（精選）熱學習題分析和解答Word版

1、習題分析和解答第一章1.3.6一抽氣機轉(zhuǎn)速，抽氣機每分鐘能抽出氣體20l(升)。設容器的容積V0=2.01，問經(jīng)過多長時間后才能使容器內(nèi)的壓強由0.101Mpa降為133Pa。設抽氣過程中溫度始終不變。分析：抽氣機每打開一次活門,容器內(nèi)氣體的容積在等溫條件下擴大了V,因而壓強有所降低?；铋T關(guān)上以后容器內(nèi)氣體的容積仍然為V0。下一次又如此變化，從而建立遞推關(guān)系。解：抽氣機抽氣體時，由玻意耳定律得：活塞運動第一次：活塞運動第二次：活塞運動第n次：（1）抽氣機每次抽出氣體體積將上述數(shù)據(jù)代入（1）式，可解得。則1.3.8兩個貯著空氣的容器A和B，以備有活塞之細管相連接。容器A浸入溫度為的水槽中，容器B

2、浸入溫度為的冷卻劑中。開始時，兩容器被細管中之活塞分隔開，這時容器A及B中空氣的壓強分別為，。它們的體積分別為試問把活塞打開后氣體的壓強是多少？分析：把活塞打開后兩容器中氣體混合而達到新的力學平衡以后，A和B中氣體壓強應該相等。但是應注意到,由于A和B的溫度不相等，所以整個系統(tǒng)仍然處于非平衡態(tài)。我們不能把A和B氣體的整體作為研究對象,而先把從A流入B的那部分氣體作為研究對象，求出它的物質(zhì)的量（即mol數(shù)），然后按照混合前后A和B總的物質(zhì)的量不變這一點列出方程。解：設原容器A中有體積的氣體進入容器B，且打開活塞后氣體壓強為p。對原容器A中剩下的體積的氣體進行研究，它們將等溫膨脹到體積，因而有（1

3、）按照理想氣體方程,有關(guān)系，原容器A中體積的氣體和原容器B中體積的氣體進行研究，它們合并前后物質(zhì)的量應該不變，所以（2）由（1）式、（2）兩式化簡可得代入上述數(shù)據(jù)，可以得到活塞打開后氣體的壓強。1.3.10一端開口，橫截面積處處相等的長管中充有壓強p的空氣。先對管子加熱，使從開口端溫度1000K均勻變?yōu)殚]端200K的溫度分布，然后把管子開口端密封，再使整體溫度降為100K，試問管中最后的壓強是多大？分析：開始時長管中氣體有溫度分布，所以它不處于平衡態(tài)。但是整體溫度降為100K以后,長管中氣體處于平衡態(tài)了。關(guān)鍵是求出開始時長管中氣體的總的分子數(shù)，而它是和整體溫度降為100K以后的分子數(shù)相等的。在

4、計算分子數(shù)時要先求出長管中的溫度分布，然后利用p=nkT公式。解：因為管子是一端開口的，所以。顯然，管子中氣體的溫度分布應該是（1）由于各處溫度不同，因而各處氣體分子數(shù)密度不同。考慮xx+dx一段氣體,它的分子數(shù)密度為n(x),設管子的橫截面積為S,考慮到p=nkT,則這一小段中的氣體分子數(shù)為管子中氣體總分子數(shù)為利用（1）式可得管中氣體最后的壓強是p1（）,溫度是T，.則由上面兩式相等,最后可以計算出即：管中氣體最后的壓強為。1.4.1在什么溫度下，下列一對溫標給出相同的讀數(shù)（如果有的話）：(1)華氏溫標和攝氏溫標；（2）華氏溫標和熱力學溫標；（3）攝氏溫標和熱力學溫標?提示：利用，。答：（1

5、）40；（2）575K；（3）沒有。1.4.2定體氣體溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，其中氣體的壓強為。（1）用溫度計測量300K的溫度時，氣體的壓強是多少？（2）當氣體的壓強為時，待測溫度是多少？提示：。利用如下公式進行計算：(體積不變)答：（1）；（2）371K。1.4.3用定體氣體溫度計測得冰點的理想氣體溫度為273.15K，試求溫度計內(nèi)的氣體在冰點時的壓強與該氣體在水的三相點時壓強之比的極限值。解：利用公式.所以 1.5.2試估計水的分子互作用勢能的數(shù)量級，可近似認為此數(shù)量級與每個分子所平均分配到的汽化熱數(shù)量級相同。再估計兩個鄰近水分子間的萬有引力勢能的數(shù)量級，判斷分子力

6、是否可來自萬有引力。分析：水中的分子熱運動而不分散開,是因為分子之間有作用力。水的汽化是某些水分子有足夠大的熱運動能量，足以克服分子之間作用力而跑到外面成為自由的氣體分子。我們知道分子之間作用力勢能是負的,氣體分子的勢能為零。所以汽化熱是用來增加分子之間作用力勢能的。另外也要考慮到,液體轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w時體積擴大作等壓膨脹要對外做功，它所需要的能量也由汽化熱提供。但是一般說來這兩者的數(shù)量級差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者來估計分子互作用勢能的數(shù)量級。解：水的汽化熱為，它的摩爾汽化熱為每摩爾有NA個分子，每個分子平均分攤到的汽化熱為可以認為就是水的分子互作用勢能的數(shù)量級。至于水中兩鄰近分

