復(fù)變函數(shù)與積分變換第三章復(fù)變函數(shù)的積分

1、 本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì)函數(shù)積分的主要性質(zhì). 重點(diǎn)是重點(diǎn)是Cauchy積分積分定理、定理、Cauchy積分公式、積分公式、Cauchy(高階高階)導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.3.1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分1 積分的概念積分的概念2 積分存在條件及性質(zhì)積分存在條件及性質(zhì)3 積分的計(jì)算積分的計(jì)算3.1.1 積分的概念積分的概念1,knnzzzZ 定義定義3.1 設(shè)設(shè) C是復(fù)平面上以是復(fù)平面上以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), Z為終為終oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zC有向簡單連續(xù)曲線，有向簡單連續(xù)曲線， ( )f z是是C上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù)

2、. 在在C上依次取分點(diǎn)上依次取分點(diǎn) 把曲線把曲線C分割為分割為n個(gè)小段個(gè)小段. (如圖如圖) 011,kzzz oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 在每個(gè)小弧段在每個(gè)小弧段 11,2,kkzzkn 上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn) (1,2, ),nkn 和數(shù)：和數(shù)： 1(),nnkkkSfz 其中，其中， 1kkkzzz 1,2,.kn 令令 1max.kk nz 如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多，并且極限如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多，并且極限 存在存在, 則稱該極限值為函數(shù)則稱該極限值為函數(shù) 在曲線在曲線C上的積分上的積分, ( )f z001limlim()nnkkkSfz 并記作并記作 ( )d

3、 ,Cf zz 即即 01( )dlim().nkkCkf zzfz 如果如果C是閉曲線，經(jīng)常記作是閉曲線，經(jīng)常記作 ( )d .Cf zz 當(dāng)當(dāng)C是實(shí)軸上的區(qū)間是實(shí)軸上的區(qū)間 ,a b方向從方向從a到到b, 并且并且( )f z為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分. 3.1.2 積分存在的條件及積分性質(zhì)積分存在的條件及積分性質(zhì) nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 定理定理3.1 設(shè)設(shè)C是分段光滑是分段光滑(或可求長或可求長)的有向的有向曲線，

4、曲線， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上連續(xù)，則上連續(xù)，則 ( )dCf zz 存在，并且存在，并且 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu從從形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 定理定理3.2 設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線 :( )( )( ) (),Czz tx tiy tt ( )z 是起點(diǎn)是起點(diǎn), ()z 是終點(diǎn)，則是終點(diǎn)，則 ( )d ( ) ( )dCf zzf z t z tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty

5、 t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt 復(fù)變函數(shù)的積分具有如下一些性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的積分具有如下一些性質(zhì).(1)( )d( )d ;CCf zzf zz ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf(4) 設(shè)設(shè)C1的終點(diǎn)是的終點(diǎn)是C2的起點(diǎn)的起點(diǎn), C=C1+C2, 則則(k是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù));(2) ( )d( )dCCkf zzkf zz 12( )d( )d( )d ;

6、CCCf zzf zzf zz11()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs 1,nkkMsML 其中其中,ks 是是kz與與1kz 兩點(diǎn)之間弧段的長度兩點(diǎn)之間弧段的長度.根據(jù)積分定義，令根據(jù)積分定義，令 0, 即得性質(zhì)即得性質(zhì)(5). 估值不等式估值不等式事實(shí)上事實(shí)上,(5) 設(shè)曲線設(shè)曲線C的長度為的長度為L, 函數(shù)函數(shù)f (z)在在C上滿足上滿足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則例例3.1 設(shè)設(shè) C是復(fù)平面上以是復(fù)平面上以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z為終為終點(diǎn)的分段光滑點(diǎn)的分段光滑(或可求長或可求長)曲線，則曲線，則 01d.Czzz 解解 根據(jù)積分的定義

7、根據(jù)積分的定義100111dlimlim()nnkkkCkkzzzz 000lim().zzzz 3.1.3 積分的計(jì)算積分的計(jì)算解解zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例3.2 計(jì)算積分計(jì)算積分 101d()nCzzz (n是整數(shù)是整數(shù)), 其中其中C是圓周是圓周:0 (0)zzr r 的正向的正向. zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr

8、rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān)重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān).解解 (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( ) (01),z ttitt Re, d(1)d ,ztzit CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC120(1)d .it ti 例例3.3 計(jì)算積分計(jì)算積分 Re dCz z 與與 d ,Cz z 其中其中C為為 (1) 從原點(diǎn)到從原點(diǎn)到 1+i 的直線段；的直線段； (2) 拋物線拋物線 y=x2 上從原點(diǎn)到上從原點(diǎn)到 1+

