huán)境，該系統(tǒng)的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是矩陣，在

6、生成矩陳對(duì)象時(shí)，不要求作明確的維數(shù)說明。與利用 c 語(yǔ)言或 FORTRAN 語(yǔ)言作數(shù)值計(jì)算的程序設(shè)計(jì)相比，利用 MATLAB 可以節(jié)省大量的編程時(shí)間。在工程技術(shù)界，MATLAB 被用來解決一些實(shí)際課題和數(shù)學(xué)模型問題。典型的應(yīng)用包括數(shù)值計(jì)算、算法預(yù)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證，以及一些特殊的短陣計(jì)算應(yīng)用，如自動(dòng)控制理論、統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理(時(shí)間序列分拆)等。2 FIR 數(shù)字濾波器的介紹2.1 FIR 數(shù)字濾波器的特點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理主要是研究用數(shù)字或符號(hào)的序列來表示信號(hào)波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列，把它們改變成在某種意義上更為希望的形式，以便估計(jì)信號(hào)的特征參量，或削弱信號(hào)中的多余分量和增強(qiáng)信號(hào)中的有用分量。有限

7、長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器可以做成具有嚴(yán)格的線性相位，同時(shí)又可以具有任意的幅度特性。此外，F(xiàn)IR 濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。再有，只要經(jīng)過一定的延時(shí)，任何非因果有限長(zhǎng)序列都能變成因果的有限長(zhǎng)序列，因而總能用因果系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。最后，F(xiàn)IR 濾波器由于單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，可以用快速傅立葉變換(FFT)算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號(hào)，從而可大大提高運(yùn)算效率。但是，要取得很好的衰減特性，F(xiàn)IR 濾波器 H(z)的階次比 IIR 濾波器的要高。2.2 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2.2.1單位沖激響應(yīng) h(n)的特點(diǎn)FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n)是有限長(zhǎng)(0nN

8、-1),其 Z 變換為：10)()(NmmznhzH在有限 Z 平面有(N-1)個(gè)零點(diǎn),而它的(N-1)個(gè)極點(diǎn)均位于原點(diǎn) z=0 處。2.2.2線性相位的條件如果 FIR 濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)為實(shí)數(shù)而且滿足以下任一條件:偶對(duì)稱：h(n)=h(N-1-n)奇對(duì)稱：h(n)=-h(N-1-n)其對(duì)稱中心在 n=(N-1)/2 處,則濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位。2.2.3線性相位特點(diǎn)和幅度函數(shù)的特點(diǎn)(1) h(n)偶對(duì)稱)21()()21cos()()(10NnNnhHkn幅度函數(shù) H()包括正負(fù)值,相位函數(shù)是嚴(yán)格線性相位,說明濾波器有(N-1)/2 個(gè)抽樣的延時(shí),它等于單位抽樣響應(yīng) h(n

9、)長(zhǎng)度的一半。圖 2-1 中，線性相位無 90附加相移,幅度函數(shù)在 處存在零點(diǎn),且對(duì) = 呈奇對(duì)稱,因此不適合作高通濾波器。圖 2-2 所示：線性相位無 90附加相移,幅度函數(shù)對(duì)在 =0、2 呈偶對(duì)稱,因此適合作低通、高通濾波器。(2) h(n)奇對(duì)稱2)21()()21sin()()(10NnNnhHkn相位函數(shù)仍是線性,但在零頻率(=0)處有 /2 的截距。不僅有(N-1)個(gè)抽樣的延時(shí),還產(chǎn)生一個(gè) /2 的相移。圖 2-3 中,線性相位有 90附加相移,幅度函數(shù)在 0、2 處為零點(diǎn),且對(duì) =0、2 呈奇對(duì)稱,對(duì) = 呈偶對(duì)稱。圖 2-4 中,線性相位有 90附加相移,幅度函數(shù)在 0、2 處