7、子的萬有引力勢能的數(shù)量級，可以利用萬有引力勢能公式來估計。假定水中兩最鄰近分子質(zhì)量中心之間的距離為（利用上題的結(jié)果），則每個分子所平均分攤到的萬有引力勢能的數(shù)量級為。討論：我們發(fā)現(xiàn)萬有引力勢能的數(shù)量級要比分子互作用勢能小。由于分子互作用勢能來自電磁相互作用，這說明萬有引力相互作用要比電磁相互作用弱得多。1.6.3一容積為的真空系統(tǒng)已被抽到1.33×10-3Pa的真空。為了提高其真空度，將它放在溫度為的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體。若烘烤后壓強增為1.33Pa，問器壁原來吸附了多少個氣體分子？分析：烘烤時溫度上升,器壁所吸附的氣體分子有足夠大的能量克服器壁對它的吸引力而釋放出來

8、。真空系統(tǒng)的壓強相應增加。利用公式可以計算出吸附氣體分子數(shù)。答：。1.6.4一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強為，溫度為，試求：（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)；(2)氧氣的密度；(3)分子間的平均距離：(4)分子的平均平動動能。分析：利用公式可以得到單位體積內(nèi)的分子數(shù)。利用和公式可以得到氧氣的密度和分子質(zhì)量。利用和可以分別求得分子間的平均距離和分子的平均平動動能。答：（1）；（2）；（3）；（4）。 第二章222量的概率分布函數(shù)具有形式,式中A和是常數(shù)，試寫出的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內(nèi)的概率P的近似表示式。解：歸一化，在上述積分中考慮到f(x)是偶函數(shù)，所以有可以知道處于7.9999

9、8.0001范圍內(nèi)概率為2.3.1求下的氮氣中速率在到之間的分子數(shù)。分析：這是一個在麥克斯韋速率分布中求某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的問題,應該用相對于最概然速率的麥克斯韋速率分布,即使用誤差函數(shù)來求解。但是注意到,到之間僅僅差，它要比小得多。可以認為在到范圍內(nèi)麥克斯韋速率分布是不變的。它的概率等于在橫坐標為到之間的麥克斯韋速率分布曲線線段下面的面積（這個梯形可以看作矩形）。解：設下，中的理想氣體分子數(shù)為,利用洛施密特常量可以得到利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在之間的分子數(shù)為（1）現(xiàn)在其中的,氮氣溫度，而氮分子質(zhì)量。將它們代入（1）式即得到在到之間的分子數(shù)為。,利用洛施密特常量可以得到利用麥克斯韋速

10、率分布可以得到速率在之間的分子數(shù)為（1）現(xiàn)在其中的,氮氣溫度，而氮分子質(zhì)量。將它們代入（1）式即得到在到之間的分子數(shù)為。2.4.1因為固體的原子和氣體分子之間有作用力，所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會形成厚度為一個分子直徑的那樣一個單分子層，設這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動，這些分子十分近似地形成2維理想氣體。如果這些分子是單原子分子，吸附層的溫度為，試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v)dv表達式。解：我們知道,通常的麥克斯韋速度分布是3維的（1） 其中速度在的3個分量上的分布函數(shù)都具有如下形式：（2）顯然，只能在XY平面上運動的2維理想氣體的麥克斯韋速度分

11、布應該是（3）這就是2維理想氣體的麥克斯韋速度分布公式。（3）式也可以寫為（4）其中實際上就是在2維速度空間中位置在，范圍內(nèi)的正方形這一微分元的面積，而是氣體分子的代表點在這一微分元上的分布概率。設在2維速度空間中位置在，范圍內(nèi)的這一微分元上的分子代表點數(shù)為。顯然它被除以微分元的面積，就是在2維速度空間中的分子代表點的數(shù)密度，所以（5）下面我們從速度分布導出速率分布。我們知道2維理想氣體的麥克斯韋速率分布表示了分子處在2維速度空間中,半徑為的圓環(huán)內(nèi)的概率。是在半徑為的圓環(huán)內(nèi)的分子代表點數(shù)。它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點的數(shù)密度。利用（5）式可以得到所以分子處于速率為v到v+dv范圍內(nèi)的概率f(v

12、)dv的表達式為（7）它就是2維理想氣體的麥克斯韋速率分布。2.4.2分子質(zhì)量為m的氣體在溫度T下處于平衡。若以及分別表示分子速度的x、y、z三個分量及其速率，試求下述平均值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。分析：在求上述統(tǒng)計平均值時要用到概率的基本性質(zhì),即互相排斥事件概率相加法則和相互統(tǒng)計獨立的事件概率相乘法則。另外,因為麥克斯韋速度分布函數(shù)是個偶函數(shù),所以在積分時要區(qū)分被積函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。對于偶函數(shù)，因為積分范圍是對稱區(qū)間,所以應該分區(qū)間積分。解：（1）麥克斯韋的速度的x、y、z三個分量分布可以表示為.（3）由于vx和v2相互獨立,利用概率相乘法則,并且考慮到vx的平均值等

