第三章力系簡化的基礎知識

1、2022-5-141l基本概念力系：作用在物體上的一組力系。合力：如果某力與一力系等效，則稱此力為力系 的合力第三章 力系簡化的基礎知識2022-5-142l力力系系分分類類平面力系平面力系空間力系空間力系平面特殊力系平面特殊力系平面任意力系（平面一般力系）平面任意力系（平面一般力系）平面匯交力系平面匯交力系平面力偶系平面力偶系平面平行力系平面平行力系空間特殊力系空間特殊力系空間任意力系空間任意力系空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系 空間平行力系空間平行力系解決的問題：力系的合成與平衡問題解決的問題：力系的合成與平衡問題第三章 力系簡化的基礎知識3-1 平面匯交力系的合成與平衡條件平

2、面匯交力系的合成與平衡條件3-2 力對點之矩力對點之矩3-3 力偶力偶力偶矩力偶矩3-4 平面力偶系的合成與平衡條件平面力偶系的合成與平衡條件3-5 力的等效平移力的等效平移（一）匯交力系：作用在物體上的各個力，如果其作用線交匯于同一點，則稱該力系為匯交力系。l平面匯交力系：作用在剛體上的各個力，其作用線位于同平面內(nèi)，且交匯于同一點，則稱該力系為平面匯交力系。 F1F2F3A A3-1 平面匯交力系的合成與平衡條件平面匯交力系的合成與平衡條件 1、二力匯交的合成(幾何法) ： 平行四邊形法則（三角形法則）：作用在物體上同一點的二個力可以合成為一個合力；反之，一個合力可以分解成任意二個方向的分力

3、。只要知道一個分力的大小、方向，即可根據(jù)平形四邊形法則確定另一個分力的大小方向。l三角形法則：將兩分力按其方向及大小首尾相連，則始點到終點的連線即為合力。該法則也稱為三角形法則。2022-5-146l圖示平行四邊形法則( 三角形法則)YXF1F2RRF1F2RF1F22、平面匯交力系的合成力多邊形法則（幾何法）l各分力的矢量和為合力矢R FRFRF12F23F1F2F3F4F1F2F3F4力的平行四邊形法則：力的平行四邊形法則：匯交力系的幾何法合成：力的多邊形法則匯交力系的幾何法合成：力的多邊形法則2022-5-1482022-5-1410v 結結 論論2.1.1 幾何法幾何法 返回首頁202

4、2-5-1411l平面匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形是自身封閉的力多邊形。F1F2FiFn2022-5-1412幾點討論幾點討論 合力矢FR與各分力矢的作圖順序無關。 各分力矢必須首尾相接。 合力從第一個力矢的始端指向最后一個力矢的末端。 按力的比例尺準確地畫各力的大小和方向。2.1.1 幾何法幾何法 返回首頁l3、力的投影：力在軸上的投影（一般在X、Y方向），來源于平行光照射下物體影子的概念。為了便于代數(shù)運算，一般選擇正交正交的坐標軸X、Y方向投影。力的投影是代數(shù)量，與坐標軸正方向相同為正。xx ABabl力在坐標軸上的投影的定義：線段ab的長度并冠以適當?shù)姆?，稱為力在軸上的投

5、影，記為Fx。投影為正：從a到b的指向與投影軸x正向一致。投影為負：從a到b的指向與投影軸x正向相反。關于投影的數(shù)學定義：l Fx=FnFnx（X=Fcos）l n nx：是軸x的方向矢量l合力投影定理合力投影定理：力系的合力在任一軸上的投影等于力系中各力在同一軸上的投影的代數(shù)和。這個定理可以由力的多邊形法則直接導出（教材圖37）可證： F1、F2、F3、F4的矢量和為AE，分別的投影為ab、bc、cd、de，其代數(shù)和為AE的投影ae。xyF1FnF2FixyRyRxR4、平面匯交力系的合成與平衡，解析法：（1）合成：平面匯交力系可以合成為一個合力，合力作用在該力系的匯交點上，合力的大小和方向

