高等數學1極限與連續(xù)第九節(jié)函數的連續(xù)性

1、第九節(jié)第九節(jié) 函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)函函數數連連續(xù)續(xù)的的概概念念一一、 ，若若的的定定義義域域，屬屬于于設設連連續(xù)續(xù)：、)()(lim )( 1000 xfxfxfxxx 處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則稱則稱0)(xxf.)(0的的連連續(xù)續(xù)點點稱稱為為xfx.)( )( )( 2000的的間間斷斷點點稱稱為為間間斷斷，處處在在點點則則稱稱處處不不連連續(xù)續(xù)，在在點點設設間間斷斷點點：、xfxxxfxxf.232)( 處處連連續(xù)續(xù)在在例例如如， xxxf.00 10 1)(處處間間斷斷在在， xxxxxxf:)( 0個條件個條件處連續(xù)必須滿足下列三處連續(xù)必須滿足下列

2、三在點在點函數函數說明：說明：xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 連續(xù)的等價定義連續(xù)的等價定義、 3.)(0lim )()( )1(00000處處連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱，若若，設設xxfyxfxxfyxxxx . 函數的增量或改變量函數的增量或改變量分別稱為自變量、分別稱為自變量、，其中其中yx . 0lim)()(lim 000 yxfxfxxx事事實實上上，.)()()( 0 0 )2(000處處連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱，有有時時，當當，xxfxfxfxx .0, 0, 0, 0,1sin)( 1

3、處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數數、例例 xxxxxxf)(lim 0 xfx解：解：),0(f .0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數數 xxf0 xxx1sinlim0 )()(lim00 xfxfxx .)( 20處處連連續(xù)續(xù)在在證證明明、例例xxaxfx 00 xxxaay 證：證：.)(0處連續(xù)處連續(xù)在在故故xxaxfx )1(0 xxaa，得得：例例又又由由 axaaxaPxxxln1 ln1lim 12450. 0lim0 x其中其中，xaax )(ln1 )(lnlimlim000 xaayxxx ，0 .sin)( 30處連續(xù)處連續(xù)在在證明證明、例例xxxxf 要使要使，證：證

4、： 0 sinsin0 xx2sin2cos200 xxxx 0 xx ，只要只要 0 xx有有時時，則則當當，取取 0 xx0lim0 yx，有有時，時，當當， )()( 0 000 xfxfxx0)1(lim0 xxa.sin)( 30處連續(xù)處連續(xù)在在證明證明、例例xxxxf 要使要使，證：證： 0 sinsin0 xx2sin2cos200 xxxx 0 xx ，只要只要 0 xx有有時時，則則當當，取取 0 xx 0sinsinxx.sin)(0處處連連續(xù)續(xù)在在故故xxxxf .)( )()(lim 4000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設設左左連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx .)(

5、)()(lim 5000處處右右連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設設右右連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx 左左右右連連續(xù)續(xù)與與連連續(xù)續(xù)的的關關系系、 6.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)在在點點xxfxxf，有有時，時，當當， )()( 0 000 xfxfxx的的連連續(xù)續(xù)上上區(qū)區(qū)間間內內、)( 7.) ()( ) ()()1(內內連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱內內任任意意一一點點連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間設設函函數數baxfbaxf. )( ) ()()2(上連續(xù)上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則稱則稱左連續(xù)，左連續(xù)，在點在點右連續(xù)，右連續(xù)，且在點且在點內連續(xù)，內連續(xù)，在

6、開區(qū)間在開區(qū)間設函數設函數baxfbabaxf.上上連連續(xù)續(xù)的的定定義義類類似似可可定定義義其其他他區(qū)區(qū)間間 I上的連續(xù)函數，上的連續(xù)函數，為區(qū)間為區(qū)間這時也稱函數這時也稱函數Ixf)(.)( )(為為連連續(xù)續(xù)函函數數則則稱稱的的定定義義域域，為為若若xfxfI.sin ) (sin 2為為連連續(xù)續(xù)函函數數即即上上連連續(xù)續(xù)，在在、例例xxy .cos ) (cos 3為連續(xù)函數為連續(xù)函數即即上連續(xù)，上連續(xù)，在在、例例xxy .)1 1(11 12內內連連續(xù)續(xù)，在在、例例 xy連續(xù)函數的運算連續(xù)函數的運算二、二、 則則處處連連續(xù)續(xù)，在在點點和和設設運運算算法法則則：、 )()( 10 xxgxf