13、于零,則有（4）同樣vx,vy相互獨立,和“（3）”類似（5）利用概率相加法則2.5.1一容積為1升的容器，盛有溫度為300K，壓強為的氬氣，氬的摩爾質(zhì)量為0.040kg。若器壁上有一面積為1.0×10-32的小孔，氬氣將通過小孔從容器內(nèi)逸出，經(jīng)過多長時間容器里的原子數(shù)減少為原有原子數(shù)的？分析：這是一個瀉流問題,可以應用氣體分子碰壁數(shù)來解。應該注意,容器內(nèi)的分子數(shù)(或者說容器內(nèi)的分子數(shù)密度)是隨時間而減少的,所以是個變量。或者說相等時間內(nèi)流出去的分子數(shù)是不相等的，應該建立微分方程?？紤]在到時間內(nèi),容器內(nèi)的分子數(shù)由于瀉流從變化為,其中就是在時間內(nèi)瀉流流出去的分子數(shù),列出和之間的關(guān)系,這

14、就是解本題所需要的微分方程。經(jīng)過分離變量,積分,就可以得到所需要的結(jié)果。解：在時間內(nèi)在面積為的小孔中流出的分子數(shù)為其中為氣體分子數(shù)密度。考慮到氣體的流出使得分子數(shù)減少,所以在上式中加一負號?，F(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積,并且在0到之間進行積分現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到1/e,即即：經(jīng)過100s容器內(nèi)原子數(shù)減為原來的。.2.5.2一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強分別為。兩部分氣體的溫度均為，摩爾質(zhì)量均為。試證明：如果隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為分析：容器被隔板分成兩部分以后,隔板左右兩邊的氣體都可以通過小孔從一邊流向另一邊,和上一題一樣利用氣體分子碰壁數(shù)來解

15、。解：利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為現(xiàn)在分別用下標1，2分別表示隔板左、右氣體的各個物理量。在時間內(nèi)通過單位面積小孔,隔板左邊凈增加的分子數(shù)為在內(nèi)通過小孔的氣體質(zhì)量為 2.5.3處于低溫下的真空容器器壁可吸附氣體分子，這叫做“低溫泵”，它是提高真空度的一種簡便方法?？紤]一半徑為的球形容器，器壁上有一面積為的區(qū)域被冷卻到液氮溫度(77K)，其余部分及整個容器均保持300K。初始時刻容器中的水蒸氣壓強為，設每個水分子碰到這一小區(qū)域上均能被吸附或被凝結(jié)在上面，試問要使容器的壓強減小為，需多少時間?解：設t時刻分子數(shù)密度為，則時間內(nèi)碰在面積上的分子數(shù)為利用p=nkT公式,它可

16、以化為經(jīng)過積分,可以得到2.5.5若使氫分子和氧分子的等于它們在地球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度?若使氫分子和氧分子的等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度?已經(jīng)知道月球的半徑為地球半徑的0.27倍,月球的重力加速度為地球的0.165倍。分析：在離地球中心距離為R的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率vmin（它稱為逃逸速率）,這些分子向上運動時,只要不和其它分子碰撞,就可以逃逸出大氣層。其逃逸速率滿足在忽略重力加速度隨高度的變化的情況下,可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代,則（1）其中是地球重力加速度，ME是地球質(zhì)量,是地球半徑。同樣，在月球表面上也有逃逸速率

17、。和（1）式類似,有如下表達式（2）其中下標M表示月球的各物理量。答：氫分子和氧分子的分別等于地球表面上的逃逸速率時的氫氣和氧氣的溫度分別為,.氫分子和氧分子的分別等于它們在月球表面上的逃逸速率時的氫氣和氧氣溫度分別為，261試證若認為地球的大氣是等溫的,則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強為一個大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標高。分析：在離地高為的范圍內(nèi)的球殼體積為（1）說明：這是因為地球大氣標高只有8km,它比地球半徑RE要小得多,所以那一層球殼相對于地球來講相當于一層“紙”。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“紙”的高度。當然,我們也可以如下更清楚地求出：忽略dz的

18、二次方和三次方項,同樣有解：若設在海平面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),在球殼體積dV(z)范圍內(nèi)的分子數(shù)令稱為大氣標高,設在海平面處的氣體分子數(shù)密度為，所有大氣的總分子數(shù)為，則：（2）現(xiàn)在來估計的數(shù)量級。設地球大氣為平均溫度T=273K的等溫大氣，而且（3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括號中的第二項比第一項小3個數(shù)量級,第三項又比第二項小3個數(shù)量級。我們完全可以忽略其中的第二項和第三項。顯然，用近似方法進行計算要簡便得多。這時其中為大氣標高。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強為一個大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標高。2.6.2試估計質(zhì)量為的砂粒能像地

19、球大氣一樣分布的等溫大氣溫度的數(shù)量級。分析：（1）我們知道，布朗粒子和分子之間沒有本質(zhì)區(qū)別，僅不過布朗粒子的質(zhì)量比一般的分子大幾個數(shù)量級。從能量均分定理可以知道，若布朗粒子和分子分別處于相同溫度的系統(tǒng)中，則布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好幾個數(shù)量級。同樣，砂粒和布朗粒子之間也沒有本質(zhì)區(qū)別，也僅不過砂粒的質(zhì)量比一般的布朗粒子大十幾個數(shù)量級，相應地其均方速率要小十幾個數(shù)量級。當砂粒的均方速率小到如此情況，它在1秒內(nèi)的均方位移也要比砂粒本身的大小還要小數(shù)個數(shù)量級時，其宏觀位移根本測量不出,則砂粒的布朗運動（或者說無規(guī)運動）可以不必考慮?？梢怨烙嫷剑敎囟壬仙淖銐蚋邥r，砂粒也會像分子那樣作熱

