HPM視野下的教學案例解析

1、HPM視野下的教學案例解析視野下的教學案例解析陳彥霞陳彥霞 教育學院教育學院 2015.10.20 2015.10.20論文總體結(jié)構(gòu)論文總體結(jié)構(gòu) HPM 簡介 HPM的研究價值 HPM視野下的教學設(shè)計 結(jié)束語 HPM，是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫。HPM源自1972 在英國埃克塞特（Exeter）舉行的第二屆國際數(shù)學教育大會(ICME-2)上的一個工作組,它隸屬于國際數(shù)學教育委員會(ICMI),是一個專門研究數(shù)學史與數(shù)學教育之間關(guān)系的組織。它的成立標志著數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系的研究已經(jīng)作為一個獨立的學術(shù)研究領(lǐng)域遍及于全世界。 HPM的起源的起源

2、我國對HPM的普遍關(guān)注則是在本世紀初，普通高中數(shù)學課程標準（實驗）頒布之后。課程標準將數(shù)學史選講作為一個選修序列，并強調(diào)要讓學生初步了解數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學對人類文明發(fā)展的作用，提高學習數(shù)學的興趣，加深對數(shù)學的理解，感受數(shù)學家的嚴謹態(tài)度和鍥而不舍的探索精神。因此，探索如何在數(shù)學教育中融入數(shù)學史，為數(shù)學教育注入新的元素，提升教育質(zhì)量，成了當前必須面對和亟需解決的一項理論和實踐課題。我國對我國對HPM的關(guān)注程度的關(guān)注程度 實際上，關(guān)于HPM研究價值的論述在我國許多期刊上都有較多闡述。歸納起來主要是（1）有利于幫助學生加深對數(shù)學概念、方法和思想的理解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力； （2）有利

3、于幫助學生了解數(shù)學的應(yīng)用價值和文化價值，從而增強學生學習數(shù)學的動力。5但是，對于HPM的認識不能僅僅局限于此，更重要的是要把這種理念貫徹到教學實踐中去。不能把數(shù)學史作為數(shù)學教學內(nèi)容之外的部分,要把數(shù)學史與數(shù)學知識的教學作為一個整體。HPM的研究價值的研究價值 案例一：更相減損術(shù)與歐幾里得算法案例一：更相減損術(shù)與歐幾里得算法 1. 1.提出問題提出問題 2. 2.解決方案解決方案（1）更相減損術(shù) 我國古代在約分時沒有直接分解因式，而是利用反復作減法去找分母、分子的最大公因數(shù)，這種方法就叫做更相減損術(shù)。 用更相減損術(shù)，確定兩個正整數(shù)a和b的最大公因子：第一步，任意給兩個數(shù)，先判斷它們是否為偶數(shù)，若

4、是偶數(shù)除以2；若否，執(zhí)行第二步；第二步，用較大的數(shù)減較小的數(shù)，把所得的差與減數(shù)比較，若相等，則相等的數(shù)為它們的公因子；若否，則把差與最小的數(shù)中大數(shù)減小數(shù)所得差與較小的數(shù)比較，重復計算直至出現(xiàn)相等的數(shù)。（2）歐幾里得算法 歐幾里得在其著作幾何原本中，通過利用數(shù)形結(jié)合思想，用兩條線段能否度量闡述了歐幾里得算法。歐幾里得算法又稱為輾轉(zhuǎn)相除算法。 用輾轉(zhuǎn)相除法，確定兩個正整數(shù)a和b的最大公因子：第一步，用較大的數(shù)a除以較小的數(shù)b，所得余數(shù)記為r，若r=0,則較小的數(shù)為最小公倍數(shù)，若否,則執(zhí)行下一步；第二步,互換：置 ab，br，并返回第一步。 3. 3. 案例解析案例解析這一案例之所以典型，因為它有諸