9、i 的弧段；的弧段； (3) 從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿x軸到軸到1, 再從再從1到到 1+i 的折線的折線. (2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttzRe,d(12 )d ,ztztit CzzdRe 10d)21(titt1230212;2323titi d Czz 102d)21)(tititt1320(2)3 d.ttitti xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為( ) (01),z ttt1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方

10、程為),10(1)( tittzRe,dd ,ztztRe1,dd ,zzi t CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzzC d)1(10 tiit. i 都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn)都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn), 沿著三條不沿著三條不注意注意1 從例從例3.3看到看到, 積分積分d ,Cz z Re( )dCzz 和和相同的路徑進(jìn)行相同的路徑進(jìn)行, 但是但是 積分值不同積分值不同, Re( )dCzz dCz z 積分值相同積分值相同. 是否可以討論積分與積分是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系路徑的關(guān)系?注意注意2 一般不能將函數(shù)一般不能將函數(shù)f (z)在以在以a為起

11、點(diǎn)為起點(diǎn), 以以b為終點(diǎn)的曲線為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成上的積分記成 因因?yàn)闉? )d ,f zz 積分值可能與積分路徑有關(guān)積分值可能與積分路徑有關(guān), 所以記所以記( )d .Cf zz 3.2 Cauchy積分定理積分定理1 Cauchy積分定理積分定理2 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理3 典型例題典型例題首先給出推廣的首先給出推廣的3.2.1 Cauchy積分定理積分定理在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù), 設(shè)設(shè) ( , ), ( , )P x yQ x y在在D上存在上存在 , ,QPxy 并且并且 QPxy 在在D上連續(xù)上連續(xù), 則對任何則對任何D內(nèi)的可求長內(nèi)的可求長Jordan曲線曲線

12、C, 都有都有 dd()d d ,CGQPP xQ yx yxy 其中其中G是是C圍成的區(qū)域，圍成的區(qū)域，C 取正向取正向. 定理定理3.3 (Cauchy積分定理積分定理) 設(shè)設(shè)f (z)是單連是單連DC說明說明: 該定理的主要部分是該定理的主要部分是Cauchy 于于1825 年建立的年建立的, 它是它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ).通區(qū)域通區(qū)域 D上的解析函數(shù)，則對上的解析函數(shù)，則對D內(nèi)的任何可求內(nèi)的任何可求長長Jordan曲線曲線C, 都有都有 ( )d0.Cf zz 證明證明 根據(jù)根據(jù)( )ddddd .CCCf zzu xv yiv xu y Cyvxudd()d d Dv

13、ux yxy 0, Cyuxvddd d Duvx yxy 0. 0,uvyx0.uvxy由改進(jìn)的由改進(jìn)的Green公式公式因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z)解析解析, 所以所以u(x,y)和和v(x,y)在在D內(nèi)可微內(nèi)可微, 且且注意注意2 若曲線若曲線C是是區(qū)域區(qū)域 D 的邊界的邊界, 函函注意注意1 定理中的定理中的C 可以可以不是簡單曲線不是簡單曲線.DC函數(shù)函數(shù) f (z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析, 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連上連DDC ( )d0.Cf zz 續(xù)續(xù), 則則 注意注意3 定理中定理中D是單連通區(qū)域的假設(shè)不可缺少是單連通區(qū)域的假設(shè)不可缺少. 例如函數(shù)例如函數(shù)1 ( ) f zz 在區(qū)域在區(qū)域13

14、:22Dz內(nèi)內(nèi)的曲線的曲線:1Cz 上積分上積分, 參看參看解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)11d0.23zzz 例例3.4 計(jì)算積分計(jì)算積分 z 11d .23zz 1( )23f zz 在在 上解析上解析, 所以根據(jù)所以根據(jù)Cauchy積分定理積分定理, 有有1z 解解211111.(1)2z zzzizi根據(jù)根據(jù)Cauchy積分定理得積分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz例例3.5 計(jì)算積分計(jì)算積分 2121d .(1)z izz z 因?yàn)橐驗(yàn)?z和和1zi 都在都在12zi上解析上解析, 所以所以 212121d121d121d1izizizzizzizzz