20、運動的。（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能夠像地球大氣一樣分布的條件是它們的大氣標高kT/mg應該都相同。答：。2.7.1求常溫下質(zhì)量M1=3.00g的水蒸氣與M2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的摩爾定體熱容。分析：顯然，3.00g水蒸氣的物質(zhì)的量是，3.00g氫氣的物質(zhì)的量是。由于氫氣有5個自由度，水蒸氣有6個自由度，根據(jù)能量均分定理，氫氣的內(nèi)能為，水蒸氣的內(nèi)能為。M1=3.00g的水蒸氣與M2=3.00g的氫氣組成的混合理想氣體的內(nèi)能為?；旌侠硐霘怏w的物質(zhì)的量為，所以這種混合理想氣體的內(nèi)能為氣體的定體熱容2.7.3一粒小到肉眼恰好可見、質(zhì)量約為kg的灰塵微粒落人一杯冰水中。由于

21、表面張力而浮在液體表面作二維自由運動，試問它的方均根速率是多大?分析：灰塵微粒作二維布朗運動，它應該有如下關(guān)系按照能量均分定理答：。 第三章3.1.1一細金屬絲將一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤沿中心軸鉛垂吊住。盤能繞軸自由轉(zhuǎn)動。盤面平行于一水平板，盤與平板間充滿黏度為h的液體。初始時盤以角速度旋轉(zhuǎn)。圓盤面與大平板間距離為d，且在圓盤下方任一豎直直線上液體的速度梯度處處相等。試求t秒時盤的旋轉(zhuǎn)角速度。分析：因為圓盤與水平板之間存在相對運動，故存在如下的黏性力，在不同r處的線速度不同，但是圓盤下方任一豎直直線上的速度梯度都處處相等，所以在r處任一豎直直線上液體的速度梯度是?，F(xiàn)在以離開中心

22、軸距離的小圓環(huán)上，中心角為的一小塊圓盤為研究對象（它的面積時可以近似認為它是底邊為高為的矩形）。計算它受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩。解：圓盤受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩分別為對上式中的從積分，再對從0R積分?？梢缘玫剑?）利用剛體動力學中的轉(zhuǎn)動定律，其中J為圓盤轉(zhuǎn)動慣量，現(xiàn)在。把（1）式代入轉(zhuǎn)動定律分離變量后兩邊積分，最后得到t秒時圓盤的旋轉(zhuǎn)角速度為ê3.3.3兩個長圓筒共軸套在一起，兩筒的長度均為，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為R1和R2，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度T1和T2，且T1>T2，已知兩筒間空氣的導熱系數(shù)為，試證明每秒由內(nèi)筒通過空氣傳到外

23、筒的熱量為分析：在這里的溫度梯度不是常數(shù)，即否則,若把內(nèi)筒和外筒之間的空間分割為一系列厚度相等的圓柱殼層。按照這一計算公式,從逐步變化到,則在時間內(nèi),由內(nèi)筒向外傳遞的熱量將逐步增加。這不符合穩(wěn)態(tài)傳熱（在時間內(nèi),在每一圓柱面上通過的熱量應該是相等的）條件。唯一的可能是在內(nèi)筒和外筒之間的溫度梯度不是常數(shù)。為此必須取半徑為的某一圓柱殼層為對象，研究它的傳熱過程。解：設在時間內(nèi),由內(nèi)筒向外傳遞的熱量為常量?，F(xiàn)在取半徑的某一圓柱殼層為研究對象。則兩邊積分，可以得到3.3.6兩根金屬棒A、B尺寸相同，A的導熱系數(shù)是B的兩倍，用它們來導熱。設高溫處與低溫處的溫度保持恒定，求將A、B并聯(lián)使用和串聯(lián)使用時熱傳遞

24、能量之比(設棒的側(cè)面是絕熱的)。分析：對于一個存在穩(wěn)定熱流的均勻棒可以將傅里葉定律表示為熱歐姆定律，也就是說（其中分別是金屬棒的熱導系數(shù)、長度和截面積）可以被改寫為（1）其中稱為溫壓差（相當于歐姆定律中的電勢差），稱為熱阻（相當于電阻），稱為熱流（相當于電流）。（1）式稱為熱歐姆定律。我們可以利用它來解決一些類似于串、并聯(lián)的傳熱問題。解：設A、B金屬棒的導熱系數(shù)分別是，熱阻分別是，它們的串聯(lián)熱阻和并聯(lián)熱阻分別為?？紤]到，則（2）（3）（2）式被（3）式除，可以得到 3.3.7半徑的鈾球，在原子裂變過程中以體積熱產(chǎn)生率均勻地、恒定不變地散發(fā)出熱量。已知鈾的熱導率，試問達穩(wěn)態(tài)時，鈾球的中