7、處處連連續(xù)續(xù)；在在點點0)()()1(xxgxf 處處連連續(xù)續(xù)；在在點點0)()()2(xxgxf.)()( 0)()3(00處連續(xù)處連續(xù)在點在點時，時，當當xxgxfxg 處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對應點在對應點且且處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點設設復合函數的連續(xù)：復合函數的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ，由已知得由已知得證：證：00)()(lim 0uxxxx ，)()(lim00ufufuu )()(lim00ufxfxx ，)(0 xf .)(0處連續(xù)處連續(xù)在點在點故故xxf . 函數函數以上結論可推廣到連續(xù)以上結論可推廣到連續(xù)說明：說

8、明：).()(lim00 xfxfxx 即即處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對應點在對應點且且處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點設設復合函數的連續(xù)：復合函數的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ).()(lim00 xfxfxx 即即)(lim)(lim 00 xfxfxxxx 由上述結論可得：由上述結論可得：. 數數符符號號可可交交換換順順序序極極限限運運算算符符號號與與連連續(xù)續(xù)函函說說明明：xxxxba10)2(lim 1 求求、例例xbabaxxxxxxxba22220)221(lim 原原式式解解：220)221ln(22lim xbxaxxxxxba

9、xbae)11(lim210 xbxaxxxe )ln(ln21bae ab axaxxln1lim0 .)()( 3上上單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在對對應應區(qū)區(qū)間間則則其其反反函函數數上上單單調調且且連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間設設反反函函數數的的連連續(xù)續(xù)：、yxIyxIxfy 的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得：、的的連連續(xù)續(xù)性性及及函函數數反反函函數數復復合合函函數數的的連連續(xù)續(xù)性性、由由連連續(xù)續(xù)函函數數的的運運算算、xxaxcos sin .cotarc arctan arccos arcsin sin1csccos1sec sincoscot cossintan logln定定義義域域內內連連續(xù)續(xù)在在其

10、其、xxxxxxxxxxxxxxexxxa 初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性、 4.)1(域域內內連連續(xù)續(xù)基基本本初初等等函函數數在在其其定定義義.)2(內內連連續(xù)續(xù)初初等等函函數數在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間.123lim 11 xxx求求、例例)23)(1(43lim 1 xxxx原原式式解解：231lim1 xx.41 .113sinlim 20 xxxx求求、例例xxxxx2)113(sinlim 0 原原式式解解：)2113sin(lim0 xxxxx. 111 5 初等函數極限求法：初等函數極限求法：、).()(lim00 xfxfxx 則則 )(為為初初等等函函數數，設設xf 0屬于

11、其定義區(qū)間內，屬于其定義區(qū)間內，x間斷點分類間斷點分類三、三、 . 分界點可能是間斷點分界點可能是間斷點對于分段函數來說，對于分段函數來說，間斷點，間斷點，的點為的點為對于初等函數沒有定義對于初等函數沒有定義由前面討論可知，由前面討論可知，. )(00為為間間斷斷點點則則處處滿滿足足以以下下條條件件之之一一，在在點點設設xxxf無意義；無意義；)()1(0 xf不存在；不存在；)(lim)2(0 xfxx).()(lim )(lim )()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在，有有意意義義，. )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、設設

12、第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf 為為跳跳躍躍間間斷斷點點，點點稱稱時時，當當000 )0()0( )1(xxfxf )( ，函函數數例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點的跳躍間斷點為為xfx . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf 間斷點分類間斷點分類三、三、 )( ，函函數數例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點的跳躍

13、間斷點為為xfx . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf sin)( ，函函數數例例如如，xxxf ，1)(lim0 xfx.)(0的可去間斷點的可去間斷點為為xfx . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點點則則稱稱點點不不存存在在，至至少少有有一一個個、若若第第二二類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf 間斷點分類間斷點分類三、三、

14、 . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點點則則稱稱點點不不存存在在，至至少少有有一一個個、若若第第二二類類間間斷斷點點：、xxfxf . )(lim )1(00為無窮間斷點為無窮間斷點點點稱稱時，時，當當xxfxx ，由由于于例例如如， xx1lim 0.10的無窮間斷點的無窮間斷點為為故故xyx . )(lim )2(00為振蕩間斷點為振蕩間斷點點點稱稱取無窮多個數時，取無窮多個數時，當當xxfxx.1sin0 的的振振蕩蕩間間斷斷點點為為例例如如，xyx .)( 121的的間間斷斷點點并并分分類類求求、例例xexf . 0)( xxf的的間間斷斷點點為為解解： 0lim 210， xxe為第一類間斷點，為第一類間斷點，0 x.1)1(lim)( 222的間斷點并分類的間斷點并分類求求、例例nnnxxxxf ，時，時，當當解：解：xxfx )( 1