15、0 21d121izzizi 221. i 這里用到了這里用到了3.2.2 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理DC1C2C3C都在都在C 的內(nèi)部的內(nèi)部, 它們互不包含也互不相交它們互不包含也互不相交, 并且以并且以定理定理3.4 設(shè)設(shè)12,nC C CC是多連通區(qū)域是多連通區(qū)域D內(nèi)內(nèi)是是 D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), 那么那么1( )d( )d ,knCCkf zzf zz 其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.若若 f (z)分段光滑分段光滑(或可求長或可求長) Jordan曲線曲線, 都都12,nC CC為邊界的閉區(qū)域含于為邊界的閉區(qū)域含于D內(nèi)內(nèi). 12,nC C CCDCA1A2A3A4C

16、1C2EFGIH證明證明 不妨設(shè)不妨設(shè)n=2. 作兩條輔助線作兩條輔助線 (如圖如圖).1234,A AA A這樣由這樣由12344321EA A FA A GA A HA A IE作為邊界作為邊界G ,圍成單連通區(qū)域圍成單連通區(qū)域.( )d0.f zz 11 ,CEAA IIE1122334444332211 .EAA AA FFAA AA GGAA AA HHAA AA IIE 12332 ,CA FFAA HHA 244 .CA GGA f (z)在在G 所圍的區(qū)域內(nèi)解析所圍的區(qū)域內(nèi)解析, 由由 21. 0d)(CCCzzf, 0d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf.d)(d

17、)(d)(21 CCCzzfzzfzzf當(dāng)當(dāng) n 為其它值時(shí)，可同樣證明為其它值時(shí)，可同樣證明. 在公共邊界在公共邊界(輔助線輔助線)上上, 積分兩次積分兩次, 方向方向相反相反, 積分值之和等于積分值之和等于0. 所以所以 3.2.3 典型例題典型例題解解 顯然函數(shù)顯然函數(shù)xyo 1 例例3.6 計(jì)算積分計(jì)算積分其中其中G為包含圓周為包含圓周221d ,zzzz 在內(nèi)的任意分段光滑正向簡單閉曲線在內(nèi)的任意分段光滑正向簡單閉曲線.1z 221( )zf zzz 在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和和1,并且并且G 包含了這兩個(gè)奇點(diǎn)包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).xyo 1 1C2C zzzzd122 2

18、1d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 在在G內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周圓周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)0, C2 只包含只包含奇點(diǎn)奇點(diǎn)1.根據(jù)根據(jù) , xyo121C2C解解 顯然顯然C1和和C2圍成一圍成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzz 例例3.7 計(jì)算積分計(jì)算積分 d ,zezz 其中其中G 由正向圓周由正向圓周2z 和負(fù)向圓周和負(fù)向圓周1z 組成組成.個(gè)圓環(huán)域個(gè)圓環(huán)域. 函數(shù)函數(shù)( )zef zz 在此圓環(huán)域及其邊界上解析在此圓環(huán)域及其邊

19、界上解析, 并且圓環(huán)域的邊界并且圓環(huán)域的邊界構(gòu)成復(fù)合閉路構(gòu)成復(fù)合閉路, 所以根據(jù)所以根據(jù) ,例例3.8 求積分求積分其中其中G 為含為含z0的的 101d ,nzzz 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閦0在閉曲線在閉曲線G 的內(nèi)部的內(nèi)部, 0z 1 任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲線曲線, n為整數(shù)為整數(shù).故可取充分小的正數(shù)故可取充分小的正數(shù)r , 使得圓周使得圓周10: zzr含在含在G的內(nèi)部的內(nèi)部.可得可得再利用再利用根據(jù)根據(jù) , 102,01 d()0,0.ninzzzn 故故這一結(jié)果很重要這一結(jié)果很重要. .1110011 dd()()nnzzzzzz 2, 0;0, 0.inn 與與 進(jìn)行比

20、較進(jìn)行比較. 0z 1 3.3 Cauchy積分公式積分公式 1 問題的提出問題的提出2 Cauchy積分公式積分公式3 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式4 典型例題典型例題3.3.1 問題的提出問題的提出定理知定理知, 當(dāng)當(dāng)r 充分小時(shí)充分小時(shí), 這個(gè)積分值與這個(gè)積分值與r 的取值無關(guān)的取值無關(guān), 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D上解析上解析, z0是是D內(nèi)的內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn), 則則 在在z0 不解析不解析. 0( )f zzz Jordan曲線曲線, 當(dāng)當(dāng)r 0充分小時(shí)充分小時(shí), 根據(jù)復(fù)合閉路根據(jù)復(fù)合閉路如果如果C是含是含z0在其內(nèi)部區(qū)域的分段光滑的在其內(nèi)部區(qū)域的分段光滑的000( )