5、多特色：如（1）利用數(shù)學史材料創(chuàng)設(shè)情景，引入新知，激發(fā)學生的學習興趣，體現(xiàn)了算法史融入算法教學的人文性原則。（2）用簡單的例子說明更相減損算法的原理，化解教學難點，體現(xiàn)了算法史融入算法教學的科學性原則。（3）用程序框圖來表示更相減損算法，突出教學重點，體現(xiàn)了算法史融入算法教學的程序性原則。（4）結(jié)尾，引入歐幾里得傳記，進而對比中西不同數(shù)學家的算法，說明了算法的多樣性。案例二：等比數(shù)列的前案例二：等比數(shù)列的前 n 項和項和 1. 1.提出問題提出問題 國際象棋起源于印度，棋盤上共有 8 行 8 列，構(gòu)成 64 個格子。相傳，古印度國王舍罕王打算重賞國際象棋的發(fā)明者-宰相西薩班達依爾，問他要什么獎

6、賞。于是，這位宰相跪在國王面前說：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我1粒麥子；在第二個小格內(nèi)給2粒，第三格內(nèi)給4粒，第四格內(nèi)給 8 粒，依次類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的 2 倍，直到第 64 個格子?！贝蠹矣X得這件事情難辦嗎？當時呢，國王覺得這事并不難，就欣然同意了他的要求。但是，當宮廷的數(shù)學家計算了所需麥子的數(shù)目后，才發(fā)現(xiàn)即使把全印度倉庫里的所有小麥都拿出來，國王也無法兌現(xiàn)他對宰相許下的諾言！那么，宰相所要的麥粒究竟是多少呢？ 2. 2.解決方案解決方案 將原來的問題化解成一個數(shù)學問題就是求一個以 1 為首項，2 為公比的等比數(shù)列的前 64 項的和。這樣一

7、來，問題就簡單多了。 3. 3. 案例解析案例解析（1）本節(jié)課是等比數(shù)列求和的第一課時，用國際象棋與棋盤上的麥粒數(shù)的故事創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學生的興趣，吸引學生眼球，引發(fā)學生認知沖突，從而使新課題浮出水面，很好地調(diào)控了學生的課堂學習方向和注意力。（2）在計算棋盤上的麥粒問題時，先讓學生自我探索解決問題的辦法。學生剛被引入的小故事吸引，探究欲望較大，許多學生都想到直接利用計算器，但繼而發(fā)現(xiàn)這種方法過于繁瑣，而且成效不大，轉(zhuǎn)而尋求其他方法，在探索過程中，每個同學都能積極思考，互相交流，體會彼此間不同的方法，開闊思維，培養(yǎng)合作探究的能力。（3）從歷史上看,等比數(shù)列求和公式是從大量的實際例子中抽象出來的

8、數(shù)學模型,所以選擇“從特殊到一般”是求和公式推導教學的比較適合的方法。（4）在新課引入的過程中將數(shù)學史作為問題的背景提供了一個“樣本”，使學生非常容易想到“錯位相等”,并自然地想到“錯位相減”,從而揭示錯位相減法求和的基本原理，進一步理解等比數(shù)列求和的核心思想，為下面的主題探究服務(wù)。 結(jié)束語結(jié)束語 割裂數(shù)學的歷史而單純的進行數(shù)學知識的教學是不能取得滿意的教育效果的。雖然，我們傳統(tǒng)的數(shù)學教育有其優(yōu)勢，但是也帶來了一些弊端，導致教育和教育的本質(zhì)目標是脫離的。要解決這些問題，提升民族的數(shù)學素養(yǎng)，數(shù)學史是一個很好的選擇。數(shù)學的發(fā)展具有悠久的歷史，很多知識點的產(chǎn)生都經(jīng)歷了曲折而漫長的過程，因此，它可以給

9、我們的數(shù)學教學提供很多有益的素材和借鑒。 HPM研究數(shù)學史和數(shù)學教育的關(guān)系，旨在利用數(shù)學史為數(shù)學教育服務(wù)，賦予數(shù)學人文意義，提升數(shù)學的文化價值，這是新課程所提倡的，也是今后教育發(fā)展的方向。參考文獻參考文獻1李文林.數(shù)學史概論M.高等教育出版社,2002:91-272.2馮振舉,曲安京.HPM視野下的數(shù)學新課程內(nèi)容構(gòu)成J.課程教 材教法,2007,27(9).3中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)S.北京:人民教育出版社,2003.:674Cajori F.A History of Elementary MathematicsM.New York:The Macmillan Company,1917. 5汪曉勤,張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法J.數(shù)學教育學報,2006,15(1).6楊渭清.數(shù)學