25、心與外表面間的溫度差是多少?分析：對于球體內(nèi)部有恒定不變地均勻散發(fā)出熱量的傳熱問題，它達到穩(wěn)態(tài)的條件是：單位時間內(nèi)，從半徑為的球殼向外傳遞的熱量，應該等于單位時間內(nèi)以為半徑的球內(nèi)所產(chǎn)生的總的熱量。假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚未達到；假如后者小于前者，鈾球內(nèi)部溫度會降低，穩(wěn)態(tài)仍然未達到。解：現(xiàn)在以半徑為的球殼為研究對象，設及處的溫度分別為。由于球殼內(nèi)、外表面之間存在溫度梯度，有熱量從球殼向外傳輸，球殼通過的熱量達到穩(wěn)態(tài)時球殼在單位時間內(nèi)透過的熱流應該等于以為半徑的鈾球在單位時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量（假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚未達到），所以3.5.1熱容為C的物體處于溫度

26、為的媒質(zhì)中，若以的功率加熱，它所能達到的最高溫度為。設系統(tǒng)的漏熱遵從牛頓冷卻定律，試問加熱電路切斷后，物體溫度從降為時所需的時間是多少?分析：牛頓冷卻定律可以表示為其中為環(huán)境溫度。若以的功率加熱，它所能達到的最高溫度為,這說明的功率加熱恰好被溫度時物體向環(huán)境的漏熱相平衡,因而溫度不再上升，由此可以定出。解：從上面的分析可以得到如下關(guān)系：，另外又有將上述3個公式聯(lián)立后積分，最后得到3.6.5試估計宇宙射線中質(zhì)子抵達海平面附近與空氣分子碰撞時的平均自由程。設質(zhì)子直徑為1015m，宇宙射線速度很大。分析：這個問題的情況和上一題十分類似，碰撞截面可以利用公式，平均自由程可以利用公式。這里的就是空氣分子

27、的有效直徑，簡單地認為。而是空氣的分子數(shù)密度，簡單認為。答：。3.6.6從反應堆(溫度)中逸出一個氫分子(有效直徑為)以方均根速率進入一個盛有冷氬氣(氬原子的有效直徑為，氬氣溫度為300K)的容器，氬原子的數(shù)密度為。試問：(1)若把氫分子與氬原子均看作剛性球，它們相碰時質(zhì)心間最短距離是多少?（2）氫分子在單位時間內(nèi)受到的碰撞次數(shù)是多少?分析：（1）分子之間相碰時質(zhì)心間最短距離就是分子碰撞有效直徑，對于剛性分子，它就是兩個相碰分子的半徑之和。（2）在計算分子之間碰撞的平均頻率時要用到相對運動平均速率。對于溫度相同的同種分子，但是對于異種分子，特別是平均速率不相同的分子之間的碰撞，我們可以這樣利用

28、近似方法得到它。把1分子相對于2分子的相對運動速度矢量寫為其相對運動速率的平方（1）取平均值（2）上式最右邊第二項表示一個分子的速度在另一個分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而（3）因為（3）式中的余弦函數(shù)是偶函數(shù)，它的平均值為零，所以（1）式可以表示為又有如下近似條件可以利用，所以（4）利用這一公式可以計算相對運動平均速率。解：（1）對于剛性分子，氫分子與氬原子相碰時質(zhì)心間最短距離也就是氫分子與氬原子碰撞的有效直徑（5）（2）從反應堆中逸出的一個氫分在單位時間內(nèi)受到的氬原子平均碰撞總次數(shù)為（6）在上面的式子中，所有下標表示是氫分子的物理量，所有下標表示氬原子的各物理量，下標表示氫分子相對于

29、氫原子的各物理量，下標表示氫分子相對于氬原子的各物理量。顯然，（7）因為已知氫分子是以方均根速率從反應堆逸出，所以（8）利用（4）式可以得到分子束中的氫分子相對于氬原子的平均速率為（9）現(xiàn)在已經(jīng)知道，。將上述數(shù)據(jù)以及（5）式、（7）式、（9）式一起代入（6）式可以得到氫分子在單位時間內(nèi)受到的平均碰撞總次數(shù)3.7.1某種氣體分子的平均自由程為10cm，在10000段自由程中，（1）有多少段長于10cm?（2）有多少段長于50cm?（3）有多少段長于5cm而短于10cm?（4）有多少段長度在9.9cm與10cm之間?（5）有多少段長度剛好為10cm?分析：以下兩個有關(guān)概率的概念是等價的：“一個分子

30、自一次碰撞后又行進路程x而還沒有被碰撞的概率”；“在許多段長度不同的自由程中，長度大于自由程x的概率”。因此，分子按照自由程的分布也可以理解為：在段自由程中，長度大于x的自由程數(shù)為。解：（1）在10000段自由程中，其自由程長于10cm的段數(shù)為（2）在10000段自由程中，其自由程長于50cm的段數(shù)為（3）在10000段自由程中，其自由程長于5cm，短于10cm的段數(shù)為（4）因為，所以在10000段自由程中，自由程長度在9.9cm與10cm之間的段數(shù)為（5）不能這樣提問，因為按照概率分布函數(shù)（即隨機變量為連續(xù)變量的概率分布）的概念，只存在隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率，而不存在隨機變量為某一確定數(shù)