21、( )dd .Cz zf zf zzzzzzz Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 所以這個(gè)積分值只與所以這個(gè)積分值只與 f (z) 在在 z0 附近的值有關(guān)附近的值有關(guān). 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z) 在在 z0 連續(xù)連續(xù), 故故 上函數(shù)上函數(shù) f (z)0zz 的值將隨著的值將隨著r 的減小而接近的減小而接近0().f z因此因此, 隨著隨著r 的減小的減小, 應(yīng)該有應(yīng)該有0( )dCf zzzz 接近于接近于00()d ,Cf zzzz 然而然而3.3.2 Cauchy積分公式積分公式Cauchy積分公式積分公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00D 0zC定理定

22、理3.5 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0 是是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn), C是任意一條含是任意一條含 z0 在內(nèi)部區(qū)域在內(nèi)部區(qū)域 的分段光滑的分段光滑(或可求長或可求長) Jordan曲線曲線, 則則 D 0zC取取R0充分小充分小, 使得使得R0, 存在存在 0, 使得使得0( )dCf zzzz 0( )df zzzz 0000()( )()ddf zf zf zzzzzzz 000( )()2()d .f zf zif zzzz 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0zz 0( )().f zf z 0zzR在在C的內(nèi)部的內(nèi)部, 則則 R00( )()df zf zszz

23、 d2 .sR 的值與的值與 R 無關(guān)無關(guān), 所以由所以由 的任意性的任意性, 可知可知00( )()df zf zzzz 根據(jù)根據(jù)實(shí)際上實(shí)際上, 積分積分00( )()df zf zzzz 00( )()d0.f zf zzzz 關(guān)于關(guān)于Cauchy積分公式的說明積分公式的說明:可見可見, 函數(shù)在函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值可用它在邊界上內(nèi)部任一點(diǎn)的值可用它在邊界上（這是解析函數(shù)的一個(gè)重要特征）（這是解析函數(shù)的一個(gè)重要特征）(1) 從從Cauchy積分公式積分公式 001( )()d2Cf zf zzizz 的值通過積分來表示的值通過積分來表示. 這表明了這表明了Cauchy積分公式不但提供了計(jì)算

24、積分公式不但提供了計(jì)算(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(2) 如果曲線如果曲線C上的點(diǎn)用上的點(diǎn)用z 表示表示, C內(nèi)部的內(nèi)部的點(diǎn)用點(diǎn)用z 表示表示, 則則Cauchy積分公式表示為積分公式表示為 1( )( )d .2Cff ziz 某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法一種方法, 而且給出而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式表達(dá)式.例例3.9 計(jì)算積分計(jì)算積分 31d ,(1)Czzz z 其中其中C是是 正向圓周正向圓周 2.z 解解 在在C內(nèi)部作正向圓周內(nèi)部作正向圓周 11:,2Cz 21:1.4Cz 12313131ddd .

25、(1)(1)(1)CCCzzzzzzz zz zz z 根據(jù)根據(jù) , 因?yàn)橐驗(yàn)?131( )1zf zz 在在C1圍成的閉區(qū)域上解析圍成的閉區(qū)域上解析, 231( )zfzz 在在C2 圍成的閉區(qū)域上解析圍成的閉區(qū)域上解析, 所以由所以由 Cauchy積分公式積分公式 121131( )( )ddd(1)1CCCzf zf zzzzz zzz 122(0)(1)i ff 2(12)6.ii 3.3.3 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式1( )( )d .2Cff ziz 如果各階導(dǎo)數(shù)存在如果各階導(dǎo)數(shù)存在, 并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下并且導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可在積分號下進(jìn)行進(jìn)行, 則則21( )( )d ,2()Cf

26、fziz 由由 , 解析函數(shù)的積分表達(dá)式為解析函數(shù)的積分表達(dá)式為32 1( )( )d ,2()Cffziz ( )1!( )( )d .2()nnCnffziz (1) 解析函數(shù)是否存在各階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)是否存在各階導(dǎo)數(shù)? (2) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可否在積分號下進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可否在積分號下進(jìn)行?我們有下面的我們有下面的Cauchy導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.( )010!( )()d2()nnCnf zfzzizz 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式D 0zC定理定理3.6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 D上的解析上的解析, C是是D內(nèi)分段光滑內(nèi)分段光滑(或可求長或可求長)的的Jordan曲線曲線, z0

