線性方程組與向量的線性相關(guān)性

1、理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系1第三章第三章 線性方程組與向量的線性相關(guān)性線性方程組與向量的線性相關(guān)性 線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的最終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組最終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組. 線線性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一. 本本先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式.本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：線性方程組的有解

2、性的條件線性方程組的有解性的條件向量的線性相關(guān)性的基本概念與基本結(jié)論向量的線性相關(guān)性的基本概念與基本結(jié)論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論向量空間的基本概念向量空間的基本概念(基，維數(shù)，坐標(biāo)等基，維數(shù)，坐標(biāo)等)(補(bǔ)充補(bǔ)充)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系23.1 消元法消元法對(duì)于一般形式的線性方程組，最基本且較簡便的方法是對(duì)于一般形式的線性方程組，最基本且較簡便的方法是消元法，在本節(jié)將介紹線性方程組的消元過程可以用矩消元法，在本節(jié)將介紹線性方程組的消元過程可以用矩陣的初等行變換來實(shí)現(xiàn)陣的初等行變換來實(shí)現(xiàn).一、線性方程組的矩陣形式一、線性方程組的矩陣形式二、初等行變換解線性方程組二

3、、初等行變換解線性方程組理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系3一、線性方程組的矩陣形式一、線性方程組的矩陣形式線性方程組的一般形式：線性方程組的一般形式：,21 nbbbb,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系4線性方程組的矩陣形式：線性方程組的矩陣形式：. bAX A稱為線性方程組的稱為線性方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣；若令；若令 ，則稱，則稱矩陣矩陣 為線性方程組的為線性方程組的增廣矩陣增廣矩陣.),(bAA A線性方程

4、組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的線性方程組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系5行對(duì)應(yīng)方程，列行對(duì)應(yīng)方程，列對(duì)應(yīng)未知元對(duì)應(yīng)未知元二、初等行變換解線性方程組二、初等行變換解線性方程組(以例說明以例說明) . 172, 4532, 1443143214321xxxxxxxxxxx 172014513214111),(bA122rr 17201231101411123110 13rr 相當(dāng)于將第一、二相當(dāng)于將第一、二方程中方程中 的消去了的消去了1x23rr 000002311014111理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系6 000002311014111 . 00, 23, 14

5、4324321xxxxxxx未知元的個(gè)數(shù)多于方未知元的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，則存在不程的個(gè)數(shù)，則存在不受約束的未知元，稱受約束的未知元，稱為自由未知元為自由未知元.若選擇若選擇 作為自由未知元，則作為自由未知元，則 受受 的約束的約束 43, xx2x23432 xxx21rr 000002311017201 4321xxxx,1c 2c 21,cc( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)).,3221cc ,72121cc 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系7 . 022, 22, 1, 125432542154324321xxxxxxxxxxxxxxxx例例1.1 解線性方程組解線性方程組(P78, Ex.2

6、(1)解：解： 011220221011111110101121),(bA13rr 01122012011011111010112123rr 231000242rr 231000 34rr 100000032rr 00000023100012011010112131rr 130121 212rr 110101 54321xxxxx,1c 2c ,322c ,2121cc ,121cc 21,cc( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)).理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系83.2 線性方程組的一般理論線性方程組的一般理論在本節(jié)將介紹線性方程組有解的條件，以及齊次線性方在本節(jié)將介紹線性方程組有解的條件，以及齊次線

7、性方程組有非零解的條件程組有非零解的條件.一、非齊次線性方程組解的研究一、非齊次線性方程組解的研究二、齊次線性方程組解的研究二、齊次線性方程組解的研究理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系9一、非齊次線性方程組解的研究一、非齊次線性方程組解的研究例例2.1 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx123rr 132rr 322122351311321),(bA 104501045011321解：解：23rr 200001045011321, 3),( bAR方程組無解方程組無解. 此時(shí)此時(shí). 2)( AR一般地，對(duì)于

