§12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

1、§12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(

2、2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x) e，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為_1_；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b (a&l

3、t;b)，隨機變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標準差()(4)一個隨機變量如果是

4、眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()(5)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)(×)1某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，則y的值為()A0.4 B0.6 C0.7 D0.9答案A解析由可得y0.4.2已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，2)，且P(X<5)0.8，則P(1<X<3)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案C解析P(X1)P(X5)0.2，P(1<X<3)P(1<X<5)(10.20.2)0.33設(shè)隨機變量的分布列為P(k)

5、(k2,4,6,8,10)則D()等于()A8 B5 C10 D12答案A解析E()(246810)6，D()(4)2(2)20222428.4在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_答案0.7解析E(X)1×0.70×0.30.7.題型一離散型隨機變量的均值、方差例1(2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2

6、球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)若E()，D()，求abc.思維點撥利用古典概型概率公式求P()解(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()2·2·2·.化簡得解得a3c，b2c，故abc321.思維升華對于均值、方差的計算要盡可能的運用其性質(zhì)，從而運算簡便運算性質(zhì)：E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(2014·山東)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩

7、部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響求：(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與均值解(1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，則P(A3)，P(A1)，P(A0

8、)1.記Bj為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為j分”(j0,1,3)，則P(B3)，P(B1)，P(B0)1.記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)××××，所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.(2)由題意，隨機變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性

9、和互斥性，得P(0)P(A0B0)×，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)××，P(2)P(A1B1)×，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)××，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)××，P(6)P(A3B3)×.可得隨機變量的分布列為012346P所以均值E()0×1×2×3×4×6×.題型二二項分布的均值、方差例2某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)

10、A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的分布列及均值E()思維點撥對于(1)中p的值，可利用對立事件概率公式求解解(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p，解得p.(2)由題意，得P(0)3，P(1)C×2，P(2)C×2×，P(3)3.所以，隨機變量的分布列為0123P故隨機變量的均值E()0×1×2×3×.(或B(3，)，E()3×.)思維升華

11、求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果XB(n，p)，則用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大減少計算量(2013·福建)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的均值較大？解方法一(1)由已知得，

12、小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分X3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X5”，因為P(X5)×，所以P(A)1P(X5)，即這2人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的均值為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的均值為E(3X2)由已知可得，X1B(2，)，X2B(2，)，所以E(X1)2×，E(X2)2×，從而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2)，因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案

13、甲進行抽獎時，累計得分的均值較大方法二(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X0)(1)×(1)，P(X2)×(1)，P(X3)(1)×，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這2人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)0×2×4×，E(X2)0&

14、#215;3×6×.因為E(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的均值較大題型三正態(tài)分布的應用例3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學中成績在8085分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學有多少人思維點撥本題主要考查正態(tài)分布及其應用，解題關(guān)鍵是要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(，(2，2，(3，3內(nèi)的概率值，將所給問題轉(zhuǎn)化到上述區(qū)間內(nèi)解決，同時要注意對稱性的運用和數(shù)形結(jié)合思想的應用解依題意，由8085分的同學的人數(shù)和所占百分比求出該班同學的總數(shù)，再求90分以上同學的人數(shù)成績服從正態(tài)分布N(80,52)，80

15、，5，75，85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學占全班同學的68.26%.由正態(tài)曲線的對稱性知，成績在(80,85內(nèi)的同學占全班同學的×68.26%34.13%.設(shè)該班有x名同學，則x×34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成績在(70,90內(nèi)的同學占全班同學的95.44%.成績在(80,90內(nèi)的同學占全班同學的47.72%.成績在90分以上的同學占全班同學的50%47.72%2.28%.即有50×2.28%1(人)，即成績在90分以上的同學僅有1人思維升華解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x；(2)標準差；(3)分布區(qū)間利用對稱

16、性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x0.在某次數(shù)學考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N(100,100)，已知滿分為150分(1)試求考試成績位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)解(1)由N(100,100)知100，10.P(80<120)P(10020<10020)0.954 4，即考試成績位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率為0.954 4.(2)P(90<110)P(10010<10010)0.