27、 在在C的內(nèi)部區(qū)域的內(nèi)部區(qū)域, 則則f (z)在在z0處存在各階導(dǎo)數(shù)處存在各階導(dǎo)數(shù), 并且并且 (1,2,3,),n 其中其中C取正向取正向. 001( )()d .2Cf zf zzzizzz zzfzzf )()(00證明證明 首先考慮首先考慮n=1的情形的情形. 因?yàn)橐驗(yàn)閦0在在C的內(nèi)部的內(nèi)部, 故當(dāng)故當(dāng) | z| 適當(dāng)小時(shí)適當(dāng)小時(shí), z0+ z也也在在C的內(nèi)部的內(nèi)部. 所以應(yīng)用所以應(yīng)用于是于是001( )( )dd2CCf zf zzzi zzzzzz 可知可知 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I C

28、zzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z)在在C上解析上解析, 所以在所以在C上連續(xù)上連續(xù), 故有界故有界.00,2Rzzzzzz 012. zzzR 存在存在M 0, 使得使得|f (z)| M . 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閦0 是是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn), 所以存在所以存在R 0, 使使 0z zzR 在在C的內(nèi)部區(qū)域的內(nèi)部區(qū)域.DC 0z R因此當(dāng)因此當(dāng)z在在C上時(shí)上時(shí),0.zzR, 2Rz取取則則3,MLIzR 所以所以其中其中L是曲線是曲線C的弧長的弧長. zzfzzfzfz )()(lim)(0000201( )d .2()Cf

29、 zzizz 利用類似的方法可求得利用類似的方法可求得因此因此, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0z 0.I 從而從而000300()()2!( )()limd ,2()Czfzzfzf zfzzzizz 證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù). .d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf 243d)1(1zzzz131! 32 zzi2. i 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分而在于通過求導(dǎo)來求積分.例例3.10 求積分求積分3421d .(1)zzzz 解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在復(fù)平面

30、解析在復(fù)平面解析, 3( )1 f zz( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 01z 在在 內(nèi)內(nèi), n=3, 根據(jù)根據(jù)2z 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 21cosd .zzezzz 例例3.11 求積分求積分解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在復(fù)平面解析在復(fù)平面解析, ( )coszf zez 00z 在在 內(nèi)內(nèi), n=1, 根據(jù)根據(jù)1z 3.3.4 典型例題典型例題 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,0iz 212d)1(1izzzz12( )dz if zzzi izizzi

31、 )(12. i 例例3.12 計(jì)算積分計(jì)算積分 2121d .1z izz z 解解 由由 , 2( )2371zf zi 22371 .izz 例例3.13 設(shè)設(shè)C表示正向圓周表示正向圓周223,xy2371( )d ,Cf zz 求求(1).fi 于是于是 而而1+i 在在C內(nèi)內(nèi), 所以所以( )2(67),fziz (1)2 ( 613 ).fii 解解 根據(jù)根據(jù) , 當(dāng)當(dāng)z在在C內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí),2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i 例例3.14 計(jì)算積分計(jì)算積分 其中其中2sin4d ,1Czzz 1(1) : 1;2Cz 1(2)

32、:1;2C z (3) : 2.Cz 解解 (1) 根據(jù)根據(jù) ,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i (2) 根據(jù)根據(jù) , 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i (3) 根據(jù)根據(jù) 以及前面的結(jié)果以及前面的結(jié)果,例例3.15 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分, 其中其中C是正向圓周是正向圓周 Czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi5.12i 1:zr 522cos(1) d ; (2) d .11zCCzezzzz 解解 (1) 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在在C

33、內(nèi)內(nèi)z=1處不解析處不解析, 5cos1zz 但但 在在C內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 所以根據(jù)所以根據(jù)cos z 1C2Cxyo iCi Czzzed)1(22122222dd .(1)(1)zzCCeezzzz(2) 函數(shù)函數(shù) 在在C內(nèi)的內(nèi)的 處不解析處不解析.22(1)zez zi 在在C內(nèi)分別以內(nèi)分別以i 和和 -i 為中心作正向圓周為中心作正向圓周 C1 和和 C2,則函數(shù)則函數(shù) 在由在由22(1)zez 12,C C C圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析, 所以由所以由 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2(1).2ii e 1C2C

