D函數的連續(xù)性與間斷點

1、二、二、 間斷點及其分類間斷點及其分類 一、一、 函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性第七節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數的連續(xù)性與間斷點 第一章 三、連續(xù)函數的性質三、連續(xù)函數的性質可見可見 , 函數函數)(xf在點在點0 x一、一、 函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性定義定義:)(xfy 在在0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數則稱函數.)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點在點0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數設函數連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有

2、定義有定義 ,存在存在 ;機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 極限值函數值極限值函數值對自變量的增量對自變量的增量,0 xxx有有函數的增量函數的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù),0,0當當xxx0時時, 有有yxfxf)()(0函數函數0 x)(xf在點在點連續(xù)有下列連續(xù)有下列等價命題等價命題:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 定義定義7.2；定理定理7.100

3、lim( )()xxf xf x 000()()()f xf xf x左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 定義定義7.2；定理定理7.1思考：思考：什么情況下要討論函數的左連續(xù)和右連續(xù)？什么情況下要討論函數的左連續(xù)和右連續(xù)？討論分段函數在分界點處的連續(xù)性，或者是函數在區(qū)間討論分段函數在分界點處的連續(xù)性，或者是函數在區(qū)間端點處的連續(xù)性時，一般要討論左連續(xù)和右連續(xù)端點處的連續(xù)性時，一般要討論左連續(xù)和右連續(xù) 。continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某區(qū)間上每一點都連續(xù)在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上則稱

4、它在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數連續(xù)函數 . ,baC例如例如,01( )nnP xaa xa x在在(,)上連續(xù)上連續(xù) .( 有理整函數有理整函數 )又如又如, 有理分式函數有理分式函數( )( )( )P xR xQ x 在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù).在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數的集合記作上的連續(xù)函數的集合記作只要只要0()0,Q x 都有都有00lim( )()xxR xR x 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例1. 證明函數證明函數xysin在在),(內連續(xù)內連續(xù) .證證: (,)x sin()sinyxxx

5、 222sincos()xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0 xy 這說明這說明sinyx 在在(,) 內連續(xù)內連續(xù) .同樣可證同樣可證: 函數函數cosyx 在在(,) 內連續(xù)內連續(xù) .0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.23,0( ),0,xxf xaxx 設設問問a為何值時為何值時, f (x)在在x = 0連續(xù)連續(xù).解解: f (0)=3(0 )f 0lim( )xf x 20lim(3)xx = 3.為使為使f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù), 必須必須即即, a=3.故當故當 a=3時時, f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù).(0 )f 0lim( )

6、xf x 0lim()xax = a.(0 )(0 )(0)fff機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 二、二、 間斷點及其分類間斷點及其分類0 x設設0 x在點在點)(xf不連續(xù)，則稱點不連續(xù)，則稱點為為函數函數 f (x) 的的機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 間斷點。此時，必出現下列某種情形：間斷點。此時，必出現下列某種情形：在在在在(1) 函數函數)(xf0 x(2) 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx這樣的點這樣

7、的點0 x雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點間斷點 . 在在無定義無定義 ;間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf中至少一個不存在中至少一個不存在 ,稱稱0 x若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為,為為可去間斷點可去間斷點 .為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為為無窮間斷點無窮間斷點 .為為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動機動 目錄目錄 上頁上

8、頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間斷點為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點為其跳躍間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.

9、求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類為第一類可去間斷點可去間斷點.)(lim1xfx x = 1 為第二類為第二類無窮間斷點無窮間斷點., 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例3. 求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型.解解: 當當x為整數時為整數時f (x)無定義，無定義，(2)( )sinx xf xx 0

10、(2)limsinxx xx 2. x = 0 為第一類為第一類可去間斷點?？扇ラg斷點。機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 x=k(k為整數為整數)為間斷點為間斷點.0(2)limxx xx 2(2)limsinxx xx 2xt0(2)limsin (2)tttt 0(2)limsintttt 0(2)limtt 2. x = 2 為第一類為第一類可去間斷點。可去間斷點。例例3. 求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型.(2)( )sinx xf xx (0, 2)(2)limsinxk kx xx . x = k (k0，2)為第二類為第二類無窮間斷點。無