6、由各個分力分別在兩個不平行方向上（x軸與y軸）投影的代數(shù)和來確定。 Rx=Fix =Xi Ry=Fiy =Yi R=Rx2+Ry2 = （Fix ）2+（Fiy ）2COS= COS =RxRRRy（2）平衡（解析法）：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力為零，即力系的矢量和為零。合力在任意兩個不平行方向上投影同時為零，或各力矢量分別在該二方向上的投影的代數(shù)和同時為零。 平面匯交力系平衡平面匯交力系平衡0)()(22yxRFFF Fx =0 Fy=0R=R= F Fi i=0=0l平面匯交力系有兩個獨立的平衡方程，可以求解兩個未知量。l平面匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形

7、是自身封閉的力多邊形。l例題3-1、3-2 P22-23F1F2FiFnl例3-1 求圖示平面匯交力系的合力。(大小和方向)已知： F1=3kN，F(xiàn)2 = 5kN，F(xiàn)3 =6kN，F(xiàn)4 =4kN。xyF145F230F4F360Rx=3cos45+5cos30-6cos60-4 =-0.549kNRy=3sin45-5sin30-6sin60-0=-3.379kNR=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN=arc cos(-0.549)/3.423=260.8 (R指向第三象限）例例 圖示門式剛架，已知：圖示門式剛架，已知：P=20KN，不計剛架自重，求：支座，不計剛架自重，求

8、：支座A、D的約束反力。的約束反力。PBACDPBAC8m4mFDFAPFDFA解：解：1選取研究對象：選取研究對象：“剛架剛架”畫受力圖畫受力圖 2選取適當?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形選取適當?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形10KNabc3求解未知量：可由圖中直接量取求解未知量：可由圖中直接量取: FA =22.5KN, FD =10KN；亦可由幾何關系計算出未知量：亦可由幾何關系計算出未知量： tgtg =1/2=1/2，coscos =2/5=2/5FD =P tg=20/2=10kN，F(xiàn)A=P/cos=20/（2/5）=22.4kNDPBACDFDFA選取適當?shù)淖鴺溯S選取適當?shù)淖鴺溯S列平衡方程

9、列平衡方程 Fx =0 P - FAcos = 0 cosPFAkN4 .228482022 Fy =0 FD - FAsin = 0tgPPFFADsin)cos(sinkN108420DPBAC8m4m注意：注意：應使所選坐標軸與盡可能多的未知量相應使所選坐標軸與盡可能多的未知量相垂直，若所選坐標軸為水平或鉛直方向，則在垂直，若所選坐標軸為水平或鉛直方向，則在受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。例例 連桿機構連桿機構OABC受鉛直力受鉛直力P和水平力和水平力F作用而在圖示位置平作用而在圖示位置平衡。已知衡。已知P=4kN，不計連桿自重，求力，不計連桿自重

10、，求力F的大小。的大小。AFPBOC6001200AFPB解：解：“B”FABBFBCBFABAFAOAy Fy =0FABB = P“A” Fx =0F = FABAcos300F = Pcos300 P23P cos600 - FABBcos600 = 0FABAcos300 - F = 0= FABBcos300X XX X3-2 力對點的矩力對點的矩 ：G GF F2022-5-1424力力F F對對O O點的矩點的矩 ：d為O點到力F作用線的（垂直）距離：記為 mO（F F）=Fd，單位：Nm（牛頓米）；矩心O力臂dABF2022-5-1425矩心O力臂d位矢rABF力矩的性質(zhì)：力矩

11、的性質(zhì)：力通過矩心，其矩為零；力沿作用線移動，不改變其矩；等值、反向、共線的兩力對同一點矩之和為零；相對于矩心作逆時針轉(zhuǎn)動的力矩為正；反之為負。力矩的數(shù)學定義： m m O O（F F）=d=d F Fm m O O（F F）= =2OAB2OAB面積面積l合力矩定理：平面匯交力系的合力對力系平面內(nèi)任一點的矩，等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和。 數(shù)學形式： 例：按圖中給定的條件，計算力F對A點的矩。FAabmA（F）=Fa sin - Fb cos 平面：平面：MO(R) = MO(Fi)力偶定義：由大小相等、方向相反且不共線的兩個平行力組成力偶 。對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應，為一新物理量。l如司