34、xyo iCi Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei ).1cos1(sin i(1).2ii e 222d(1)zCezz 同理同理解解1d0.znzezz 1dznzzze0)(2 zzei2. i 例例3.16 求積分求積分1d ,znzezz 其中其中n為整數(shù)為整數(shù).(1) n 0時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 在在 上解析上解析.znez1z (2) n=1時(shí)時(shí), 由由 得得由由 得得( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni得得(3) n1時(shí)時(shí), 根據(jù)根據(jù)

35、3.4 解析函數(shù)的原函數(shù)解析函數(shù)的原函數(shù)1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念2 Newton-Leibniz公式公式3.4.1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系:定義定義3.2 設(shè)設(shè)f (z)是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù),若存在若存在D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)F(z)使得使得 在在D ( )( )F zf z 內(nèi)成立，則稱內(nèi)成立，則稱F(z)是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的原函數(shù)上的原函數(shù). 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上存在原函數(shù)上存在原函數(shù)F(z), 則則f (z)是是 解析函數(shù)，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解析函數(shù)解析函數(shù)，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解

36、析函數(shù). 定理定理3.7 設(shè)設(shè)F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的原上的原函數(shù)函數(shù), 則則 (常數(shù)常數(shù)). ( )( )F zG zC ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù)那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù), 一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證明證明 設(shè)設(shè)F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的上的根據(jù)根據(jù) 可知可知, 為常數(shù)為常數(shù).( )( )F zG z 原函數(shù)原函數(shù), 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)， ( )

37、F zC (其中其中C是任意復(fù)常數(shù)是任意復(fù)常數(shù)). 證明證明 可利用可利用定理定理3.8 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0是是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn), C是是D內(nèi)以內(nèi)以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的 分段光滑分段光滑(或可求長或可求長)曲線曲線, 則積分則積分 ( )dCf 只依賴于只依賴于z0與與z, 而與路徑而與路徑 C 無關(guān)無關(guān). Riemann方程以及曲線積分路徑無關(guān)的充分必要方程以及曲線積分路徑無關(guān)的充分必要條件來證明條件來證明. 下面利用下面利用Cauchy積分定理證明積分定理證明. 中的中的Cauchy-和和D 0zz 1C2C設(shè)設(shè)

38、C1與與C2都是以都是以D內(nèi)以內(nèi)以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z 為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的分段光滑曲線分段光滑曲線, 又不妨設(shè)又不妨設(shè)C1與與C2都是簡單曲線都是簡單曲線. 如果如果 C1與與C2除起點(diǎn)和除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外終點(diǎn)之外, 再沒有其他重點(diǎn)再沒有其他重點(diǎn),則則 是是Jordan曲線曲線, 12CC 根據(jù)根據(jù)Cauchy定理有定理有 12( )d0,CCf 12( )d( )d .CCff D 0zz 1C2C 如果如果C1與與C2除起點(diǎn)和除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外終點(diǎn)之外, 還有其他重點(diǎn)還有其他重點(diǎn), 在在D內(nèi)再做一條以內(nèi)再做一條以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z 為終點(diǎn)為終點(diǎn), 除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外, 與與C

39、1與與C2沒有其他沒有其他重點(diǎn)的分段光滑曲線重點(diǎn)的分段光滑曲線,C C 則由已證明的情形則由已證明的情形, 12( )d( )d( )d .CCCfff 012( )d( )d( )d .zzCCfffD 0zz 1C2CD 0zz 1C2C如果如果 f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則f (z)在以在以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的D內(nèi)的分段光滑曲線內(nèi)的分段光滑曲線C上積分上積分,積分值與積分路徑無關(guān)，即可記為積分值與積分路徑無關(guān)，即可記為 0( )( )d .zzF zf 于是確定了于是確定了D內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閦是是D內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的

40、點(diǎn),定理定理3.9 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0和和z是是D內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn), 則則 0( )( )dzzF zf 是是 f (z)在在D上的原函數(shù)上的原函數(shù). 以以z為中心作一個(gè)含于為中心作一個(gè)含于D內(nèi)的內(nèi)的以圓周以圓周G為邊界的圓域?yàn)檫吔绲膱A域.D0z zD z zz )()(zFzzF00( )d( )d .zzzzzff 0z 取取| z|充分小充分小, 使得使得z+ z在在圓周圓周G內(nèi)內(nèi). 注意注意因?yàn)榉e分與積分路徑無關(guān)因?yàn)榉e分與積分路徑無關(guān), 所以積分所以積分0( )dzzzf 可以先從可以先從z0到到z, 然后從然后從z沿著直線再到沿著直線