8、方程組一般地，對(duì)于方程組AX=b，若若R(A) ，則是不是則是不是方程組一定無解呢？方程組一定無解呢？),(bAR 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系10例例2.2 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 0322, 363, 22, 1321321321321xxxxxxxxxxxx(P78, 例例2)解：解： 0322361321211111),(bA 032236131210111112rr 133rr 0320142rr 2100 232rr 210021001210111134rr 0000)1(2 r)1(3 r1210 2100 322rr 31rr 000021003010

9、301121rr 6001 . 2, 3, 6321xxx, 3),( bAR. 3)( AR 一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n元方程組元方程組AX=b，若若R(A)=R(A,b)=n，則是不是方程組一定有唯一解？則是不是方程組一定有唯一解？理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系11例例2.3 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 0895, 4433, 13432143214321xxxxxxxxxxxx123rr 13rr 089514431311311),(bA 176401764011311解：解：理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系12)4(2 r23rr 21rr 176401764011

10、311 000001011311414723 000001001414723454323 ,414723,454323432431xxxxxx選擇選擇 作為自由未知數(shù)作為自由未知數(shù),43,xx ,2413cxcx,452431231 ccx,412471232 ccx, 2),( bAR. 2)( AR 一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n元方程組元方程組AX=b，若若R(A)=R(A,b)=r n)n元向量必線性相關(guān)元向量必線性相關(guān).(P95,例例4)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系45解解：根據(jù)根據(jù)Thm3.1，需要計(jì)算需要計(jì)算 和和 .),(321 R),(21 R),(321 12rr 13rr

11、 22 r235rr 751421201 550220201 000110201由此可見由此可見, 2),(321 R, 2),(21 R所以所以321, 線性相關(guān)；線性相關(guān)；線性無關(guān)線性無關(guān).21, 例例3.2 已知已知 試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.321, 21, ,742,520,111321 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系46方程組方程組 與與 同解同解0 AX0 BX利用初等變換不僅可以判斷向量組的線性相關(guān)性，而且利用初等變換不僅可以判斷向量組的線性相關(guān)性，而且可以尋找向量之間的線性關(guān)系：可以尋找向量之間的線性關(guān)系：),(21mA Bmr

12、),(21 則則 中部分向量與中部分向量與 中對(duì)應(yīng)的中對(duì)應(yīng)的向量有相同的線性相關(guān)性和線性關(guān)系：向量有相同的線性相關(guān)性和線性關(guān)系：m ,21m ,21ssiiiiii ,2121與與r),(321 000110201),(321 顯然有顯然有,2213 所以也有所以也有.2213 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系473. 線性相關(guān)性與線性表示線性相關(guān)性與線性表示Thm3.4 向量組向量組 (m1)線性相關(guān)的充要條件線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.m ,21必要性：必要性：線性相關(guān)線性相關(guān)m ,2102211 mmkkk 的系數(shù)至

13、少有個(gè)可以不為零的系數(shù)至少有個(gè)可以不為零mimiiiiiiiikkkkkkkk 111111充分性：充分性：m ,21中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合mmiiiiikkkk 11111101111111 mmiiiiikkkk 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系48Thm3.5 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 必是必是 的線性組合，且線性表示式惟一的線性組合，且線性表示式惟一.m ,21 ,21mm ,21 依據(jù)線性表示的判定：依據(jù)線性表示的判定：mRm ),(21 1),(21 mRm ),(),(2121 mm

14、RR mRm ),(21 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系49Thm3.6 設(shè)向量組設(shè)向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，若線性表示，若r s，則向量組則向量組 線性相關(guān)線性相關(guān).r ,21s ,21r ,21多者能被少者表示，則多者必線性相關(guān)多者能被少者表示，則多者必線性相關(guān).,),(),(2122221112112121 srssrrsrkkkkkkkkk BKA 0 AX0 BKX0 KXrsKR )(理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系50推論推論1 設(shè)向量組設(shè)向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，若線性表示，若 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則r ,21s ,21r ,21. sr 推論推

