中考復(fù)習(xí)之拋物線與幾何圖形

1、中考復(fù)習(xí)：拋物線與幾何圖形縱觀近幾年的中考試卷，在壓軸題里面，以函數(shù)（特別是二次函數(shù)）為載體，綜合幾何圖形的題型是中考的熱點和難點，這類試題常常需要用到數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想等，這類試題具有拉大考生分數(shù)差距的作用它既突出考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識，又突出了與高中銜接的重要內(nèi)容本課時主要研究拋物線與等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形的綜合問題，解決這類試題的關(guān)鍵是弄清函數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，在解題的過程中，將函數(shù)問題幾何化同時能夠?qū)W會將大題分解為小題，逐個擊破例1：（2013湖南湘西)如圖，已知拋物線 與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A(2，

2、0)（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；4412bxxy（2）求點C的坐標，連接AC、BC，并求線段BC所在直線的解析式；【解題思路】令【解題思路】令x0，求得，求得y的值，即得出點的值，即得出點C的坐標，再的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求得點根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求得點B的坐標，用待定系數(shù)法可求的的坐標，用待定系數(shù)法可求的直線直線BC的解析式；的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；【解題思路】考慮到【解題思路】考慮到AOC與與COB都是直角都是直角三角形，可判定夾直角的兩邊是否對應(yīng)成比例，三角形，可判定夾直角的兩邊是否對應(yīng)成比例，從而可判斷兩個三角形是否相似；從而可判斷

3、兩個三角形是否相似；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ACQ為等腰三角形，若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由【解題思路】先假設(shè)存在，拋物線的對稱軸上的點Q的橫坐標都是3，可設(shè)縱坐標為c，分三種情況ACAQ，CQCA，QAQC，分別建立關(guān)于c的方程求解【必知點】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是高頻考點；（2）判斷兩個三角形相似，在已知一角相等的前提下，可尋找另一角相等，或利用夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例來說明；（3）探究一個三角形是否是等腰三角形的時候，實際上就是討論什么時候有兩條邊相等，因此需要分三種情況討論例2：（2013四川攀枝花）如圖，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過點A

4、（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求拋物線的解析式；【解題思路】已知拋物線與x軸兩個交點坐標，可設(shè)拋物線兩根式的解析式求解；（2）若P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，記PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標； 【解題思路】設(shè)【解題思路】設(shè)P點坐標，構(gòu)建點坐標，構(gòu)建P點橫坐標為變量點橫坐標為變量的面積的面積S的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)配方法求最值的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)配方法求最值（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DEx軸于點E，在y軸上是否存在點m，使得ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；不存在，請說明理由例3：（2013山東萊蕪）如圖，拋物線 yax2+bx+c（a0）

5、經(jīng)過點A（3，0）、B(1，0)、C(2，1)，交y軸于點M.（1）求拋物線的表達式；【解題思路】利用三點式求出二次函數(shù)解析式【解題思路】利用三點式求出二次函數(shù)解析式（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解題思路】在各個象限內(nèi)，分類討論以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似.因為沒有相似的對應(yīng)點，所以需要點在不同象限內(nèi)時，PAN的形狀，確定出對應(yīng)邊，然后利用相似三角

6、形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等.然后將對應(yīng)邊的長度轉(zhuǎn)化為點的坐標，從而確定點的坐標例4：（2013浙江舟山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線 的頂點為A，與y軸的交點為B連結(jié)AB，ACAB，交y軸于點C，延長CA到點D，使ADAC，連結(jié)BD作AEx軸，DEy軸221144yxmmm（1）當m2時，求點B的坐標；【解題思路】將【解題思路】將m2，x0直接代入二次函數(shù)直接代入二次函數(shù)解析式，便可求得點解析式，便可求得點B的縱坐標；的縱坐標；【解題思路】延長【解題思路】延長EA，交，交y軸于點軸于點F，構(gòu)造出，構(gòu)造出AFC與與AED全等，從而得到全等，從而得到AF=AE，根據(jù)，根據(jù)B、A點坐標特征分別

7、用含點坐標特征分別用含m的代數(shù)式表示出線段的代數(shù)式表示出線段AF、AE、BF的長度，借助相似可求得的長度，借助相似可求得DE的長度；的長度；（3）設(shè)點D的坐標為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； 【解題思路解題思路】關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)A、D兩點的坐標特征，根據(jù)兩點的坐標特征，根據(jù)A點的坐點的坐標寫出標寫出D點的坐標，通過等量代換，尋求出點的坐標，通過等量代換，尋求出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式過點D作AB的平行線，與第（3）題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時?以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形?【解題思路】利用【解題思路】利用P點的坐標在第點的坐標在第問的函數(shù)問的函數(shù)圖象上，問題可獲得解決圖象上，問題可獲得解決. 例5：（2013廣東湛江）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交 x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標為（0，5）（1）求此拋物線的解析式；（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與OC的位置關(guān)系，并給出證明； 【解題思路】分