31、值的概率。3.7.3由電子槍發(fā)出一束電子射人壓強為p的氣體中，在電子槍前相距x處放置一收集電極，用來測定能自由通過(即不與氣體分子相碰)這段距離的電子數(shù)。已知電子槍發(fā)射的電子流強度為100mA，當氣壓、x=10cm時，到達收集極的電子流強度為37mA。(1)電子的平均自由程為多大?(2)氣壓降到時，到達收集極的電子流強度是多少?分析：由于電子槍發(fā)射的電子流強度為100mA，在氣壓、x=10cm時，到達收集極的電子流強度為37mA，說明有（10037）/100×100%的電子在10cm以前被碰。而（37/100）則是在10cm處電子的殘存概率。由此可以求出時電子的平均自由程為；同時也可

32、以求出氣壓降到時的平均自由程為。當氣壓降到時在10cm處電子的殘存概率可以由求得，而電子的殘存概率是直接和到達收集極的電子流強度相對應的。解：（1）設電子的平均自由程為。則電子束行進距離時的殘存概率為因而有：得到電子的平均自由程為。（2）因為,說明溫度相同時和成反比。而。氣壓降到時電子的平均自由程為在平均自由程為時，在處的殘從而求出電子流強度 第四章4.2.1氣體作準靜態(tài)等溫膨脹，由初體積變成終體積，試計算這過程中所做的功。若物態(tài)方程式是（1）（是常數(shù)）（2）常數(shù)，解：（1）因為，即。（2）因為，即,所以4.5.1圖表示有一除底部外都是絕熱的氣筒，被一位置固定的導熱板隔成相等的兩部分

33、A和B，其中各盛有一摩爾的理想氣體氮。今將334.4J的熱量緩慢地由底部供給氣體，設活塞上的壓強始終保持為，求A部和B部溫度的改變以及各吸收的熱量(導熱板的熱容可以忽略)。若將位置固定的導熱板換成可以自由滑動的絕熱隔板，重復上述討論。分析：1，若隔板的位置是固定的而且是導熱的，則B部吸收熱量后按照等壓過程變化；A部既吸收熱量，又向B部放熱，同時它按照等體過程變化。A部吸收的熱量等于A部內(nèi)能的增加加上向B部釋放的熱量。2，若隔板是可以自由滑動的而且是絕熱的，則A部吸收熱量后按照等壓過程變化；B部不吸收熱量，也不做功（因為它通過活塞和外界相連接，它的壓強始終和外界相等），按照熱力學第一定律，其內(nèi)能

34、不變，狀態(tài)也不變。A部吸收的熱量全部用于A部內(nèi)能的增加和它對外作的等壓功。解：（1）隔板是固定的并且是可導熱的。設A部和B部凈吸收的熱量分別為、。A部在定體條件下既吸熱又放熱，但是其凈吸收的熱量是。而B部是在定壓條件下吸熱，其吸的熱等于焓的增加。注意到A部和B部的氣體都是1摩爾。我們規(guī)定：下標“”或者“”表示定體積過程或者定壓過程，下標“”表示是1摩爾的物理量，則A部從加熱器吸收的熱量為兩邊積分得： 這就是A部的溫度改變。因為隔板是導熱的，B部的溫度改變和A部相等。 下面求A部和B部凈吸收的熱量。兩邊積分兩邊積分（2）若隔板換成可以自由滑動的絕熱隔板，則A部和B部的壓強始終相等，并且

35、等于大氣壓強，這時A部凈吸收的熱量A部的溫度改變對于B部，由于隔板是絕熱的，所以，。B部狀態(tài)不變化，其溫度不變。  4.5.5室溫下定量理想氣體氧的體積為（升），壓強為，經(jīng)過某一多方過程后體積變?yōu)?，壓強為。試求?1)多方指數(shù)；(2)內(nèi)能的變化；(3)吸收的熱量；(4)氧膨脹時對外界所作的功。設氧的。解：（1）多方過程方程為，兩邊取對數(shù)，則有（1）（2），而，（3）由此得到（內(nèi)能減少）（4）（3）多方過程熱容（5）多方過程中吸收的熱量（6）聯(lián)立（3）、（5）、（6）式得到（吸收熱量）。（4）氣體膨脹，它對外作的功 4.5.8利用大氣壓隨高度變化的微分公式，證明高度

36、處的大氣壓強為其中和分別為地面的溫度和壓強，為空氣的平均摩爾質(zhì)量。假設上升空氣的膨脹是準靜態(tài)絕熱過程。分析：在課本中推導的大氣壓強公式是假定整個大氣處于溫度處處相等的平衡態(tài)的。實際上大氣溫度是隨高度而變化的。在貼近地面的對流層中，如果不考慮大氣環(huán)流，則影響大氣溫度垂直變化的原因是重力和上升空氣的準靜態(tài)絕熱膨脹。解：因為上升空氣的膨脹是準靜態(tài)絕熱過程，滿足準靜態(tài)絕熱方程（1）大氣壓隨高度變化的微分公式（2）由（1）式、（2）式化簡，兩邊積分， 可以得到最后得到 4.5.11用絕熱壁做成一圓柱形的容器，在容器中間放置一無摩擦的、絕熱的可動活塞，活塞兩側(cè)各有的理想氣體。設氣體定體

