微分方程和解

1、1.1 微分方程和解微分方程和解常微分方程課程簡(jiǎn)介常微分方程課程簡(jiǎn)介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)

2、域。 常微分方程 學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來(lái)解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過(guò)這門(mén)課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問(wèn)題，為他們將來(lái)從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教 材：東北師大數(shù)學(xué)系編. 常微分方程(第二版) .高教出版社參考資料：1.丁同仁. 常微分方程教程. 人民教育出版社 2.張錦炎. 常

3、微分方程幾何理論與分支問(wèn)題（修訂本）.北京大學(xué)出版社 定義定義1:1: 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程分）的關(guān)系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdx

4、dy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時(shí)把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定義定義2 2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的微分的階數(shù)階數(shù)稱為稱為微分方程的階數(shù)微分方程的階數(shù). . 2 ) 1 (xdxdy

5、是一階微分方程； 0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn階隱式微分方程的一般形式為.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自變量是未知函數(shù)而且一定含有的已知函數(shù)是這里xydxyddxyddxydnnnnnnn階顯式微分方程的一般形式為 1, ,(2)nnyfx y yy 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxdd

6、txd三 線性和非線性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如.,dxdyy階線性方程則稱其為的一次有理式及的左端為ndxydnn1.如果方程 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程四 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;)() 1 (階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對(duì).0),dxd

7、yy,F(x,(x)y上的一個(gè)解在為方程則稱Idxydnn例2.),(0ycosxysinx,y上的一個(gè)解在都是微分方程驗(yàn)證y證明:由于對(duì)sinx,y xsinycosx,y(,),x 故對(duì)有 yyxsin0 xsin.),(0ysinxy上的一個(gè)解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一個(gè)解在是微分方程同理y1 顯式解與隱式解是方程的一個(gè)則稱的解為方程所確定的隱函數(shù)如果關(guān)系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個(gè)顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.例如yxdxdy對(duì)一階微分方程有顯式解:2211.y

8、xyx 和和隱式解:. 122 yx2 通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:為任常數(shù)2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨(dú)立的任常數(shù)其中ncc 注1:使得行列式的某一鄰域存在是指?jìng)€(gè)獨(dú)立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例3.62y2y3cy2321的通解是微分方程驗(yàn)證yy

9、ececexxxxxxecece23212cy證明:由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx

10、注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3: 類似可定義方程的隱式通解 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解. 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解或不含任意常數(shù)的解稱為方程的特解.例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分別取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定義63 定解條件 為

11、了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問(wèn)題稱為定解問(wèn)題. 常見(jiàn)的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時(shí)當(dāng).1,)1(0)1(000個(gè)常數(shù)是給定的這里nyyyxn當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫(xiě)為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問(wèn)題的解的初值問(wèn)題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗(yàn)證yyyycexyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4