保險精算生存年金課件

1、1第六章 生存年金2生存年金產(chǎn)品n生存年金是以年金方式在被保險人生存期內(nèi)的一系列給付，保險費通常采取在投保時一次性繳付的躉繳方式或者在一定時期內(nèi)的均衡繳付的方式。n生存年金形式：l即期年金（immediate annuities）l延期年金(deferred annuities)l定期確定的生存年金l指數(shù)化年金l聯(lián)合生存年金3生存年金精算現(xiàn)值 n純生存保險純生存保險：在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。 n【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險公司得到1 000元的一次性給付。設(shè)利率i=6%，試寫出這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值。 1:nxA4解：

2、解：李明從20歲活到60歲的概率是 ，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險40204020402010000 (1)1000ppp 4020p40402010001.06p這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：60402020877 6710.89195983 992lpl根據(jù)附表中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（19901993年）（男女混合表）的資料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以計算得, 所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。5一般地：假設(shè)某人x歲時開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險金，（x）

3、存活n年的概率為 ，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。 以 表示1單位單位元元n年純粹生存保險現(xiàn)值年純粹生存保險現(xiàn)值，即 純生存保險nxpnxnnxnqpk0nxE1: xnA10nnnnxnxnxnxEvpvqvp (1)nxnxx nlEilnxE變換上式得，6與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)， 為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。純生存保險1nxE11(1)nxnxnnxx nlpiElnxxxnllp1它是利率累積因子(1+

4、i)t與生存累積因子之積。7年付一次生存年金的精算現(xiàn)值n定義：生存年金生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險人在規(guī)定的時期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。n一般類型：終身年金、定期年金、延期年金8終身生存年金n【例6.3】 張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計算這一年金的精算現(xiàn)值。12302303001 000+1 0001.091 0001.09=1 0001.09kkkppp解：解： 代入相應(yīng)的存活概率和利率，就可以計算出這一年金的精算現(xiàn)值。9期首付終身生存年金12001kxxxkxkxkkaEEEp一般地，對(x)的每年1單位元期

5、首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險期逐步延長的純粹生存保險之和，如下圖所示：其中， 0Ex=1，求和上限實際是-x-1，為方便通常寫成。xa 10期末付終身生存年金1kxkxEa對（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示： 11定期生存年金nxa: 1xx n:0 xNNDnkxx nkaEx 1x n 1:1xNNDnkxx nkaE n一般地，對（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以 表示， n類似地，對(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：12對（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以延期生存年金xna

6、 xxNDxkxnknaExnnxxaaa :nxxnxnaEa n年延期生存年金年延期生存年金: 從計算時點起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據(jù)定義,顯然，13延期生存年金1nkxkxnEaxnnxxaaa:nxxnxnaEan年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地， 14延期定期生存年金延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以 或 表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金xmna :nx ma 1mnnkxkxmnEa 15對(x)的n年延期m年定期每年1單

7、位元期末付生存年金期末付生存年金，是從x+n+1起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金xmna:nx mamnnkxkxmnEa1或 表示，根據(jù)定義： 16期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。1xxaa xnnxnxEaa:1 1:1nxnxaa xnxnxnEaa xnxnaa1 xmnxmnaa1 延期定期生存年金17連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值n終身連續(xù)生存年金n定期連續(xù)生存年金18連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值n延期連續(xù)生存年金n延期定期連續(xù)生存年金19生存年金與壽險的關(guān)系20n背景背景：實踐中年金常常是每半年、一季度或一個月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概

8、率，必須在一定的假設(shè)下近似計算。 對（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以 表示，這一年金在每個 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保險人死亡為止。年付m次生存年金)(mxa kxm00)(11kxmkmkkxmkmxpmEma 21近似公式()12mxxmmaa()12mxxmmaa()12nxmxxnnmEmaa()12nxmxxnnmEmaan對（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值n對（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值n對（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值n對（x）

9、的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值22近似公式)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa n對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：n對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：23當(dāng) 時，上面的年金稱為終身變額年金。n變額年金變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時期的不同而變動。n變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為 ，則精算現(xiàn)值（Actuarial Present Value，簡記為 APV）為，變額生存年金11,nx

10、xxbbb1)(nxxyxxyxyyxpbAPVxn24n一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：n一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 25如果年金收付額 系列為1，2，3 等差遞增，這一年金稱為標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金，對終身期首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示：等差遞增生存年金ybxaI )( 0) 1()(kxkkxpkaI 26n期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金精算現(xiàn)值，n期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值n期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值等差遞

11、增生存年金1)(kxkkxpkIa1-n0:) 1()(kxkknxpkaI nkxkknxpkIa1:)( 27等差遞增生存年金0 xx ttSN1111121100()txtxtttttxtxtxtttxxxx kxxkkkxxIatvpvpvpvpaaaNSaDD 為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè)有，28當(dāng)變額年金收付額 系列為n，n-1，1等差遞減時，這時期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示：等差遞減生存年金 ybnxaD:)( 1-n0:)-()(kxkknxpknaD n1:)-()(kxkknxpknDa期末付的年金現(xiàn)值29設(shè) ，即 上式成為，n實踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社會養(yǎng)老保險的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個簡化計算公式。n如果對(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，b(