37、摩爾熱容為常數(shù)，。將一通電線圈放在活塞左側(cè)氣體中，對氣體緩慢加熱。左側(cè)氣體膨脹，同時通過活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強增為。試問：(1)對活塞右側(cè)氣體作了多少功?(2)右側(cè)氣體的終溫是多少?(3)左側(cè)氣體的終溫是多少?(4)左側(cè)氣體吸收了多少熱量?分析：圓柱形容器和活塞都是絕熱的，所以活塞右方氣體經(jīng)歷的是絕熱過程；而活塞左側(cè)有通電線圈加熱。左方氣體吸收熱量后不僅增加它自己的內(nèi)能，同時還對右方氣體做功。這個功全部用來增加右方氣體的內(nèi)能（或者說使得它的溫度升高）。另外，可以認為在初始時刻活塞位于圓柱形容器的正中央，左、右方氣體的物質(zhì)的量、體積、壓強都相等，因而溫度也相等。解：（1）顯然初始時

38、刻活塞左、右側(cè)氣體的壓強都是，最終左、右側(cè)氣體壓強分別為、，溫度分別、，體積分別為、。該過程中左側(cè)氣體對右側(cè)氣體（視作理想氣體）所做準靜態(tài)絕熱壓縮功為（2）絕熱過程中有如此關(guān)系：，所以右側(cè)氣體的終溫為（3）左側(cè)氣體經(jīng)歷的既不是絕熱也不是等壓過程，要求出終溫，必須知道、，然后通過狀態(tài)方程求出。但是如果要求出，必須先知道，（因為）。而右側(cè)氣體的絕熱過程有關(guān)系，所以又， 由此我們可以得到左側(cè)氣體的這最終溫度為 4.6.1已知某種理想氣體在圖上的等溫線與絕熱線的斜率之比為0.714，現(xiàn)一摩爾該種理想氣體在圖上經(jīng)歷如右圖所示的循環(huán)。試問：(1)該氣體的是多少?(2)循環(huán)功是多少?(3)循環(huán)效率

39、是多少?分析：（1）它的等溫過程方程為，絕熱過程方程為，只要分別對上述方程的兩邊取微分，就可以求出在圖上過程曲線的斜率。（2）在求循環(huán)功和循環(huán)效率時應該注意到，上圖畫的是圖，而不是圖。若要避免錯誤，可以先把它轉(zhuǎn)換為圖，然后進行計算。 解：（1）分別對等溫過程方程和絕熱過程方程的兩邊取微分，可以得到它們在圖上過程曲線的斜率，以下標和下標分別表示等溫過程和絕熱過程。，比較這兩個式子可以知道，由此可得：。（2）現(xiàn)在把循環(huán)曲線從圖轉(zhuǎn)換為圖，如右圖所示。這是順時針循環(huán)，是熱機。計算系統(tǒng)對外作的功，注意（為外界對系統(tǒng)作的功）：等壓膨脹過程，等體過程，等溫過程,對外作的循環(huán)總功= （2）

40、計算系統(tǒng)吸收或者釋放的熱量：等壓膨脹過程（吸熱），等體降溫過程（放熱），等溫壓縮過程（放熱），（3）熱機效率=4.6.2一摩爾單原子理想氣體經(jīng)歷了一個在圖上可表示為一個圓的準靜態(tài)過程(如下頁圖所示)，試求：(1)在一次循環(huán)中對外作的功；(2)氣體從A變?yōu)镃的過程中內(nèi)能的變化；(3)氣體在ABC過程中吸收的熱量；(4)為了求出熱機循環(huán)效率，必須知道它從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點的坐標，試導出過渡點坐標所滿足的方程。分析：循環(huán)曲線是由一段段實線線段連接而成的閉合曲線，而每一線段都可以被認為是某一多方過程的一部分。應該明確，對于在圖上可表示為一個實線圓的過程，圓上任何一個有一定大小的有限線

41、段，都不能被認為是某一多方過程的一部分。但是它的任何一個微小線段卻可以被認為是某一多方過程的微小部分。從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點可以被認為是這樣一個特殊點：在這一點既不吸熱也不放熱，所以它也是某一條絕熱曲線上的微小部分。既然該點是絕熱曲線的一微小部分，也是圓的一微小部分，則該點在這兩條曲線上的斜率也應該是相等的，或者說，絕熱曲線和圓應該在該點相切。由此可以確定從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點的坐標。還有一種確定從放熱變?yōu)槲鼰岬倪^渡點坐標的方法，這將在4.B.2中介紹。解：(1)從題圖可以看出，圓心的橫坐標就是A點和C點的橫坐標的和的一半，同樣B點和D點的縱坐標的和的一半就是圓的縱坐標。若我們

42、取分別作為縱坐標和橫坐標的單位，并且縱坐標和橫坐標只標定數(shù)字而不標出單位，則這個圓和普通的坐標圖上的圓就沒有什么區(qū)別了。從圖上可以看出，該圓的半徑是“1”。狀態(tài)方程可寫為這樣的圓方程 圓的半徑。在一次循環(huán)中對外作的功就是圓的面積，它應該等于縱坐標半徑和橫坐標半徑的乘積再乘上，所以。（2）要求出內(nèi)能變化就要求出溫度變化。由圖知，根據(jù)蓋-呂薩克定律得：，又由理想氣體狀態(tài)方程得：，所以氣體從A變?yōu)镃的過程中內(nèi)能的變化為：。(3)氣體在ABC過程中對外做的功應該等于曲線ABC下面的面積 由熱力學第一定律得吸收的熱量： （4）吸熱和放熱的過渡點是絕熱點，即過程曲線在該點的斜率與絕熱線

