大一高等數(shù)學(xué)第十章第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

1、一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域G, , 如果如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區(qū)域?yàn)榭臻g一維單連通

2、區(qū)域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍圍成成, ,函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP及及在在D上具有一階連上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有則有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .定理定理1 1格林公式格林公式連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行

3、走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn).),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證

4、LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來說為正方

5、向來說為正方向?qū)?duì)DLLLGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)?duì)DLLL便便于于記記憶憶形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式

6、式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.xyoL例例 1 1 計(jì)算計(jì)算 ABxdy,其中曲其中曲線線AB是半徑為是半徑為r的圓在的圓在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,1. 1. 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1()

7、,0 , 0(BAO為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 簡(jiǎn)化二重積分簡(jiǎn)化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e例例3 3 計(jì)算計(jì)算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為一條無重點(diǎn)為一條無重點(diǎn), ,分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, ,L的方的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. .則則當(dāng)當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)

8、區(qū)域域?yàn)闉镈,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí),1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20格林公式格林公式: LD

9、QdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計(jì)計(jì)算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxx

10、aa )0 ,(aANMGyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). . 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則曲線積分則曲線積分 LQdyPdx在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充要條件是要條件是xQyP 在在G內(nèi)恒成

11、立內(nèi)恒成立. .定理定理2 2(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：有關(guān)定理的說明： 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則dyyxQdxyxP),(),( 在在G內(nèi)為某一內(nèi)為某一函數(shù)函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. .定理定理3 3三、全微分準(zhǔn)則三、全微分準(zhǔn)則 原函數(shù)原函數(shù)定義定

12、義若函數(shù)若函數(shù)),(yxu，使，使dyyxQdxyxPdu),(),( xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或則稱則稱),(yxu是表達(dá)式是表達(dá)式dyyxQdxyxP),(),( 的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù).例例 5 5 計(jì)計(jì)算算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其其中中 L 為為由由點(diǎn)點(diǎn))0, 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1, 1(B的的曲曲線線弧弧2sinxy . xxyxyyP2)2(2 xyxxx

13、Q2)(42 解解 xQyP ，原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān) 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 6 6 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分 Ldyxydxxy)(2與路徑無與路徑無關(guān)關(guān), 其中其中 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且且0)0( , 計(jì)算計(jì)算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 1

14、0100ydydx.21 四、小結(jié)四、小結(jié)1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;2.2.二重積分與曲線積分的關(guān)系二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 3. 格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3

15、(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題 若區(qū)域若區(qū)域 如圖為如圖為復(fù)連通域，試描述格復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中林公式中曲線積分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考題思考題思考題解答思考題解答oxyABCDEFG由兩部分組成由兩部分組成L外外邊界：邊界：內(nèi)內(nèi)邊界：邊界：BCDABEGFE一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平

16、 面 上 的 一 個(gè) 單 連 通 域?yàn)?平 面 上 的 一 個(gè) 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算計(jì)算 Ldyyxdxxxy)()2(

17、22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整個(gè)在整個(gè)xoy面面內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), ,并計(jì)算積分值并計(jì)算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(2

18、2其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點(diǎn)上由點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)的一段弧；的一段?。? 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點(diǎn)和是過原點(diǎn)和)1,1(A, ,)6,2(B且其對(duì)稱軸垂直于且其對(duì)稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , AMB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計(jì)算六、計(jì)算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時(shí)針方向取逆時(shí)針方向) )七、驗(yàn)證七、驗(yàn)證yxxdxxyyx2