10、為零,且對(duì)=0、2 呈奇對(duì)稱。圖 2-3、圖 2-4 所示的濾波器均適合在微分器和 90移相器中應(yīng)用。圖 2-1 長(zhǎng)度 N 為偶數(shù)、偶對(duì)稱時(shí)的相位函數(shù)、沖激響應(yīng)、幅度函數(shù)波形圖圖 2-2 長(zhǎng)度 N 為奇數(shù)、偶對(duì)稱時(shí)的相位函數(shù)、沖激響應(yīng)、幅度函數(shù)波形圖圖 2-3 長(zhǎng)度 N 為偶數(shù)、奇對(duì)稱時(shí)的相位函數(shù)、沖激響應(yīng)、幅度函數(shù)波形圖圖 2-4 長(zhǎng)度 N 為奇數(shù)、奇對(duì)稱時(shí)的相位函數(shù)、沖激響應(yīng)、幅度函數(shù)波形圖四種線性相位 FIR 濾波器的特性可以總結(jié)如下：第一種情況，偶對(duì)稱、奇數(shù)點(diǎn)，四種濾波器都可設(shè)計(jì)； 第二種情況，偶對(duì)稱、偶數(shù)點(diǎn)，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻； 第三種情況，奇對(duì)稱、奇數(shù)點(diǎn)，只能

11、設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)； 第四種情況，奇對(duì)稱、偶數(shù)點(diǎn)，可設(shè)計(jì)高、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。2.3 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理一個(gè)截止頻率為(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)的表達(dá)式是：c (式 2.3.1)ccjjdeeH, 0,)(由式 2.3.1 可以看出，這個(gè)濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)闆_激響應(yīng)具有無限性和因果性。為了產(chǎn)生有限長(zhǎng)度的沖激響應(yīng)函數(shù)，我們?nèi)禹憫?yīng)為，長(zhǎng)度為 N，其系數(shù))(nh函數(shù)為：)(zH (式 2.3.2)10)()(NnnznhzH用表示截取后沖激響應(yīng)，即，式子中為窗函數(shù)，)(nh)(nhd)()()(nhnnhd)(n長(zhǎng)度為 N。

12、當(dāng) =(N-1)/2 時(shí)，截取的一段對(duì)(N-1)/2 對(duì)稱，可保證所設(shè)計(jì)的濾波器具)(nh有線性相位。一般來說，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器輸出的 Z 變換形式 Y(z)與輸入的 Z 變換形式之)(ny)(nx間的關(guān)系如下： (式 2.3.3)()() 1 ()0()()()(1zXznhzhhzXzHzYn從上面的 Z 變換和結(jié)構(gòu)圖可以很容易得出 FIR 濾波器的差分方程表示形式。對(duì)式2.3.3 進(jìn)行反 Z 變換，可得： (式 2.3.4) 1 ()() 1()2()() 1 ()(xnhnxhnxhny圖 2-5 卷積型濾波器式(2.3.4)為 FIR 數(shù)字濾波器的時(shí)域表示方法，其中是在時(shí)間 n 的

13、濾波器的輸入)(nx抽樣值。根據(jù)式(2.3.4)即可對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。從上面的公式我們可以看出，在對(duì)濾波器實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，整個(gè)過程的運(yùn)算量很大。設(shè)計(jì)完成后對(duì)已設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)進(jìn)行校核，運(yùn)算量也很大。并且在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的過程中，要根據(jù)設(shè)計(jì)要求和濾波效果不斷地調(diào)整，以達(dá)到設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。在這種情況下，要進(jìn)行大量復(fù)雜的運(yùn)算，單純靠公式計(jì)算和編制簡(jiǎn)單的程序很難在短時(shí)間內(nèi)完成。而利用 MATLAB 工具進(jìn)行計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，則可以快速有效地設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，大大的減少了計(jì)算量。 2.4 數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許

14、誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。在通帶內(nèi)： 1- AP 1 )(jeHcc在阻帶中： )(jeHstAstc其中為通帶截止頻率, 為阻帶截止頻率，Ap 為通帶誤差, 為阻帶誤差。cststA圖 2-6 低通濾波器的幅度特性與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為 2。由于頻率響應(yīng)的周期性，頻率變量以數(shù)字頻率來表示，所以數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中必須給出抽樣頻率。圖 2-7 為各種數(shù)字濾波器理想幅度，可以看出：1、 一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器。2、 一個(gè)帶通濾