12、機兩手轉(zhuǎn)動方向盤，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動的作用。l記號：m（F，F(xiàn)）=mFFd3-3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩l性質(zhì)1：l 無合力，故不能與一個力等效在任一軸上投影的代數(shù)和均為零；l 非平衡力系，不共線的相反平行力產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果。l所以，力偶與力分別是力學中的兩個基本要素。l力偶矩力偶對物體轉(zhuǎn)動效果度量，平面力偶為一個代數(shù)量，其絕對值等于力與力偶臂的乘積；其正負號表示 力 偶 的 轉(zhuǎn) 向 ， 規(guī) 定 逆 時 針 轉(zhuǎn) 向 為正，反之為負。m=F*dl力偶的作用效果取決于三個因素：構成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的轉(zhuǎn)向。對應于式中的：F、d（二力作用線的矩）、號（定義逆時針轉(zhuǎn)為正）l性質(zhì)2.：力偶作用的轉(zhuǎn)動效果與

13、矩心位置無關，完全由力偶矩確定。 mo（F F）+ mo（FF）=F*（d+x）-F*x=F*d=ml推論1：力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動，不會改變它對剛體的作用效果。力偶矩的大小及轉(zhuǎn)向：大小等于組成力偶的兩個力對任一點之矩的代數(shù)和；轉(zhuǎn)向由代數(shù)值的符號確定，逆時針為正。FFdOxl推論2：力偶矩大小只與乘積Fd有關，按比例任意改為nF*d/n=Fd，乘積不變。l教材圖317中的三種力偶表示，均為相同的力偶作用力偶矩相等。10N1m=2m5N=m=10Nm2022-5-1431性質(zhì)3.只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任 意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力 臂的長短，對剛體的作用效果不

14、變.=l平面力偶系的合成：平面力偶系可合成為 合力偶，合力偶矩等于平面各分力偶矩的代數(shù)和。lM1+m2+mn= mi=m3-4 平面力偶系合成與平衡條件平面力偶系合成與平衡條件l力偶系平衡條件與匯交力系平衡相類似，力偶系的平衡即為力偶系的作用不能使物體發(fā)生變速轉(zhuǎn)動，物體處于平衡狀態(tài)，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代數(shù)和等于零。m=mi =0l平面力偶系平衡的充要條件：各力偶的力偶矩代數(shù)和等于零。 mi =02022-5-14342022-5-14352022-5-14372022-5-1438 結構受力如圖所示結構受力如圖所示,圖中圖中M, r均為已均為已知知,且且l=2r.畫出畫出AB

15、和和BDC桿的受力圖桿的受力圖; 求求A,C二處的約束力二處的約束力.2022-5-1439 2022-5-1440已知桿已知桿AB和桿和桿CD的自重不計，的自重不計，且在且在C處光滑接觸，若作用在桿處光滑接觸，若作用在桿AB上上的的力偶的矩為力偶的矩為m1 ，則欲使系統(tǒng)保持平衡，則欲使系統(tǒng)保持平衡，作用在作用在CD桿上的力偶的矩的桿上的力偶的矩的m2 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向如如圖示，其矩為圖示，其矩為 。A： m2 = m1;B： m2 = 4 m1 / 3;C： m2 = 2 m1。am1ADB60600 0Cm2aA A2022-5-1441A AB BC CD DE Ea am ma aa a3-1

16、4.3-14.圖示結構受一已知力偶的作用，試求鉸圖示結構受一已知力偶的作用，試求鉸A A和鉸和鉸E E的約的約束反力。束反力。解（解（1 1）?。┤CEC和和CDCD為分離體為分離體C CD DE Em mN NE E4545 N ND D4545 mmi i=0=0，N NE Eacos45acos45-m=0-m=0 N ND D=N=NE E=2m/a=2m/a（2 2）取整體為分離體）取整體為分離體mmi i=0=0， N NA A* *2a-m=02a-m=0N NA A=N=NB B=m/=m/（2a2a）N NA AN NB Bl力的等效平移定理是力系簡化的基礎。l力的平移定理