11、窮間斷點。機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 三、連續(xù)函數的性質三、連續(xù)函數的性質定理定理7.2 （局部有界性）（局部有界性）000,().fxfxU x若 在點連續(xù) 則 在的某鄰域內有界若 在點連續(xù) 則 在的某鄰域內有界定理定理7.3 （局部保號性）（局部保號性）000,()0,(0,(),fxf xrf x 若 在點連續(xù) 且則若 在點連續(xù) 且則00(),(),( )0.U xxU xf xr 有有0()0f x 0( (),0)rf x ( )0f xr1. 局部性質局部性質機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xx cot,tan在其定義域內

12、連續(xù)在其定義域內連續(xù)2. 運算性質運算性質定理定理7.4. 在某點連續(xù)的在某點連續(xù)的有限個有限個函數經函數經有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運算運算, 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數結果仍是一個在該點連續(xù)的函數 .例如例如,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 定理定理7.5. 連續(xù)單調遞增連續(xù)單調遞增 函數的反函數函數的反函數例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調遞增，上連續(xù)單調遞增，其反函數其反函數xyarcsin(遞減遞減).(證明略證明略)在在

13、1 , 1 上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調也連續(xù)單調機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調單調 遞增遞增,其反函數其反函數xyln在在),0(上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.又如又如, 設設00lim ( ),tttx 且且 t 滿足滿足020tt 時時,0( ),tx 又又0 lim( ),xxf xA 則有則有0lim ( )ttft 0 lim( )xxf xA 定理定理7.6. 設設0000lim ( ), lim( )(),ttxxtxf xf x 則則 00lim( )().ttftf x

14、 在上述定理中，將條件在上述定理中，將條件(3)換成換成00 lim( )() ,xxf xf x 并去掉第二個條件，則有：并去掉第二個條件，則有：注意到注意到 00lim( )()ttftf x 0(lim ( )ttft 簡言之定理說的是：簡言之定理說的是：對于連續(xù)函數，函數符號和對于連續(xù)函數，函數符號和極限符號可以換序極限符號可以換序.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 設設 0000lim ( ), lim( )(),ttxxttf xf x則則 0lim( )ttft 0lim ( )ttft 0(l

15、im )ttft 0( )ft 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數鏈是由連續(xù)函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復合而成復合而成 ,xyoxy1sin機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例4 . 設設)()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據連續(xù)函數運算法則根據連續(xù)函數運算法則 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上連續(xù)連續(xù) .)(,

16、)(min)(xgxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例5. 求求0log (1)lim.axxx 解解: 原式原式10limlog (1)xaxx10loglim(1)xaxx1log.lnaea例例6. 求求01lim.xxax 解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當當, ea 時時, 有有0 x)1ln(x1xexx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 3.初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性基本初等函數在定義域內連續(xù)基本初等函數在定義域內連續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連

17、續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)一切初等函數一切初等函數在在定義區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側連續(xù)端點為單側連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點因此它無連續(xù)點而而機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 說明說明: 若若lim ( )0 ,u xa則有則有( )lim ( )v xu xlim ( ),v xb機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 ( )ln ( )l

18、im v xu xe( )ln ( )lim v xu xelim ( )ln ( )v xu xelnbaeba若若lim ( )0 ,u x 則有則有 ( )lim 1( )v xu xlim ( ),v x e lim ( )ln 1( )v xu x elim ( ) ( )v x u x例例7. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式原式ex0lim)21ln(sin3xxe 3sin0limxx6e機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 x2e 30limxxx2limx例例8. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(si

19、nlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x2sin11,41,)(xxxxx例例9.9. 設設,1,21,)(2xxxxxf解解:討論復合函數討論復合函數)(xf的連續(xù)性的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù)故此時連續(xù); 而而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故故 )(xfx = 1為第一類間斷點為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點在點 x = 1 不連續(xù)不連續(xù) , 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返

20、回 結束結束 內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點第二類間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一左右極限至少有一個不存在個不存在在點在點間斷的類型間斷的類型)(. 1xf0 x在點在點連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 基本初等函數在定義區(qū)域內連續(xù)基本初等函數在定義區(qū)域內連續(xù)連續(xù)函數的四則運算的結果連續(xù)連續(xù)函數的四則運算的結果連續(xù)連續(xù)函數的反函數連續(xù)連續(xù)函數的反函數連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)初等函數在初等函數在定義區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)說明說明: 分段函數在界點處