15、論2 任意兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組，它們所含向量個(gè)任意兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組，它們所含向量個(gè)數(shù)相等數(shù)相等.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系51四、向量組的秩和極大線性無關(guān)組四、向量組的秩和極大線性無關(guān)組在一個(gè)方程組中，可能有在一個(gè)方程組中，可能有“多余多余” 的方程的方程在一個(gè)向量組中，可能有在一個(gè)向量組中，可能有“多余多余” 的向量的向量這個(gè)這個(gè)“多余多余”的意思是什么呢？的意思是什么呢？可以刪除多余的向量，從本質(zhì)說，所給的向量組沒有變可以刪除多余的向量，從本質(zhì)說，所給的向量組沒有變化，因?yàn)楸粍h除的向量可以用余下的向量組合出來化，因?yàn)楸粍h除的向量可以用余下的向量組合出來. 就就像在方程組中

16、刪除多余的方程，方程組的解是不會(huì)變化像在方程組中刪除多余的方程，方程組的解是不會(huì)變化的的.Def3.6 設(shè)向量組設(shè)向量組 中有一部分向量組中有一部分向量組 ，該部分向量組滿足以下條件，該部分向量組滿足以下條件m ,21,21ii ri ,(1) 線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2) 再加入原向量組中任意其它一個(gè)向量再加入原向量組中任意其它一個(gè)向量(如果有的話如果有的話)所所形成的新的部分向量組都線性相關(guān)，形成的新的部分向量組都線性相關(guān)，則稱向量組則稱向量組 為向量組為向量組 的一個(gè)的一個(gè)極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組.m ,21riii ,21Def3.7 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的

17、極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向向量組的秩量組的秩.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系52j 可以由向量組可以由向量組 出來出來riii ,21riii ,21線性無關(guān)線性無關(guān)jiiir ,21線性相關(guān)線性相關(guān)v向量組與其極大線性無關(guān)組等價(jià)向量組與其極大線性無關(guān)組等價(jià). 這是極大線性無關(guān)組這是極大線性無關(guān)組的一個(gè)本質(zhì)性質(zhì)的一個(gè)本質(zhì)性質(zhì).v一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組不惟一一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組不惟一.rkkiiii 0101理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系53Thm3.7 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組必等價(jià)，一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組必等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相等且所含向量的個(gè)數(shù)

18、相等.m ,21riii ,21rjjj ,21Thm3.8 向量組向量組 的秩等于矩陣的秩等于矩陣 的秩，換句話說，矩陣的秩等于矩陣各列的秩，換句話說，矩陣的秩等于矩陣各列(行行)所構(gòu)成向所構(gòu)成向量組的秩量組的秩.m ,21),(21m 向量組向量組 的秩記為的秩記為m ,21).,(21mR 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系54m ,21證證：設(shè)向量組：設(shè)向量組 的秩的秩r，則存在部分組則存在部分組riii ,21線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以),(21mR rRriii ),(21 再證再證 不會(huì)大于不會(huì)大于r：用反證法用反證法),(21mR 假設(shè)假設(shè) ，則在矩陣，則在矩陣 中存中存在一個(gè)

19、在一個(gè)r+1階非零子式階非零子式D，1),(21 rRm ),(21m 不妨設(shè)不妨設(shè)D取自矩陣取自矩陣 的第的第 列，則列，則),(21m 111, rjjj, 1),(121 rRrjjj 121, rjjj 線性無關(guān)，線性無關(guān)，這與向量組這與向量組 的秩為的秩為r矛盾！矛盾！m ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系55例例3.3 設(shè)矩陣設(shè)矩陣,97963422644121121112 A求矩陣求矩陣A的各列構(gòu)成的向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并的各列構(gòu)成的向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把不屬于極大線性無關(guān)組的列向量用極大線性無關(guān)組線性把不屬于極大線性無關(guān)組的列向量用極大線性無關(guān)組線性表示出