17、：P30 在同一剛體上A點的力F可以等效地平移到任意一點B。但必須附加一個力偶，其力偶矩等于F對作用點B的之矩。如圖所示： 3- 5 力的等效平移力的等效平移2022-5-1443F 附加力偶m作用在剛體上A點的力F F可以等效地平移到此剛體上的任意一點B，但必須附加一個力偶m，且：m= MB(F)=Fd。FA剛體B BA剛體B Bd d2022-5-14442022-5-14452022-5-14462022-5-1447例例3 圖示門式剛架，已知：圖示門式剛架，已知：P=20KN，不計剛架自重，求：支，不計剛架自重，求：支座座A、D的約束反力。的約束反力。PBACDPBAC8m4mFDFA

18、PFDFA解：解：1選取研究對象：選取研究對象：“剛架剛架”畫受力圖畫受力圖 2選取適當?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形選取適當?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形10KNabc3求解未知量：可由圖中直接量取求解未知量：可由圖中直接量取: FA =22.5KN, FD =10KN；亦可由幾何關系計算出未知量：亦可由幾何關系計算出未知量： tgtg =1/2=1/2，coscos =2/5=2/5FD =P tg=20/2=10kN，F(xiàn)A=P/cos=20/（2/5）=22.4kND2022-5-1448例例4 連桿機構連桿機構OABC受鉛直力受鉛直力P和水平力和水平力F作用而在圖示位置平作用而在圖示位置平衡。

19、已知衡。已知P=4kN，不計連桿自重，求力，不計連桿自重，求力F的大小。的大小。AFPBOC6001200AFPB解：解：“B”FABBFBCBFABAFAOAy Fy =0FABB = P“A” Fx =0F = FABAcos300F = Pcos300 P23P cos600 - FABBcos600 = 0FABAcos300 - F = 0= FABBcos300X XX X2022-5-1449PBACDFDFA選取適當?shù)淖鴺溯S選取適當?shù)淖鴺溯S列平衡方程列平衡方程 Fx =0 P - FAcos = 0 cosPFAkN4 .228482022 Fy =0 FD - FAsin =

20、 0tgPPFFADsin)cos(sinkN108420DPBAC8m4m注意：注意：應使所選坐標軸與盡可能多的未知量相應使所選坐標軸與盡可能多的未知量相垂直，若所選坐標軸為水平或鉛直方向，則在垂直，若所選坐標軸為水平或鉛直方向，則在受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。2022-5-14500.6m0.4mCBAF300例例4、已知：機構如圖，、已知：機構如圖，F(xiàn) = 10kN，求：求：MA(F) = ?dFxFy解解:方法一方法一:MA(F) = - Fd = - 10 0.6 sin60033236方法二方法二:MA(F) = - Fcos300 0.

21、6 + 0 = - 10 0.6 cos30033236Fx = Fcos300 MA(Fx)33Fy = - Fsin300 MA(Fy) = 0MA(F) = MA(Fx) + MA(Fy) 2022-5-1451 M = 0M1 - FB 0 - M = 0 M = M1ABCDEMM1450aFBFA槽槽2022-5-1452已知桿已知桿AB和桿和桿CD的自重不計，的自重不計，且在且在C處光滑接觸，若作用在桿處光滑接觸，若作用在桿AB上上的的力偶的矩為力偶的矩為m1 ，則欲使系統(tǒng)保持平衡，則欲使系統(tǒng)保持平衡，作用在作用在CD桿上的力偶的矩的桿上的力偶的矩的m2 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向如如圖示，其矩為圖示，其矩為 。A： m2 = m1;B： m2 = 4 m1 / 3;C： m2 = 2 m1。am1ADB60600 0Cm2aA A2022-5-1453 鉸接四連桿機構鉸接四連桿機構O1ABO2在圖示位置平衡。已知在圖示位置平衡。已知O1A=40cm, O2B=60cm，作用在桿，作用在桿O1A上的力偶的上的力偶的力偶矩力偶矩m1=1Nm。試求桿。試求桿AB所受的力所受的力S和力偶矩和力偶矩m2的大小。各桿重量不計。的大小。各桿重量不計。BAm1O1O2m2300力系簡化要點力系簡化要點:1力的分解與