第五節(jié)有效數(shù)字

1、衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院第第四四章章 定量分析中的誤差定量分析中的誤差與數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)處理處理第五節(jié)第五節(jié) 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則一一、有效數(shù)字有效數(shù)字意義和位數(shù)意義和位數(shù) 二、有效數(shù)字的修約規(guī)則二、有效數(shù)字的修約規(guī)則三三、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院一、一、 有效數(shù)字的意義和位數(shù)有效數(shù)字的意義和位數(shù)1.1.有效數(shù)字的意義有效數(shù)字的意義 記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字不僅表示試記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字不僅表示試樣中被測(cè)成分含量的多少，而且還反映了測(cè)定的準(zhǔn)確程度，樣中被測(cè)成分含量的多少，而且還反映了測(cè)定的準(zhǔn)確程度，與所用的分析方法有關(guān)

2、，不能隨便增加或減少位數(shù)。與所用的分析方法有關(guān)，不能隨便增加或減少位數(shù)。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院記錄數(shù)據(jù)：記錄數(shù)據(jù)：有效數(shù)字保留的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)分析方法和所用儀有效數(shù)字保留的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)分析方法和所用儀器的精確程度來(lái)決定。器的精確程度來(lái)決定。例例: :質(zhì)量質(zhì)量有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù)所需儀器所需儀器相對(duì)誤差相對(duì)誤差準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度1.0g2位位臺(tái)稱臺(tái)稱 20%20%低低1.0010g5位位萬(wàn)分之一萬(wàn)分之一分析天平分析天平 0.02%0.02%高高 0.20.2 100%/1.0=100%/1.0= 20%20% 0.0002.0002 100%/1.0010=100%/1.0010= 0.02%0.0

3、2%衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院計(jì)算結(jié)果：有效數(shù)字位數(shù)的保留應(yīng)按有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則得計(jì)算結(jié)果：有效數(shù)字位數(shù)的保留應(yīng)按有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則得出。出。 例例:用重量法測(cè)定硅酸鹽中的用重量法測(cè)定硅酸鹽中的SiO2時(shí)，若稱取試樣重為時(shí)，若稱取試樣重為0.4538克，經(jīng)過(guò)一系列處理后，灼燒得到克，經(jīng)過(guò)一系列處理后，灼燒得到SiO2沉淀重沉淀重0.1374克，則其百分含量為：克，則其百分含量為：SiO2 % =(0.1374/0.4538)100%30.277655354% 上述分析結(jié)果共有上述分析結(jié)果共有11位數(shù)字，從運(yùn)算來(lái)講，并無(wú)錯(cuò)誤，位數(shù)字，從運(yùn)算來(lái)講，并無(wú)錯(cuò)誤，但實(shí)際上用這樣多位數(shù)的數(shù)字來(lái)表示上述分析結(jié)果

4、是錯(cuò)誤的，但實(shí)際上用這樣多位數(shù)的數(shù)字來(lái)表示上述分析結(jié)果是錯(cuò)誤的，它沒(méi)有反映客觀事實(shí)，因?yàn)樗玫姆治龇椒ê蜏y(cè)量?jī)x器不可它沒(méi)有反映客觀事實(shí)，因?yàn)樗玫姆治龇椒ê蜏y(cè)量?jī)x器不可能準(zhǔn)確到這種程度。能準(zhǔn)確到這種程度。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字的位數(shù) 有效數(shù)字是指在分析工作中實(shí)際上能測(cè)量到的數(shù)字。須有效數(shù)字是指在分析工作中實(shí)際上能測(cè)量到的數(shù)字。須根據(jù)測(cè)定方法和使用儀器的準(zhǔn)確程度來(lái)決定。根據(jù)測(cè)定方法和使用儀器的準(zhǔn)確程度來(lái)決定。 例如：例如： 標(biāo)準(zhǔn)溶液體積標(biāo)準(zhǔn)溶液體積24.41毫升毫升 四位有效數(shù)字四位有效數(shù)字 前三位數(shù)字因滴定管上有刻度都能準(zhǔn)確讀出前三位數(shù)字因滴定管上有刻度都能準(zhǔn)確讀出, 第

5、四位數(shù)第四位數(shù)字在兩個(gè)刻度之間字在兩個(gè)刻度之間, 只能估計(jì)讀出只能估計(jì)讀出, 故故最后一位是不準(zhǔn)確的最后一位是不準(zhǔn)確的, 我們稱我們稱不確定數(shù)字或可疑數(shù)字不確定數(shù)字或可疑數(shù)字。 有效數(shù)字的位數(shù)是由全部準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位有效數(shù)字的位數(shù)是由全部準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位(只能是只能是一位一位)不確定數(shù)字組成不確定數(shù)字組成, 它們共同決定了有效數(shù)字的位數(shù)。它們共同決定了有效數(shù)字的位數(shù)。 有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量也越準(zhǔn)確。但超過(guò)測(cè)量準(zhǔn)確度的范有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量也越準(zhǔn)確。但超過(guò)測(cè)量準(zhǔn)確度的范圍，過(guò)多的位數(shù)是毫無(wú)意義的。圍，過(guò)多的位數(shù)是毫無(wú)意義的。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院有效數(shù)字的位數(shù)的確定，應(yīng)注意如下幾條規(guī)則：