20、來表示出來.解：解： 3433004440613304121121rr 232rr 122rr 143rr 97963422644121121112),(54321 A理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系56 31000620000111041211)4(3 r32rr 233rr 0000031000011104121123 r34rr , 3),(54321 R A的列向量組的極大線性無關(guān)組的列向量組的極大線性無關(guān)組含有三個(gè)向量，由最后一個(gè)矩陣易知含有三個(gè)向量，由最后一個(gè)矩陣易知 是一個(gè)極是一個(gè)極大線性無關(guān)組大線性無關(guān)組.421, 21rr 32rr 00000310003011040101,

21、04213 .3344215 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系57例例3.4 求證求證 (教材教材P100，例例6).()(ARABR 證：證：,ABC 記記 ,21nC ,21sA n ,21 s ,21 snssnnbbbbbbbbb212222111211n ,21s ,21可以由可以由 線性表示，線性表示，n ,21的極大線性無關(guān)組可由的極大線性無關(guān)組可由 線性表示線性表示s ,21n ,21s ,21 的極大線性無關(guān)組可由的極大線性無關(guān)組可由 的極大線的極大線性無關(guān)組線性表示，性無關(guān)組線性表示， nR ,21 .,21sR 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系58第三章第三章 線性方程組

22、與向量的線性相關(guān)性線性方程組與向量的線性相關(guān)性 線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的最終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組最終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組. 線線性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一. 本本先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式.本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：線性方程組的有解性的條件線性方程組的有解性的條件向量的線性相關(guān)性的基本概念

23、與基本結(jié)論向量的線性相關(guān)性的基本概念與基本結(jié)論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論向量空間的基本概念向量空間的基本概念(基，維數(shù)，坐標(biāo)等基，維數(shù)，坐標(biāo)等)(補(bǔ)充補(bǔ)充)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系593.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 在前面我們已經(jīng)討論了線性方程組的相容性理論在前面我們已經(jīng)討論了線性方程組的相容性理論，又介又介紹向量的線性相關(guān)性理論，接下來要研究線性方程組的紹向量的線性相關(guān)性理論，接下來要研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，也就是線性方程組的通解表達(dá)式有什么特征解的結(jié)構(gòu)，也就是線性方程組的通解表達(dá)式有什么特征.一、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系一、齊次線性方程組的

24、基礎(chǔ)解系二、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)三、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)三、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系60一、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系一、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 , 0, 0, 0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1), 0 AX(2),2211nnkxkxkx 是是(1)的解，的解， nkkk21是是(2)的解，的解，(1)與與(2)都是線性方程組，因此線都是線性方程組，因此線性方程組的解可以寫成一個(gè)向量，性方程組的解可以寫成一個(gè)向量，稱為稱為解向量解向量

25、. 線性方程組的所有解線性方程組的所有解構(gòu)成一個(gè)向量組構(gòu)成一個(gè)向量組.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系61Thm3.9 設(shè)設(shè) 都是齊次線性方程組都是齊次線性方程組 的解，的解，則則 也是齊次線性方程組也是齊次線性方程組 的解的解.s ,210 AXsskkk 22110 AX, 0, 0, 021 sAAA 齊次線性方程組的解的線性組合仍是齊次線性方程組的解齊次線性方程組的解的線性組合仍是齊次線性方程組的解)(2211sskkkA ssAkAkAk 2211. 0 齊次線性方程組的解構(gòu)成一個(gè)向量組，向量組中向量可以齊次線性方程組的解構(gòu)成一個(gè)向量組，向量組中向量可以由其極大線性無關(guān)表示，再由由其

