D12數(shù)列的極限99587實(shí)用教案

1、定義定義(dngy):自變量取正整數(shù)的函數(shù)(hnsh)稱(chēng)為數(shù)列,記作或稱(chēng)為(chn wi)通項(xiàng)(一般項(xiàng)) .若數(shù)列及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :當(dāng) n N 時(shí),總有記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂 , 否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(即)(Nn 或1Nx2Nx則稱(chēng)該數(shù)列的極限為 a ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共26頁(yè)第一頁(yè)，共27頁(yè)。例如例如(lr),趨勢(shì)(qsh)不定收 斂發(fā) 散機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共26頁(yè)第二頁(yè)，共27頁(yè)。例例1. 已知已知證明(zhngmng)數(shù)列的極限(jxin)為1. 證: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取則當(dāng)時(shí), 就有故

2、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共26頁(yè)第三頁(yè)，共27頁(yè)。例例2. 已知已知證明(zhngmng)證:欲使只要(zhyo)即取則當(dāng)時(shí), 就有,0nx故故也可取(kq)也可由N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說(shuō)明: 取機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共26頁(yè)第四頁(yè)，共27頁(yè)。例例3. 設(shè)設(shè)證明(zhngmng)等比數(shù)列證:, ) 1 ,0(欲使只要(zhyo)即亦即因此(ync) , 取, 則當(dāng) n N 時(shí),就有故的極限為 0 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共26頁(yè)第五頁(yè)，共27頁(yè)。ab二、收斂二、收斂(shulin)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)證

3、: 用反證法.及且取因故存在(cnzi) N1 , 從而(cng r)同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時(shí), 有1. 收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí), 故假設(shè)不真 !nx滿(mǎn)足的不等式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共26頁(yè)第六頁(yè)，共27頁(yè)。例例4. 證明證明(zhngmng)數(shù)列數(shù)列是發(fā)散(fsn)的. 證: 用反證法.假設(shè)(jish)數(shù)列收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取則存在 N ,但因交替取值 1 與1 , 內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長(zhǎng)度為 1 的

4、開(kāi)區(qū)間 使當(dāng) n N 時(shí) , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共26頁(yè)第七頁(yè)，共27頁(yè)。2. 收斂收斂(shulin)數(shù)數(shù)列一定有界列一定有界.證: 設(shè)取則當(dāng)時(shí), 從而(cng r)有取 則有由此證明收斂(shulin)數(shù)列必有界.說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 .例如,雖有界但不收斂 .有數(shù)列機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共26頁(yè)第八頁(yè)，共27頁(yè)。3. 收斂收斂(shulin)數(shù)數(shù)列的保號(hào)性列的保號(hào)性.若且時(shí), 有證:對(duì) a 0 ,取ax2a2a推論(tuln):若數(shù)列(shli)從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)

5、/共26頁(yè)第九頁(yè)，共27頁(yè)。*4. 收斂收斂(shulin)數(shù)列的任一子數(shù)列收數(shù)列的任一子數(shù)列收斂斂(shulin)于同一極限于同一極限 .證: 設(shè)數(shù)列(shli)是數(shù)列(shli)的任一子數(shù)列 .若則當(dāng) Nn 時(shí), 有現(xiàn)取正整數(shù) K , 使于是當(dāng)時(shí), 有從而有由此證明 *Kn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共26頁(yè)第十頁(yè)，共27頁(yè)。三、極限存在三、極限存在(cnzi)準(zhǔn)則準(zhǔn)則由此性質(zhì)(xngzh)可知 ,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂(shulin)于不同的極限 ,例如， 發(fā)散 !夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則 .則原數(shù)列一定發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明:

6、 第11頁(yè)/共26頁(yè)第十一頁(yè)，共27頁(yè)。1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則(zhnz) (準(zhǔn)則準(zhǔn)則(zhnz)1) (P49)證: 由條件(tiojin) (2) ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí), 有由條件(tiojin) (1)即故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共26頁(yè)第十二頁(yè)，共27頁(yè)。例例5. 證明證明(zhngmng)證: 利用(lyng)夾逼準(zhǔn)則 .且由機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共26頁(yè)第十三頁(yè)，共27頁(yè)。2. 單調(diào)單調(diào)(dndio)有界數(shù)列必有極限有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 ) ( P52 ) nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明

7、(zhngmng)略 )ab機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共26頁(yè)第十四頁(yè)，共27頁(yè)。例例6. 設(shè)設(shè)證明(zhngmng)數(shù)列nx極限(jxin)存在 . (P52P54)證: 利用(lyng)二項(xiàng)式公式 , 有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共26頁(yè)第十五頁(yè)，共27頁(yè)。) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n大 大 正又比較(bjio)可知機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共26頁(yè)第十六頁(yè)，共27頁(yè)。根據(jù)根據(jù)(gnj)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列可知數(shù)列記此極限(jxin)為 e , e 為

8、無(wú)理數(shù) , 其值為即有極限(jxin) .原題 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11)1 (1nnnx!21!31!1n又第17頁(yè)/共26頁(yè)第十七頁(yè)，共27頁(yè)。*3. 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(zhnz)(柯西審斂原理柯西審斂原理) (P55)數(shù)列(shli)極限(jxin)存在的充要條件是:存在正整數(shù) N ,使當(dāng)時(shí),證: “必要性”.設(shè)則,0時(shí), 有 使當(dāng)因此“充分性” 證明從略 .有柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共26頁(yè)第十八頁(yè)，共27頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義(dngy)及應(yīng)用2. 收斂(shulin)數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ;

9、 有界性 ; 保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共26頁(yè)第十九頁(yè)，共27頁(yè)。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 如何判斷(pndun)極限不存在?方法1. 找一個(gè)(y )趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知, 求時(shí),下述作法是否正確? 說(shuō)明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共26頁(yè)第二十頁(yè)，共27頁(yè)。作業(yè)作業(yè)(zuy)P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示(ts

10、h):可用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法證 第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共26頁(yè)第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。故極限(jxin)存在，備用備用(biy(biyng)ng)題題 1.1.設(shè) , 且求解：設(shè)則由遞推公式(gngsh)有1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共26頁(yè)第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)設(shè)證:顯然(xinrn)證明下述數(shù)列(shli)有極限 .即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消” 法第23頁(yè)/共26頁(yè)第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。劉徽劉徽(約約225 295年年)我國(guó)古代(gdi)魏末晉初的杰

11、出數(shù)學(xué)家.他撰寫(xiě)(zhun xi)的重 差對(duì)九章算術(shù)中的方法(fngf)和公式作了全面的評(píng) 注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 ,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì) , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要極限思想 . 的方法 :第24頁(yè)/共26頁(yè)第二十四頁(yè)，共27頁(yè)?？挛骺挛?1789 1857)法國(guó)(f u)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)(gngxin)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫(xiě)的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書(shū) 7 本 , 第25頁(yè)/共26頁(yè)第二十五頁(yè)，共27頁(yè)。感謝您的欣賞(xnshng)！第26頁(yè)/共26頁(yè)第二十六頁(yè)，共27頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)定義:。第1頁(yè)/共26頁(yè)。第2頁(yè)/共26頁(yè)。第3頁(yè)/共26頁(yè)。不一定取最小的 N .。1. 收斂數(shù)列