數(shù)字圖像處理-傅立葉變換

1、第5章 圖像變換精選ppt1o 圖像變換的作用o 傅立葉變換o 離散傅立葉變換o 傅立葉變換的性質(zhì)o 二維傅立葉變換圖像變換第5章 圖像變換精選ppt2 一. 圖像變換的作用 圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換 圖像變換的作用 我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。 1. 方便處理 2. 便于抽取特性第5章 圖像變換精選ppt3常用的變換 傅立葉變換Fourier Transform2. 離散余弦變換Discrete Cosine Transform3. 沃爾什哈達瑪變換Walsh-Hadamard

2、Transform第5章 圖像變換精選ppt4二. 傅立葉變換 傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。（2）可以將卷積運算化為乘積運算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進行圖像恢復(fù) 和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。第5章 圖像變換精選ppt5 傅立葉變換的定義傅立葉變換dxexfuFuxj2)()(若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為： 傅立葉逆變換定義如下： dueuFxfuxj2)()(第5章 圖像變換精選ppt6 函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換

3、對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的； 反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。 第5章 圖像變換精選ppt7傅里葉變換的條件傅里葉變換的條件 傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴密的，它需要滿足如下狄利克萊條件： (1) 具有有限個間斷點； (2) 具有有限個極值點； (3) 絕對可積;第5章 圖像變換精選ppt8F(u)可以表示為如下形式： )()()(ujIuRuF2122)()(| )(|uIuRuF)()(tan(arg)(uRuIu |F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，)(u稱為F(u)的相角。 第5章 圖像變換精選ppt9

4、2| )(|)(uFuE)(uE稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。 第5章 圖像變換精選ppt10高斯函數(shù)的定義為： 例例1 1 高斯函數(shù)的傅立葉變換高斯函數(shù)的傅立葉變換 2)(xexf根據(jù)傅立葉變換的定義可得： dxexfuFuxj2)()(dxeeuxjx22dxeuxjx)2(2dxeejuxu2)(2第5章 圖像變換精選ppt11令x+ju=t，上式可以化為： dteeuFtu22)(2ue2xe2ue結(jié)論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù) 為傅立葉變換函數(shù)對。第5章 圖像變換精選ppt12例例2. 2. 矩形函數(shù)矩形函數(shù) 矩形函數(shù)形式如下矩形函數(shù)形式如下: : 2|02|)(

5、TxTxAxf第5章 圖像變換精選ppt13dxexfuFuxj2)()(根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下： 222TTuxjdxAe02)sin(uxjeuTuA第5章 圖像變換精選ppt14可得矩形函數(shù)可得矩形函數(shù)f(x)f(x)的傅立葉頻譜為：的傅立葉頻譜為： |)sin(| )(|uTuTATuF幾何圖形如下頁圖(b)所示 第5章 圖像變換精選ppt15第5章 圖像變換精選ppt16第5章 圖像變換精選ppt17第5章 圖像變換精選ppt18傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用 首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。 因此，我們可以在Fourie

6、r變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。第5章 圖像變換精選ppt19傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用 直接進行時域中的卷積運算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。)(SG),(jif),(jifgfgfg),(),(),(FGFg)(1ggFFFTf第5章 圖像變換精選ppt20三. 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義 要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換， 還需要解決兩個還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進行傅立葉變換的問題：一是在數(shù)學(xué)中進行傅立葉變換的f f( (x x) )為連續(xù)（模擬）為連續(xù)（模擬）信號，信號， 而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)

7、據(jù)）；二是數(shù)學(xué)而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常， 將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（Discrete Discrete Fourier TransformFourier Transform，DFT)DFT)。第5章 圖像變換精選ppt21o 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義1021, 2 , 1 , 0)()(NxNuxjNuexfuF第5章 圖像變換精選ppt22離散傅立葉逆變換離散傅立葉逆變換: :1021, 2 ,

8、1 , 0)(1)(NuNuxjNxeuFNxf第5章 圖像變換精選ppt23四. 傅立葉變換的性質(zhì)加法定理 位移定理 相似性定理 卷積定理 能量保持定理第5章 圖像變換精選ppt24 加法定理第5章 圖像變換精選ppt25第5章 圖像變換精選ppt26 位移定理第5章 圖像變換精選ppt27 相似性定理 結(jié)論：一個“窄”的函數(shù)有一個“寬”的頻譜第5章 圖像變換精選ppt28第5章 圖像變換精選ppt29 旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示。(a)(b)(d)(c)圖 離散傅