26、極大線性無關(guān)表示，再由Thm3.9可知可知, 齊次線性方程齊次線性方程組的任一解可以由部分解表示出來組的任一解可以由部分解表示出來.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系62Def3.8 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的一組解，的一組解，若它滿足以下條件：若它滿足以下條件：t ,210 AX(1) 線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2) 齊次線性方程組的任一解都能表示為的齊次線性方程組的任一解都能表示為的 線線性組合，性組合，t ,21則稱則稱 是齊次線性方程組的是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.t ,21齊次線性方程組的解構(gòu)成的向量組齊次線性方程組的解構(gòu)成的向量組(解集解集)的一個(gè)極大線性的一個(gè)極

27、大線性無關(guān)組，就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系無關(guān)組，就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.當(dāng)齊次線性方程組只有零解時(shí)，沒有基礎(chǔ)解系當(dāng)齊次線性方程組只有零解時(shí)，沒有基礎(chǔ)解系.當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí),基礎(chǔ)解系中含有幾個(gè)向量基礎(chǔ)解系中含有幾個(gè)向量?理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系63Thm3.10 齊次線性方程組有非零解時(shí)，一定有基礎(chǔ)解系，齊次線性方程組有非零解時(shí)，一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系含有且基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)向量，其中個(gè)向量，其中n是未知量的個(gè)數(shù)，是未知量的個(gè)數(shù)，r是是系數(shù)矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩.證：證：設(shè)設(shè)n個(gè)未知數(shù)的方程組個(gè)未知數(shù)的方程組AX=0的系數(shù)矩陣的系數(shù)

28、矩陣A的秩為的秩為r，不妨設(shè)不妨設(shè)A的前的前r個(gè)列向量線性無關(guān)，則個(gè)列向量線性無關(guān)，則A經(jīng)行變換可化為：經(jīng)行變換可化為： 000000001001,1, 111rnrrrnrbbbbA理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系64 .,2211,2211, 22221212, 12121111rnnrrrnrnrrrrrnrnrnrncxcxcxcbcbcbxcbcbcbxcbcbcbx得齊次線性方程組的通解，得齊次線性方程組的通解，理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系65 nrrrxxxxxx2121 001121111rbbbc 010222122rbbbc .100,2, 1 rnrrnrnrnbbb

29、c記作記作.2211rnrncccx 改寫成向量形式，改寫成向量形式，理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系66令任意常數(shù)一個(gè)為令任意常數(shù)一個(gè)為1，其余為零：，其余為零： 0, 0, 121rnccc得到得到n-r個(gè)解，個(gè)解，,1 0, 1, 021rnccc,2 , . 1, 0, 021rnccc,rn 100010001,21,222221, 11211rnrrrrnrnbbbbbbbbb 線性無關(guān)，而且齊次線性方程線性無關(guān)，而且齊次線性方程AX=0的任一的任一解都可由它線性表示，所以它是齊次線性方程組解都可由它線性表示，所以它是齊次線性方程組AX=0的的基礎(chǔ)解系，且含有基礎(chǔ)解系，且含有n-r

30、個(gè)向量個(gè)向量.rn ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系67基礎(chǔ)解系的求法：基礎(chǔ)解系的求法：(1) 求齊次線性方程組的通解，求齊次線性方程組的通解，(2) 再分別令再分別令n-r 個(gè)任意常數(shù)一個(gè)為個(gè)任意常數(shù)一個(gè)為1，其余為零，就可得，其余為零，就可得到到n-r 個(gè)解，這就是所求的基礎(chǔ)解系個(gè)解，這就是所求的基礎(chǔ)解系.其實(shí)，任意常數(shù)取值可以是其他數(shù)組，只要所取的其實(shí)，任意常數(shù)取值可以是其他數(shù)組，只要所取的n-r 組組數(shù)線性無關(guān)就可以了數(shù)線性無關(guān)就可以了.令通解中任意常數(shù)為某一組數(shù)令通解中任意常數(shù)為某一組數(shù), 實(shí)際上就是令線性方程組實(shí)際上就是令線性方程組的自由未知量為某一組數(shù)，因此的自由未知量為某