41、再到z+ z, 即即0( )dzzzf 0( )d( )d .zzzzzffD z zz 0z ()( )1( )( )( ) d .zzzF zzF zf zff zzz ()( )( )d ,zzzF zzF zf 于是于是并且并且因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f (z)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 所以所以 0, 存在存在 0, 使得當(dāng)使得當(dāng)| -z| 時(shí)時(shí), 有有( )( ).ff z從而當(dāng)從而當(dāng)| z| 時(shí)時(shí), 利用利用B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 1( )( ) dzzzff zz 1|( )( )|dzzzff zsz .1 zz于是于是0()( )lim( )0,zF zzF

42、zf zz 即即( )( ).F zf z 與微積分學(xué)中對變上限積分求導(dǎo)定理相同與微積分學(xué)中對變上限積分求導(dǎo)定理相同.3.4.2 Newton-Leibniz公式公式定理定理3.10 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), F(z)是是 f (z)在在D上的原函數(shù)上的原函數(shù), z0和和z1是是D內(nèi)的兩點(diǎn)內(nèi)的兩點(diǎn), 則則 1010( )d()().zzf zzF zF z 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)?也是也是f (z)在在D上的原函數(shù)上的原函數(shù), 10( )dzzf zz 根據(jù)根據(jù)0( )d ( ),zzf zzF zC 其中其中 C為常數(shù)為常數(shù), 易見易見0().CF z

43、說明說明: 有了上述定理有了上述定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.如果沒有如果沒有D是單連通區(qū)域的假設(shè)，那么是單連通區(qū)域的假設(shè)，那么 0( )( )dzzF zf 一般是一個(gè)多值函數(shù)一般是一個(gè)多值函數(shù). 3.5 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù) 1 調(diào)和函數(shù)的概念調(diào)和函數(shù)的概念2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系3.5.1 調(diào)和函數(shù)的概念調(diào)和函數(shù)的概念如果二元函數(shù)如果二元函數(shù)j (x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)存在二階連續(xù)內(nèi)存在二階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足二階偏微分方程且滿足二階偏微分方程 (Laplace 方程方程)

44、22220,xy則稱則稱 (x,y)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù). 工程中的許多問題工程中的許多問題, 如平面上的穩(wěn)定溫度場、如平面上的穩(wěn)定溫度場、靜電場和穩(wěn)定流場等都滿足靜電場和穩(wěn)定流場等都滿足Laplace方程方程. 3.5.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系. , xvyuyvxu 由于解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)由于解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù), 因此因此u(x,y)和和定理定理3.11設(shè)設(shè) ( )( , )( , )f zu x yiv x y 是區(qū)域是區(qū)域 D內(nèi)的解析函數(shù)，則內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和和v(x,y)都是區(qū)域都是區(qū)域D內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函

45、數(shù). 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析, 所以滿足所以滿足Cauchy- Riemann條件條件 v(x,y)存在各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 將將 , uvuvxyyx 分別對分別對x和和y求導(dǎo)，則求導(dǎo)，則 22,uvxxy 22.uvyyx 當(dāng)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)次序可以交換當(dāng)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)次序可以交換. 因此，因此， 22220,uuxy即即u(x,y)是調(diào)和函數(shù)是調(diào)和函數(shù). 同理可證同理可證v(x,y)也是調(diào)和函數(shù)也是調(diào)和函數(shù). 如果任給區(qū)域如果任給區(qū)域 D內(nèi)兩個(gè)調(diào)和函數(shù)內(nèi)兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u(x,y)和和v(x,y),那么那么u(x,y)+iv(x,y)在在D

46、內(nèi)是否為解析函數(shù)內(nèi)是否為解析函數(shù)?考慮考慮 和和22( )2f zxyxyi22( )2.f zxyxyi如果如果u(x,y)和和v(x,y)都是區(qū)域都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 且且u(x,y)+iv(x,y)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù), 則稱則稱v(x,y)是是u(x,y) 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù). 區(qū)域區(qū)域 D 內(nèi)解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)內(nèi)解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和和函數(shù)函數(shù).現(xiàn)在提出如下問題：現(xiàn)在提出如下問題： 或者已知調(diào)和函數(shù)或者已知調(diào)和函數(shù) v(x,y) 時(shí)，是否存在調(diào)和函時(shí)，是否存在調(diào)和函數(shù)數(shù) u(x,y) ，使得，使得 f (z)=uiv 是是D內(nèi)的解