9、立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a） 原始圖像； （b） 原始圖像的傅立葉頻譜； （c） 旋轉(zhuǎn)45后的圖像； （d） 圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜 第5章 圖像變換精選ppt30卷積定理第5章 圖像變換精選ppt31能量保持定理第5章 圖像變換精選ppt32五. 二維傅立葉變換1. 二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義 dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(第5章 圖像變換精選ppt33 dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(第5章 圖像變換精選ppt34第5章 圖像變換精選ppt352. 二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義 根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維

10、連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有立葉變換理論，對于一個具有M MN N個樣本值的二位個樣本值的二位離散序列離散序列f(xf(x，y)y)，（，（x=0,1,2,3, x=0,1,2,3, ,M-1,M-1；y=0,1,2,3, y=0,1,2,3, ,N-1,N-1）其傅立葉變換為：）其傅立葉變換為： (1) 二維離散傅立葉正變換1, 2 , 1 , 0; 1, 2 , 1 , 0),(),(10)(210NvMueyxfvuFMxNvyMuxjNy第5章 圖像變換精選ppt36(2) 二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v) （u=0,1,2,3, ,M-1；v=0,1,2,3,

11、,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為： 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(1),(10)(210NyMxevuFMNyxfNvNvyMuxjMu第5章 圖像變換精選ppt37 x、y和u、v，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔 兩者之間滿足如下關(guān)系： vNyuMx11第5章 圖像變換精選ppt38 式中序列R(u，v) 和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實序列和虛序列。 二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下： F(u，v)可以表示為如下形式：),(),(),(vujIvuRvuF2122),(),(|

12、 ),(|vuIvuRvuF),(),(tan(arg),(vuRvuIvu2| ),(|),(vuFvuE第5章 圖像變換精選ppt39(1)(1)線性特性線性特性 3. 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)),(),(),(),(22111111yxfkDFTyxfkDFTyxfkyxfkDFT),(),(2211vuFkvuFk(2) (2) 比例性質(zhì)比例性質(zhì) = =0),(1),(abbvauFabbyaxfDFT第5章 圖像變換精選ppt40(3)(3)平移性質(zhì)平移性質(zhì) ),(),(00)(200vvuuFeyxfDFTNyvMxuj 二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用 乘以f(x，y)，然后再

13、進行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。 )(200NyvMxuje第5章 圖像變換精選ppt41(4)(4)可分離性可分離性 10)(210),(),(MxNvyMuxjNyeyxfvuF1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(102210 NvMueeyxfMxNuxjMvyjNy第5章 圖像變換精選ppt42 二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進行一維傅立葉變換 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMxeyxfv

14、xFNvyjNy在此基礎(chǔ)上對x進行一維傅立葉變換1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(210NvMuevxfvuFMuxjMx第5章 圖像變換精選ppt43變量分離步驟如圖所示 ),(),(),(yxfDFTDFTyxfDFTDFTvuFyxxy第5章 圖像變換精選ppt44 若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng) 10)(210),(),(MuNvyMuxjNvevuFyxf1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(102210 NyMxeevuFMuNuxjMvyjNv逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換 1, 2

15、 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(),(1111NyMxvuFDFTDFTvuFDFTDFTyxfuvvu第5章 圖像變換精選ppt45(5)(5)周期性周期性 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),(),(21NvMuNkvMkuFvuF 如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性： 第5章 圖像變換精選ppt46(6)(6)共軛對稱性共軛對稱性 1,2, 1 ,01,2, 1 ,0),(),(*NvMuvuFvuF第5章 圖像變換精選ppt47半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜中心

16、化的傅里葉頻譜第5章 圖像變換精選ppt48(7)(7)旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 圖像f(x，y)可以表示為f(r，)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標(biāo)可以表示為F(，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性： ),(),(00FrfDFT),(),(00rfFDFT第5章 圖像變換精選ppt49(a)原始圖像 (b) DFT變換 (c) 原始圖像旋轉(zhuǎn)45 (d) 旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果 第5章 圖像變換精選ppt50(8)(8)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFujxyxfDFTnnn1, 2 , 1 , 01, 2 , 1 , 0),()2(),(NvMuvuFvjyyxfDFTnnn第5章 圖像變換精選ppt51(9)(9)平均值性質(zhì)平均值性質(zhì) 平均值定義如下平均值定義如下 1010),(1),(MxNyyxfMNyxf1010),()0 , 0(MxNyyxfF),(yxfMN)0 , 0(1),(FMNyxf平均值性質(zhì)如下：平均值性質(zhì)如下： 即：即： 結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點處值的1/MN。 第5章 圖像變換精選ppt5210. 卷積定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*