15、波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減。3、 一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器加上一個(gè)高通濾波器。這里的相加相減都是相當(dāng)于并聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖 2-7 中所示的各種數(shù)字濾波器理想頻率響應(yīng)只表示了正頻率部分，這樣的理想頻率響應(yīng)是不可能實(shí)現(xiàn)的，原因是頻帶之間幅度響應(yīng)是突變的，因而其單位抽樣響應(yīng)是非因果的。因此要給出實(shí)際逼近容限。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它在 z 平面單位圓上的值)(zH為濾波器頻率響應(yīng)，表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特征的三個(gè)參量是幅度平方響應(yīng)、)(jeH相位響應(yīng)和群延時(shí)響應(yīng)。 圖 2-7 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng).3 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法3.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)原理分析設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為,是與其對(duì)應(yīng)的單位

16、脈沖響應(yīng), 為系)(jeH)(nhd)(zH低通高通帶通帶阻全通)(jdeH)(jdeH)(jdeH)(jdeH)(jdeH統(tǒng)函數(shù)。 (式3.1.1)10)()(NnnjjenheH (式3.1.2)deeHnhnjjdd)(21)( (式3.1.3) 10)()(NnnznhzH一般說來, 是無限長(zhǎng)的,需要求對(duì)的一個(gè)逼近。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法時(shí),)(nhd)(jdeH可通過對(duì)理想濾波器的單位采樣響應(yīng)加窗設(shè)計(jì)濾波器 (式3.1.4)()()(nhnnhd其中, 是一個(gè)長(zhǎng)度有限的窗,在區(qū)間 0 n N 外值為 0 ,且關(guān)于中間點(diǎn)對(duì)稱)(n (式3.1.5)1()(nNn頻率響應(yīng)根據(jù)(式 3.1.5)

17、 ,由卷積定理得出 (式3.1.6)()(21)(jjdjeeHeH理想的頻率響應(yīng)被窗函數(shù)的離散時(shí)間傅立葉變換“平滑”了。)(je采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)出來的濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)理想響應(yīng)的逼近程度,由)(jdeH兩個(gè)因素決定:主瓣的寬度;旁瓣的幅度大小。)(je)(je理想的情況是主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度固定的窗函數(shù)來說,這)(je些不能獨(dú)立地達(dá)到最小。窗函數(shù)的一些通用性質(zhì)為:1、窗函數(shù)的長(zhǎng)度N增加,主瓣的寬度減小,使得過渡帶變小。關(guān)系為:NB = C其中:B是過渡帶的寬度;C是取決于窗函數(shù)的一個(gè)參數(shù)。如矩形窗為4。調(diào)整N可以有效地控制過渡帶的寬度,但N的改變不改變主瓣和旁瓣的相

18、對(duì)比例。隨著N值增加,過渡帶變窄,波動(dòng)頻率也隨著增加,雖然總的幅度有所減少,但截止頻率附近的肩峰并不減少,而只是隨著N值的增加,肩峰被抑制在愈來愈小的范圍內(nèi),使肩峰寬度變窄。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量,相應(yīng)旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度的減小,可以減少通帶和阻帶的波動(dòng),使通帶盡可能趨近水平,阻帶盡可能達(dá)到最大衰減。但通常此時(shí)過渡帶會(huì)變寬。3、取不同的窗函數(shù)對(duì)幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長(zhǎng)度要強(qiáng)得多。3.2 設(shè)計(jì)方法這種方法也叫傅里葉級(jí)數(shù)法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應(yīng)，要求設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 濾波器頻率響應(yīng)來逼近。)(jde

19、H10)()(NnnjjenheH)(jdeH設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，因而先由的傅里葉反變換導(dǎo)出，即)(jdeH)(nhd (式 3.2.1)deeHnhnjjdd)(21)(由于是矩形頻率響應(yīng)特性，故一定是無限長(zhǎng)序列，且是非因果的，而 FIR)(jdeH)(nhd濾波器的必然是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的來逼近無限長(zhǎng)的，最有效)(nh)(nh)(nhd的方法是截?cái)嗷蛘哒f用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列來截取，即)(nhd)(n)(nhd (式 3.2.2)()()(nhnnhd因而窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇就是關(guān)鍵。我們以一個(gè)截止頻率為的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來討論。c設(shè)低通特性