47、析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)? 已知已知 u(x,y)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，是否存在內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，是否存在u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù) v(x,y)，使得函數(shù)，使得函數(shù) f (z)=uiv是是D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)?回答是肯定的回答是肯定的，以下用，以下用舉例舉例的方法加以的方法加以說明說明.解解 因?yàn)樵谌矫鎯?nèi)因?yàn)樵谌矫鎯?nèi)6,uxyx ,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 例例3.17證明證明 32( , )3u x yyx y是全平面內(nèi)是全平面內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，并求以它為實(shí)部的解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)，并求以它為實(shí)部的解析函數(shù). 故故 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù).2222

48、0,uuxy( , ) u x y于是于是6,vuxyyx 由由則則26d3( ),vxy yxyg x 23( ).vyg xx 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?233,vuyxxy 所以所以2223( )33,yg xyx 23( )3dg xxxxC (其中其中C為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)).求求u為實(shí)部的解析函數(shù)為實(shí)部的解析函數(shù).從而從而32( , )3.v x yxxyC于是得解析函數(shù)于是得解析函數(shù)32323(3).wyx yi xxyC令令, ,22zzzzxyi那么函數(shù)可以化為那么函數(shù)可以化為3( )(),wf zi zC其中其中C為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù).求求u為實(shí)部的解析函數(shù)的為實(shí)部的解析函數(shù)的

49、另一方法另一方法.因?yàn)橐驗(yàn)?,uxyx ,33 22xyyu 所以所以22( ) 63() .uufzixyyxixy 3( ) ()f xi xC實(shí)部實(shí)部u不包含常數(shù)不包含常數(shù), 故故(C是實(shí)常數(shù)是實(shí)常數(shù)). 將將x替換成替換成z, 即得即得3( )().f zi zC注：此處用到注：此處用到 .0,y 2( )3.fxix 即即z在實(shí)軸上取值在實(shí)軸上取值, 則則 因?yàn)橐驗(yàn)槔?.18已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù) ( , )( cossin )xv x yeyyxyxy是解析函數(shù)是解析函數(shù)f (z)的虛部的虛部, 且且f (0)=1, 求求f (z)的表達(dá)式的表達(dá)式. , 1)cossin(co

50、s yxyyyeyvx解解因?yàn)橐驗(yàn)?,uvxy 以及以及所以所以(cossincos )1 dxueyyyxyx ( cossin )( ).xexyyyxg y又因?yàn)橛忠驗(yàn)?vuxy 以及以及, 1)sinsincos( yyxyyexvx所以所以1)sinsincos( yyxyyex( sincossin )( ).xexyyyyg y ( cossin ).xuexyyyxyC, 1)( yg故故從而從而( )g yy C (C是實(shí)常數(shù)是實(shí)常數(shù)),(1).zzei zCivuzf )(1)(1)xiyxiyxe eiye exiiyiC( cossin )xexyyyxyC( coss

51、in )xi eyyxyxy由由(0)1,f 得得1.C 因此因此. 1)1()( zizezfz另一方法另一方法 因?yàn)橐驗(yàn)? )vvfziyx (cossincos )1xeyyyxy( cossinsin )1 ,xi eyyxyy令令 0,y 即即z在實(shí)軸取值，則在實(shí)軸取值，則 ( )1,xxfxxeei 所以所以( )(1)xf xxei xC (C是常數(shù)是常數(shù)). 將將x替換替換成成z, 即得即得( )(1),zf zzei zC 由由(0)1,f 可知可知1.C 因此因此. 1)1 ()( zizezfz例例3.19 已知已知22()(4)2(),uvxyxxyyxy求解析函數(shù)求解

52、析函數(shù) ( ).f zu iv 解解 分別求導(dǎo)數(shù)可得分別求導(dǎo)數(shù)可得, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx22(4)()(42 )2.yyuvxxyyxyxy 因?yàn)橐驗(yàn)?, , uvuvxyyx 所以所以, 23322 yxvy6.xvxy 因此因此22( )3326.yxfzvivxyxyi 令令 0,y 即即z在實(shí)軸取值，則在實(shí)軸取值，則 2( )32,fxx 于是于是3( )2f xxxC(C是常數(shù)是常數(shù)).將將x替換成替換成z, 即得即得3( )2.f zzzC復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的積分存在的條件及計(jì)算條件及計(jì)算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)Cauchy積分定理積分定理原函數(shù)原函數(shù)的概念的概念復(fù)合復(fù)合閉路閉路定理定理Cauchy積分公式積分公式高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式公式Newton- -Le