31、一組數(shù)，因此, 我們可以直接由化簡后我們可以直接由化簡后的方程組，分別令自由未知量一個(gè)為的方程組，分別令自由未知量一個(gè)為1，其余為，其余為0, 代入方代入方程組，就可得基礎(chǔ)解系，不需要先寫出通解程組，就可得基礎(chǔ)解系，不需要先寫出通解.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系68例例4.1 求下求下 面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(P104,例例1) . 042, 03, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解: : 421131111111A12rr 13rr 330022001111)2(2 r233rr 00001100111121rr 00001100201

32、1 4321xxxx1c2c212cc 2c 00111c,11022 c基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為,00111 11022 選擇選擇 為自由未知量，令為自由未知量，令42, xx0, 142 xx, 1, 042 xx和和,00111 11022 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系69二、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)n元齊次線性方程組元齊次線性方程組AX=0，若若R(A)=r， 基礎(chǔ)基礎(chǔ)解系，則該方程組的通解為解系，則該方程組的通解為rn ,21).,( ,212211為為任任意意常常數(shù)數(shù)rnrnrnccccccX 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系70三、非齊次線性方程組的解

33、的結(jié)構(gòu)三、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)Thm3.11 若若 是方程組是方程組AX=b的一個(gè)特定的解的一個(gè)特定的解(一般稱為一般稱為特解特解)， 是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組AX=0 的的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組 AX=b 的通解為的通解為* rn ,21,2211*rnrncccX ).,(21為為任任意意常常數(shù)數(shù)rnccc 證：證：先證任意線性組合先證任意線性組合 都是都是AX=b的解，的解，rnrnccc 2211*)(2211*rnrncccA rnrnAcAcAcA 2211*000 bb 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系71再證再證A

34、X=b的任一解都可以表成線性組合的任一解都可以表成線性組合.2211*rnrnccc 設(shè)設(shè) 是是AX=b的任一解，的任一解， )(* *)( AAA 0 bb* rnrnccc 2211.2211*rnrnccc AX=b的兩個(gè)解的差是的兩個(gè)解的差是AX= 0的解；的解；AX=b的解與的解與AX= 0的的解之和是解之和是AX=b的解的解.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系72線性方程組線性方程組AX=b的求解步驟：的求解步驟：(1) 寫出方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣寫出方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣(A,b)，(2) 對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，化為行階梯形矩陣，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，化為行階梯形矩陣，(3)

35、判斷方程組是否有解，若有解，繼續(xù)對(duì)增廣矩陣施行判斷方程組是否有解，若有解，繼續(xù)對(duì)增廣矩陣施行初等行變換，化為行最簡形矩陣，初等行變換，化為行最簡形矩陣，(4) 令自由未知量全部為零，可得特解令自由未知量全部為零，可得特解, (5) 令自由未知量一個(gè)為令自由未知量一個(gè)為1, 其余為零，可得對(duì)應(yīng)的齊次方其余為零，可得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，程組的基礎(chǔ)解系，(6) 寫出通解寫出通解.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系73例例4.2 求下面非齊次線性方程組的解：求下面非齊次線性方程組的解：(P106, 例例2) . 533, 2, 322, 1242143143214321xxxxxxxxxxxxx

36、x解解: : 對(duì)增廣矩陣施行初等行變換對(duì)增廣矩陣施行初等行變換 53013211013211211211),(bA122rr 13rr 143rr 20620103101031011211理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系74 2062010310103101121123rr 242rr 0000000000103101121121rr 00000000001031021101選擇選擇 作為自由未知量，作為自由未知量，43, xx, 0, 043 xx令令 得方程組的特解得方程組的特解,0012 , 1, 043 xx令令 和和 得對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系得對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系0, 143