20、的群延時(shí)為，即 (式 3.2.3)ccccjjdeeH, 0,)(這表明，在通帶范圍內(nèi)，的幅度是均勻的，其值為 1，相位是。c)(jdeH利用(1)式可得 (式 3.2.4)()(sin21)(nndeenhcccnjjdcc是中心點(diǎn)在的偶對(duì)稱無限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的，一種最簡(jiǎn)單的方)(nhd)(nh法就是取矩形窗，即)(nRN )()(nRnN但是按照線形相位濾波器的約束，必須是偶對(duì)稱的，對(duì)稱中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半(N-1)(nh/2，因而必須=(N-1)/2，所以有 (式 3.2.5)21-N, 010),()()()(為其他nNnnhnnhnhdd將(式 3.2.4)代入(式 3.2

21、5)，可得 (式 3.2.6)10 , 0)21()21(sin)(NnnNnNnnhccc為其他值此時(shí)，一定滿足這一線性相位的條件。)1()(nNhnh下面求的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性，以便能看出加窗)(nh處理后究竟對(duì)頻率響應(yīng)有何影響。按照復(fù)卷積公式，在時(shí)域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即 (式 3.2.7)deeHeHjjdj)()(21)(因而逼近的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。)(jeH)(jdeH)(jeW窗函數(shù)的頻率特性為)(n)(jeW (式 3.2.8)10)()(NnnjjeneW對(duì)矩形窗，則有)(nRN (式 3.2.9)2sin()2s

22、in()(2110NNeeeWNjNnnjjR也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) (式 3.2.10)21()()(NjRjNeWeW其中 (式 3.2.11)2sin()2sin()(NNWR就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)在之內(nèi)為一個(gè)主瓣，兩)(jReW)(RWN/2側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫成 (式 3.2.12)21()()(NjdjdeHeH則其幅度函數(shù)為 (式 3.2.13)ccdH, 0, 1)(3.3 窗函數(shù)介紹實(shí)際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：1、冪窗-采用時(shí)間變量某種冪次的函數(shù)，如矩形、三角形、梯形或其它時(shí)間(t)的高次冪；2、三角函數(shù)窗-應(yīng)用三角函數(shù)，

23、即正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù)，例如漢寧窗、海明窗等；3、指數(shù)窗-采用指數(shù)時(shí)間函數(shù)，如形式，例如高斯窗等。ste 下面介紹幾種常用窗函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)。（1）矩形窗矩形窗屬于時(shí)間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為: (式 3.3.1)TtTtTt, 0,1)(相應(yīng)的窗譜為： (式 3.3.2)TTWsin2)(矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。圖 3-1 矩形窗的時(shí)域及頻域波形（2）三角窗亦稱費(fèi)杰(Fejer)窗，是冪窗的一次方形式，其函數(shù)形式是： (式 3.3.3)TtTtTt

24、Tt, 0),1 (1)(三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負(fù)旁瓣，如圖3-2 所示。圖 3-2 三角窗的時(shí)域及頻域波形（3）漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時(shí)域表達(dá)式為： (式 3.3.4)TtTtTtTt, 0),cos2121(1)(相應(yīng)的窗譜為： (式 3.3.5)TTTTTTW)sin()sin(21sin)(由此式可以看出，漢寧窗可以看作是 3 個(gè)矩形時(shí)間窗的頻譜之和，或者說是 3 個(gè) sin(t)型函數(shù)之和，而括號(hào)中的兩項(xiàng)相對(duì)于第一個(gè)譜窗向左、右各移動(dòng)了 /T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。可以看出，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則

25、顯著減小，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。（4）海明(Hamming)窗海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進(jìn)的升余弦窗，其時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為： (式 3.3.6)TtTtTtTt, 0),cos4 . 054. 0(1)(其窗譜為： (式 3.3.7)TTTTTTW)sin()sin(46. 0sin08. 1)(海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為-42dB。海明窗的頻譜也是由 3 個(gè)矩形窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為 20dB(10oct)，這比漢寧窗衰減速度慢