17、682 6，P(>110)(10.682 6)0.158 7，P(90)0.682 60.158 70.841 3.及格人數(shù)為2 000×0.841 31 683(人)離散型隨機變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示

18、摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值思維點撥(1)概率的應用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個為紅球的概率，求紅球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求的所有可能值及每個值所對應的概率規(guī)范解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，依題意得x10×4.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0×1&#

19、215;2×3×.12分答題模板求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機變量的所有可能值第二步：求每一個可能值所對應的概率第三步：列出離散型隨機變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題重點考查了概率、離散型隨機變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯誤是計算不準確以及解答不規(guī)范如第(3)問中，不明確寫出的所有可能值，不逐個求概率，這都屬于解答不規(guī)范方法與技巧1均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))(2)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)

20、(3)若X服從二項分布，即XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)2求離散型隨機變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解(3)如果所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，利用它們的均值、方差公式求解3若X服從正態(tài)分布，即XN(，2)，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.失誤與防范1在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式2對于應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出

21、隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：45分鐘)1正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(1,0)上取值的概率分別為m，n，則()Am>n Bm<nCmn D不確定答案C解析正態(tài)總體N(1,9)的曲線關(guān)于x1對稱，區(qū)間(2,3)與(1,0)到對稱軸距離相等，故mn.2隨機變量的分布列如下，其中a、b、c為等差數(shù)列，若E()，則D()的值為()101PabcA. B. C. D.答案B解析由分布列得abc1，由期望E()得ac，由a、b、c為等差數(shù)列得2bac，由得a，b，c，D()×××.3(2013·

22、湖北)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于()A. B. C. D.答案B解析125個小正方體中8個三面涂漆，36個兩面涂漆，54個一面涂漆，27個沒有涂漆，所以從中隨機取一個正方體，涂漆面數(shù)X的均值E(X)×1×2×3.4設(shè)隨機變量XN(，2)，且X落在區(qū)間(3，1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，若P(X>2)p，則P(0<X<2)等于()A.p B1pC12p D.p答案D解析由X落在(3，1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)

23、的概率相等得0.又P(X>2)p，P(2<x<2)12p，P(0<X<2)p.5一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的均值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4答案C解析X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064E(X)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.6.甲、乙兩地某月的氣溫分別滿足正態(tài)分布N(1，)(1>0)和N(2，)(2>0)，這兩個正態(tài)分布的密度

24、函數(shù)圖象如圖所示，則平均氣溫高的是_地，溫差小的是_地答案乙甲解析正態(tài)曲線的對稱軸方程為x，其中表示隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，正態(tài)分布N(，2)中一定時，越小，曲線越“瘦高”，總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，總體的分布越分散由圖知1<2，1<2，故乙地的平均氣溫較高，甲地的溫差小7已知隨機變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(2<5)_.答案解析P(2<5)P(3)P(4)P(5).8已知某次英語考試的成績X服從正態(tài)分布N(116,64)，則10 000名考生中成績在140分以上的人數(shù)為_答案13解析由已知得116，8.P(92<X140)

25、P(3<X3)0.997 4，P(X>140)(10.997 4)0.001 3，10 000×0.001 313.成績在140分以上的人數(shù)為13.9某超市為了響應環(huán)保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費，也不享受折扣優(yōu)惠假設(shè)該超市在某個時段內(nèi)購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為，求的分布列和均值解(1)設(shè)“兩人都享受折扣優(yōu)惠”為事件A

26、，“兩人都不享受折扣優(yōu)惠”為事件B，則P(A)，P(B).因為事件A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B).故這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率是.(2)據(jù)題意，得的可能取值為0,1,2.其中P(0)P(B)，P(1)，P(2)P(A).所以的分布列為012P所以E()0×1×2×.10為了某項大型活動能夠安全進行，警方從武警訓練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應的概率分別為，.這三項測試能否通過相互之間沒有影響

27、(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓練經(jīng)費(每入選1人，則相應的訓練基地得到3 000元的訓練經(jīng)費)，求該基地得到訓練經(jīng)費的分布列與均值解(1)設(shè)A通過體能、射擊、反應檢測分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP)××××××××.所以，A能夠入選的概率為.(2)記表示該訓練基地得到的訓練經(jīng)費，則的所有可能值為0,3 000,6 000,9 000,12 000.P(0)4，P(3 000)C3，P(6 000)C22，P(9 000)C3，P(12 000)C4，所以的分布列為03 0006 0009 00012 000PE()0×3 000×6 000×9 000×12 000×8 000(元)所以，該基地得到訓練經(jīng)費的均值為8 000元B組專項能力提升(時間：25分鐘)11一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為()A. B. C. D.答案D解析由已知得，3a2b0×c2，即3a2b