37、xx,01311 ,10012 通解為通解為,2211 ccX ).,(21為任意常數(shù)為任意常數(shù)cc理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系75例例4.3 求解方程組求解方程組 .32, 13, 021432143214321xxxxxxxxxxxx解解: : 對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：12rr 13rr 22 r23rr 21rr 2132111311101111),( bA 2121001420001111 0000021000111121 00000210010112121,00 2121,011 01,102 21通解為通解為,2211 ccX ).,(21為任意常數(shù)

38、為任意常數(shù)cc理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系76四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例例例4.4 設(shè)設(shè)A為為 矩陣，且矩陣，且R(A)=r，求證：必存在一個(gè)求證：必存在一個(gè)秩為秩為n-r的的 矩陣矩陣B，使得使得AB=0.nm )(rnn 0 AB0),(21 sA 0),(21 sAAA , 0, 0, 021 sAAA 證：證：考慮齊次線性方程組考慮齊次線性方程組AX= 0，由于由于R(A)=rn，由由Thm3.10，AX=0必存在基礎(chǔ)解系，且必存在基礎(chǔ)解系，且含有含有n-r個(gè)向量，設(shè)個(gè)向量，設(shè)AX= 0的基礎(chǔ)解系為的基礎(chǔ)解系為rn ,21),(21rnB 令令顯然滿足顯然滿足B是是 矩陣，秩為矩陣，

39、秩為 ，且，且)(rnn rnBR )(),(21rnAAB . 0),(21 rnAAA 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系77例例4.5 設(shè)設(shè)A為為 矩陣，矩陣，B為為 矩陣，且矩陣，且AB=0，證明證明nm sn .)()(nBRAR 證：證：對(duì)矩陣對(duì)矩陣B按列分塊按列分塊，0 AB0),(21 sA 0),(21 sAAA , 0, 0, 021 sAAA ),(21sB 所以，所以， 是齊次線性方程組是齊次線性方程組AX= 0的解，因此的解，因此s ,21 的極大線性無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)不超過的極大線性無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)不超過AX= 0的基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)，即有的基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)，

40、即有s ,21),()(ARnBR .)()(nBRAR 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系78例例4.6 設(shè)設(shè)AX=b是一個(gè)是一個(gè)4元非齊次線性方程組，元非齊次線性方程組，R(A)=3， 是它的三個(gè)解，且是它的三個(gè)解，且321, ,432121 ,11113 求求AX=b的通解的通解.解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)镽(A)=3， AX= 0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)向量，的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)向量，31 32 +,2101 .,3RccX 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系79例例4.7 證明證明).()(ARAART 證證: : 下面證方程組下面證方程組 與與 同解：同解：0 Ax0)( xAAT若若 滿足滿足

41、 ，則有，則有 ，x0 Ax0)( AxAT即即. 0)( xAAT設(shè)設(shè)A為為 矩陣，矩陣， 為為 維列向量維列向量.nm nx若若 滿足滿足 ，則有，則有0)( xAATx, 0)( xAAxTT即即,0)()( AxAxT從而推知從而推知. 0 Ax由以上可知由以上可知 與與 同解，因此同解，因此0 Ax0)( xAAT).()(ARAART 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系80第三章第三章 線性方程組與向量的線性相關(guān)性線性方程組與向量的線性相關(guān)性 線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的線性方程組的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，一般問題的最終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組最

42、終解決歸根結(jié)底是要考慮一個(gè)相關(guān)的線性方程組. 線線性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一性相關(guān)性的一些概念是線性代數(shù)中的基本概念之一. 本本先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的先利用矩陣的秩討論方程組的有解性，然后利用向量的線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式線性相關(guān)性討論方程組的解的一般表達(dá)式.本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：線性方程組的有解性的條件線性方程組的有解性的條件向量的線性相關(guān)性的基本概念與基本結(jié)論向量的線性相關(guān)性的基本概念與基本結(jié)論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論向量空間的基本概念向量空間的基本概念(基，維數(shù)，坐標(biāo)等基，維數(shù)，坐標(biāo)等)(補(bǔ)充補(bǔ)充)理學(xué)院數(shù)學(xué)科