6、有效數(shù)字的位數(shù)的確定，應(yīng)注意如下幾條規(guī)則：（1 1）、）、“0”“0”的問(wèn)題：的問(wèn)題：A A、應(yīng)視具體情況而定，第一個(gè)非零數(shù)字前面的應(yīng)視具體情況而定，第一個(gè)非零數(shù)字前面的“0”“0”不是有不是有效數(shù)字，僅起定位作用。效數(shù)字，僅起定位作用。如：如：0.05430.0543為三位有效數(shù)字，可化為為三位有效數(shù)字，可化為5.435.43 1010-2-2。判斷下列數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)判斷下列數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)1.0005 ； 0.5000； 31.05% ；6.023102 ； 0.0540；1.8610-5 ； 0.0054；0.40% ； 0.5 ； 0.002% ; 2800。 B、應(yīng)根據(jù)所使用的

7、儀器的準(zhǔn)確度正確地記錄測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)應(yīng)根據(jù)所使用的儀器的準(zhǔn)確度正確地記錄測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果，算結(jié)果， “0”“0”不能隨意取舍不能隨意取舍。例如：例如： 標(biāo)準(zhǔn)溶液體積標(biāo)準(zhǔn)溶液體積24.40毫升，毫升， 不能記為不能記為24.4毫升或毫升或24.400毫升。毫升。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院（2 2）分析化學(xué)中還經(jīng)常遇到分析化學(xué)中還經(jīng)常遇到pH、pc、lgK等對(duì)數(shù)值，其有等對(duì)數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分只效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分只說(shuō)明該數(shù)的方次。說(shuō)明該數(shù)的方次。例如，例如，pH12.68，即即H+2.1l0-13mol/L，其有效數(shù)字為其有效數(shù)字

8、為兩位，而不是四位。兩位，而不是四位。（3）對(duì)）對(duì)10 x 或或 ex 等冪指數(shù)，其有效數(shù)字的位數(shù)只與指數(shù)等冪指數(shù)，其有效數(shù)字的位數(shù)只與指數(shù)x后后的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)相同。如的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)相同。如10 20.0035, 其有效數(shù)字為其有效數(shù)字為4位位. 10 20.0035=1.008l0 20（3）對(duì)于非測(cè)量所得的數(shù)字，如倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、）對(duì)于非測(cè)量所得的數(shù)字，如倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、e等等，等等，它們沒(méi)有不確定性，其有效數(shù)字可視為無(wú)限多位，根據(jù)具體它們沒(méi)有不確定性，其有效數(shù)字可視為無(wú)限多位，根據(jù)具體情況來(lái)確定。情況來(lái)確定。（4）在變換單位時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)不能變。在變換單位時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)不能變。例如：例如：20.

9、00 20.00 mLmL，記成記成0.020000.02000L L衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院二、二、 有效數(shù)字的有效數(shù)字的修約規(guī)則修約規(guī)則依據(jù)：依據(jù)：“四舍六入五留雙四舍六入五留雙”。1).當(dāng)尾數(shù)當(dāng)尾數(shù)4時(shí)將其舍去；時(shí)將其舍去；2).尾數(shù)尾數(shù)6時(shí)就進(jìn)一位；時(shí)就進(jìn)一位；3).如果尾數(shù)為如果尾數(shù)為5而后面的數(shù)為而后面的數(shù)為0時(shí)則看前方：前方為奇數(shù)就時(shí)則看前方：前方為奇數(shù)就進(jìn)位，前方為偶數(shù)則舍去；進(jìn)位，前方為偶數(shù)則舍去；4).當(dāng)當(dāng)“5”后面還有不是后面還有不是0的任何數(shù)時(shí)，都須向前進(jìn)一位，的任何數(shù)時(shí)，都須向前進(jìn)一位，無(wú)論前方是奇還是偶數(shù)，無(wú)論前方是奇還是偶數(shù)，“0”則以偶數(shù)論。則以偶數(shù)論。例例:將下

10、列數(shù)字修約為將下列數(shù)字修約為4位有效數(shù)字：位有效數(shù)字：0.536640.5366 ； 0.583460.5835； 10.275010.28 16.405016.40 ； 27.185027.18； 18.0650118.07 衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院必須注意：必須注意：進(jìn)行數(shù)字修約時(shí)只能一次修約到指定的位數(shù)，不進(jìn)行數(shù)字修約時(shí)只能一次修約到指定的位數(shù)，不能數(shù)次修約，否則會(huì)得錯(cuò)誤的結(jié)果。能數(shù)次修約，否則會(huì)得錯(cuò)誤的結(jié)果。如如: 將將15.4565修約成兩位有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)一步修飾約到位：修約成兩位有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)一步修飾約到位： 15.4565 15若分步修約若分步修約, 有可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果。有可能得