43、斜率相等。若要求出這一點，只要將狀態(tài)方程兩邊對V求偏微商，偏微商的下標標以，表示這是狀態(tài)方程曲線上的斜率。得到即（1）又將絕熱過程兩邊對V求微分，得（2）從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點應該滿足（1）式=（2）式，從而得到滿足這一等式的坐標，顯然它們應該滿足如下關(guān)系即（3）因為是圓上的點，所以還應該同時滿足（4）（3）式和（4）式就是從吸熱變?yōu)榉艧峒皬姆艧嶙優(yōu)槲鼰岬倪^渡點所應該滿足的聯(lián)立方程。     4.7.2某空調(diào)器是由采用可逆卡諾循環(huán)的制冷機所制成。它工作于某房間(設其溫度為)及室外(設其溫度為)之間，消耗的功率為P，試問：（1）若

44、在1秒內(nèi)它從房間吸取熱量，向室外放熱，則是多大?(以，表示之)。（2）若室外向房間的漏熱遵從牛頓冷卻定律，即，其中是與房屋的結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試問制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間所能達到的最低溫度是多大?(以、P、表示之)。（3）若室外溫度為，溫度控制器開關(guān)使其間斷運轉(zhuǎn)的時間(例如開了3分鐘就停7分鐘，如此交替開停)，發(fā)現(xiàn)這時室內(nèi)保持溫度不變。試問在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度，則該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少?（4）在冬天，致冷機從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，制冷機起了熱泵的作用，仍要求維持室內(nèi)為，則它能正常運轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少? 分析：這是現(xiàn)在正在廣泛使用的熱泵，它既能在夏天用來降溫

45、，又能在冬天用來取暖的一個理想模型（認為制冷機是可逆卡諾制冷機）。通常制冷機是采用交替開停的方法來控制溫度，使房間達到基本恒溫的。在達到穩(wěn)定狀態(tài)時，在相同時間內(nèi)，冬天時制冷機向房間傳遞的熱量應該等于房間向外的漏熱；夏天時外界向房間的漏熱應該等于制冷機從房間取出的熱量。解：（1）對于可逆卡諾制冷機，有：，經(jīng)過變換可以得到（1）又由于，而考慮到在運行穩(wěn)定時,因而（1）式可表示為，（2）（2）當制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間達到的最低溫度時制冷機的制冷功率應該等于房間的漏熱功率。制冷機的制冷功率是由制冷機的效率公式?jīng)Q定的。房間的漏熱功率是由牛頓冷卻定律決定的，因而利用（1）式,有（3）即：因為，所以上式

46、中只能取負號，所以有（4）（3）當室外溫度為，制冷機長期運轉(zhuǎn)時間并且達到穩(wěn)態(tài)時，這時的房間溫度為。我們可以利用這一條件求出。因為在達到穩(wěn)定狀態(tài)時，單位時間內(nèi)外界向房間的漏熱應該等于制冷機從房間取出的熱量，而后者可以用（2）式來求出，不過其中的應該用來代替。這樣，就有（5）將，代入（5）式，可以得到（6） 到了夏天仍要求維持室內(nèi)溫度，若該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度（設為），而室內(nèi)溫度仍為。這時達到穩(wěn)態(tài)的條件同樣是：制冷機的制冷功率應該等于房間的漏熱功率。但是現(xiàn)在空調(diào)器是不間歇地連續(xù)運轉(zhuǎn),在（5）式中的應改為，即（6）得到（7）（4）在冬天要求維持室內(nèi)溫度，設它能正常運轉(zhuǎn)的最低室

47、外溫度為，則參考（6）式，有（8）將（5）中的代入，可以得到5.1.2 5.1.2     對于任何物質(zhì)，證明兩絕熱線不能相交。分析：本題和上題一樣也是針對任何物質(zhì)而言的，也要利用熱力學基本定律（即利用永動機不可能造成的），由反證法來證明。例如先假定兩絕熱線已經(jīng)相交，其結(jié)果會形成一種永動機，從而說明這是不可能的。因為永動機是做功的機器，所以要在圖上構(gòu)造一個順時針循環(huán)。但是兩根相交的絕熱線不能構(gòu)成循環(huán)，而且它也不吸收熱量。我們應再增添一條從單一熱源吸熱的等溫線，這條等溫線和那兩條絕熱線相交組成一個順時針順循環(huán)，看這樣是否會違背熱力學基本定律。解：假設在圖上

48、兩條絕熱線A、B相交于點“1”，則可作一等溫線C與它們分別相交于點“3”和點“2”。線段“”、“”和“”圍成一閉合區(qū)域?，F(xiàn)在也分兩種情況進行討論。（1）若“1”點在等溫線上面，如題（a）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán)“”。在此循環(huán)過程中對外做了功（其大小就是閉合曲線所圍的面積），它卻僅在“”等溫過程中放熱。這說明系統(tǒng)可以在不吸收熱量，甚至在放熱的情況下對外做有用功，這違反熱力學第一定律。（2）若“1”點在等溫線下面，如圖（b）所示。利用閉合曲線做一正循環(huán)“”。此循環(huán)過程只在“”等溫過程中從單一熱源吸熱對外做了有用功而無其它影響,這違反熱力學第二定律。所以，兩絕熱線不能相交。5.3.1如下圖所示，圖中為等溫線，為絕