26、。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)。（5）高斯窗 高斯窗是一種指數(shù)窗。其時(shí)域函數(shù)為： (式 3.3.8)TtTteTtat, 0,1)(2式中 a 為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。a 值如果選取適當(dāng)，可以使截?cái)帱c(diǎn)(T 為有限值)處的函數(shù)值比較小，則截?cái)嘣斐傻挠绊懢捅容^小。高斯窗譜無負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一 55 dB。高斯窗的主瓣較寬，故而頻率分辨率低。高斯窗函數(shù)常被用來截?cái)嘁恍┓侵芷谛盘?hào)，如指數(shù)衰減信號(hào)等。不同的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)頻譜的影響是不一樣的，這主要是因?yàn)椴煌拇昂瘮?shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生了能量泄漏，而用 FFT 算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原

27、理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對(duì)它們的影響進(jìn)行抑制。圖 3-3 是幾種常用的窗函數(shù)的時(shí)域和頻域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高。圖 3-3 幾種常用的窗函數(shù)的時(shí)域和頻域波形對(duì)于窗函數(shù)，還有一些要求：1）3dB 帶寬 B，它是主瓣歸一化的幅度下降到-3dB 時(shí)的帶寬。當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為 N 時(shí)，矩形窗主瓣兩個(gè)過零點(diǎn)之間的寬度為 4/N。2）最大邊瓣峰值 A(dB)。3）邊瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度 D(dB/cot)。所以，理想的窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有最小的 B 和 A，和最大的 D。3

28、.4 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟1、首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；)(jdeH2、其次，求單位沖激響應(yīng)；deeHnhnjjdd)(21)(3、再次，有過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，查表選定窗函數(shù)及 N 的大小，一般 N 的大小要通過幾次試探而后確定；4、求得所設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng)；，n=0，1，,N-1；)()()(nhnnhd5、求，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，如不滿足，則需要重新設(shè)計(jì)。10)()(NnnjjenheH3.5 設(shè)計(jì)實(shí)例線性相位 FIR 低通濾波器的設(shè)計(jì)(用窗函數(shù)法)。指標(biāo)要求:通帶截止頻率:0.2,阻帶起始頻率:0.4,阻帶最小衰減:-50dB。(1)設(shè)為理想線性相位濾波器

29、)(jeH其他, 0)(,cjjeeH由所需低通濾波器的過渡帶求出理想低通濾波器的截止數(shù)字頻率 =0.3,得出:。為線性相位所需的移位,21,),(sin2121)()(Nnnnndedeenhccnjnjjdcc(2)由阻帶衰減確定窗函數(shù),由過渡帶寬確定 N 值。阻帶最小衰減 50dB,比對(duì) 6 種窗函數(shù)基本參數(shù)選定窗函數(shù)為海明窗。所要求的過渡帶寬:=0.4-0.2=0.2N=6.6/0.2=33,=(N-1)/2=16(3)由海明窗函數(shù)確定 FIR 濾波器的 h(n)。)21()21(sin)()()12cos(46. 054. 0nNnNnnhnRNncdN）（得出：)()12cos(4

30、6. 054. 0)16()16(3 . 0sin)()()(nRNnnnnhnhNd(4)仿真檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo),得出結(jié)論:滿足設(shè)計(jì)要求。取 N=33,偶對(duì)稱,得:過渡帶寬 :0.3476563,第一通帶波紋:0.020837dB,第一阻帶最小衰減:60.9159dB。我們?cè)O(shè)計(jì)的低通 FIR 數(shù)字濾波器的理想性能指標(biāo)是：通帶截止頻率 Wp=0.3,阻帶截止頻率 Ws=0.5， 阻帶衰減 At 不小于 40dB， 通帶衰減不大于 3dB, fs=4000。Matlab 程序wp=0.3*pi;ws=0.5*pi;wdelta=ws-wp;N=ceil(8*pi/wdelta);Wn=(0.3+0.5)*pi/2;b=fir1(N,Wn/pi,hanning(N+1);freqz(b,1,512)N=ceil(8/0.15);n=0:N-1;window=hanning(N);h1,w=freqz(window,1);