11、到錯(cuò)誤的結(jié)果。 15. 4565 15.456 15.46 15.5 16衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院三、三、 有效數(shù)字的有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則 (一一)加減法加減法 幾個(gè)數(shù)據(jù)相加或相減時(shí)，和或差有效數(shù)字的保留，應(yīng)幾個(gè)數(shù)據(jù)相加或相減時(shí)，和或差有效數(shù)字的保留，應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少，即絕對(duì)誤差最大的的數(shù)為依據(jù)。以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少，即絕對(duì)誤差最大的的數(shù)為依據(jù)。 例：例：0.0121、25.64及及1.05782三數(shù)相加，三者之和為三數(shù)相加，三者之和為: 0.01+25.64+1.0626.71(二二)乘除法乘除法 幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，積或商有效數(shù)字的保留，應(yīng)以有幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，積或商有效數(shù)字的保留，應(yīng)

12、以有效數(shù)字位數(shù)最少，效數(shù)字位數(shù)最少，即即相對(duì)誤差最大的數(shù)為依據(jù)。相對(duì)誤差最大的數(shù)為依據(jù)。例：求例：求0.0121、25.64和和1.05782三數(shù)相乘之積，三者之積為：三數(shù)相乘之積，三者之積為： 0.012125.61.06 = 0.328衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院有效數(shù)字運(yùn)算時(shí)注意點(diǎn)（1 1）正確讀出和記錄測(cè)定值。正確讀出和記錄測(cè)定值。（2 2）先修約先修約, ,后計(jì)算。后計(jì)算。使用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，不需對(duì)中間結(jié)果使用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，不需對(duì)中間結(jié)果修約，僅對(duì)最后結(jié)果修約。修約，僅對(duì)最后結(jié)果修約。（3 3）在乘）在乘除運(yùn)算中除運(yùn)算中, ,如果有效數(shù)字位數(shù)最少的因數(shù)的首位數(shù)如果有效數(shù)字位數(shù)最少的因數(shù)的首位

13、數(shù)是是“8”或或“9”，則有效數(shù)字可認(rèn)為比這個(gè)因數(shù)多取一位。，則有效數(shù)字可認(rèn)為比這個(gè)因數(shù)多取一位。 如：如：9.0 0.2410.241=2.172.17（4 4）非測(cè)量所得數(shù)字，如）非測(cè)量所得數(shù)字，如倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、e等等等等，有效數(shù)字，有效數(shù)字可視為無(wú)限多位，由具體情況確定。可視為無(wú)限多位，由具體情況確定。(5)(5)對(duì)于各種誤差和偏差的計(jì)算，一般只保留對(duì)于各種誤差和偏差的計(jì)算，一般只保留1-21-2位有效數(shù)字位有效數(shù)字。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院(5) 注意注意pH、pC、lgK等對(duì)數(shù)值的計(jì)算。等對(duì)數(shù)值的計(jì)算。 如：如： pH = 2.299 ，H+=5.02 10 -3 ， 有效數(shù)

14、字按有效數(shù)字按小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)計(jì)算。小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)計(jì)算。(6) 有效數(shù)字位數(shù)與被測(cè)組分含量有關(guān)。有效數(shù)字位數(shù)與被測(cè)組分含量有關(guān)。 高含量組分（高含量組分（10%),四位有效數(shù)字四位有效數(shù)字;中含量組分中含量組分(1%-10%),三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字,微量組分微量組分(1%),兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字.故由故由被測(cè)組分含量需選擇相關(guān)儀器被測(cè)組分含量需選擇相關(guān)儀器.(7)各種誤差各種誤差, 只需保留只需保留1-2位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 誤差數(shù)據(jù)修約時(shí)全部誤差數(shù)據(jù)修約時(shí)全部進(jìn)位。進(jìn)位。衡 陽(yáng) 師 范 學(xué) 院課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.1.下列數(shù)據(jù)中有效數(shù)字為四位的是（下列數(shù)據(jù)中有效數(shù)字為四位的是（ ）A.0.010 B.pH=12.08 C. 0.01300 D. 6.1 1032.2.測(cè)定試樣中測(cè)定試樣中CaO的百分含量的百分含量, 稱取試樣稱取試樣0.708g, EDTA標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度為溶液的濃度為0.2136 M, 滴定耗去滴定耗去EDTA標(biāo)準(zhǔn)溶液標(biāo)準(zhǔn)溶液20.50mL, 以下結(jié)果表示正確的是（以下結(jié)果表示正確的是（ ）A 10% B 10.1% C 10.08% D