43、學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系81補(bǔ)充：補(bǔ)充： 向量空間的基本概念向量空間的基本概念 線性空間是線性代數(shù)中又一個(gè)基本概念，線性模型都是線性空間是線性代數(shù)中又一個(gè)基本概念，線性模型都是定義在某個(gè)線性空間上定義在某個(gè)線性空間上. 向量空間是最簡單，具有直觀向量空間是最簡單，具有直觀性的線性空間性的線性空間.在這部分中，只介紹向量空間的基本概念：向量空間、在這部分中，只介紹向量空間的基本概念：向量空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等基、維數(shù)、坐標(biāo)等.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系82Def01 設(shè)設(shè)V為為n維向量的集合，滿足以下三個(gè)條件維向量的集合，滿足以下三個(gè)條件 V 不是空集不是空集； 若若 ，則，則 ；V ,V （

44、V對(duì)于向量加法封閉）對(duì)于向量加法封閉） 若若 ，則，則 ，RkV , Vk （V對(duì)于向量與數(shù)的乘法封閉）對(duì)于向量與數(shù)的乘法封閉）那么稱集合那么稱集合V為為向量空間向量空間.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系83 3維向量的全體維向量的全體 ，就是一個(gè)向量空間，就是一個(gè)向量空間.3R因?yàn)橐驗(yàn)?維向量的和仍然是維向量的和仍然是3維向量，數(shù)乘維向量，數(shù)乘3維向量仍然維向量仍然是是3維向量，另外，維向量，另外， 顯然非空顯然非空.3R一般地，一般地，n維向量的全體維向量的全體 也是一個(gè)向量空間也是一個(gè)向量空間.nR(2) 設(shè)設(shè) 是兩個(gè)已知的是兩個(gè)已知的n維向量，集合維向量，集合 ,|RlklkxL 是一

45、個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間. 線性組合的全體線性組合的全體由由 所生成的向量空所生成的向量空間間 , ,(3) 齊次線性方程組齊次線性方程組AX= 0的解的全體就構(gòu)成了一個(gè)向的解的全體就構(gòu)成了一個(gè)向量空間，稱為量空間，稱為解空間解空間.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系84Def02 設(shè)設(shè)V為向量空間為向量空間， r個(gè)向量個(gè)向量 ，Vr ,21若滿足若滿足 線性無關(guān)；線性無關(guān)；r ,21V中任一向量都可由中任一向量都可由 線性表示，線性表示，r ,21只含零向量的向量空間沒有基，規(guī)定它的維數(shù)為只含零向量的向量空間沒有基，規(guī)定它的維數(shù)為0. 這樣的向量空間稱為這樣的向量空間稱為零空間零空間或或0維向

46、量空間維向量空間.那么向量組那么向量組 稱為向量空間稱為向量空間V的的一個(gè)基；一個(gè)基； r 稱為向量空間稱為向量空間V 的的維數(shù)維數(shù)，記作，記作 并稱并稱V 為為 r 維向維向量空間量空間.r ,21;dimV理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系85向量空間向量空間V 可以看作是一個(gè)向量組可以看作是一個(gè)向量組(但是向量組不一定但是向量組不一定 是向量空間是向量空間)，根據(jù)極大線性無關(guān)組的等價(jià)定義知：，根據(jù)極大線性無關(guān)組的等價(jià)定義知：V 的維數(shù)就是向量組的秩的維數(shù)就是向量組的秩.V 的基就是向量組的極大線性無關(guān)組，的基就是向量組的極大線性無關(guān)組，向量空間的基也是不唯一的向量空間的基也是不唯一的.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系86關(guān)于基和維數(shù)的有關(guān)結(jié)論：關(guān)于基和維數(shù)的有關(guān)結(jié)論： 若向量空間若向量空間 ，則，則V 的維數(shù)不超過的維數(shù)不超過n .nRV 若向量空間若向量空間 , 且且 則則 nRV ,d