第三章拉氏變換

1、1 第三章第三章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換 3.5 3.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 小小 結(jié)結(jié)2 3.1 3.1 引言引言 傅立葉分析工具在研究信號和線性時不變系傅立葉分析工具在研究信號和線性時不變系統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變換有不足之處。換有不足之處。1 1、要求信號、要求信號f(t)絕

2、對可積。而有些常用信絕對可積。而有些常用信號不滿足該條件。號不滿足該條件。2、有些重要函數(shù)如、有些重要函數(shù)如eat (a0) 的傅立葉變換的傅立葉變換不存在，無法用傅立葉分析方法處理。不存在，無法用傅立葉分析方法處理。而拉氏變換作為傅氏變換的推廣，解決了上述不足。而拉氏變換作為傅氏變換的推廣，解決了上述不足。3拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：1、傅立葉變換是將時間函數(shù)、傅立葉變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮分解為無窮多項多項虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ej t之和。之和。 deFtftj)(21)(2、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮多項分解為

3、無窮多項復(fù)復(fù)指數(shù)信號指數(shù)信號est之和。其中之和。其中s= +j s稱為復(fù)頻率稱為復(fù)頻率 dsesFjtfts)(21)( 3、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣 3.1 3.1 引言引言返回返回4 3.2 3.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換1 1、傅立葉變換定義、傅立葉變換定義當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件時滿足狄里赫利條件時 deFtftj)(21)( dtetfFtj )()(52 2、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時0)(lim ttetf tetf )(F F)( bF

4、dteetftjt )( dtetftj)()( )1()()( dtetfsFstb一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換te稱為收斂因子稱為收斂因子其中其中dtetfst)(令令s= +j 因?yàn)樯鲜街幸驗(yàn)樯鲜街衪為積分變量為積分變量,故積分結(jié)果必為故積分結(jié)果必為s的函數(shù)的函數(shù)將將f(t)乘以乘以衰減因子衰減因子e- t ( 為為 一實(shí)常數(shù)一實(shí)常數(shù) ) ，恰當(dāng)?shù)剡x取，恰當(dāng)?shù)剡x取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e- t 變得變得絕對可積絕對可積，即，即6令令s= +j ，,因因 為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以d = 1/j ds，且當(dāng)，且當(dāng)時，時，s j 進(jìn)行積分換元進(jìn)

5、行積分換元用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換 desFetftjbt)(21)( deesFtftjtb)(21)(兩邊同乘兩邊同乘e t)2()(21)( jjtsbdsesFjtf (1)式和式和(2)式為雙邊拉普拉斯變換對式為雙邊拉普拉斯變換對一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換7二、拉普拉斯變換定義二、拉普拉斯變換定義1 1、雙邊拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換)2()(21)( jjtsbdsesFjtf )1()()( dtetfsFstbs稱復(fù)頻率，稱復(fù)頻率，F(xiàn)b(s)稱信號的復(fù)頻譜稱信號的復(fù)頻譜82 2、單邊拉普拉斯變

6、換、單邊拉普拉斯變換f(t)為有始函數(shù)，即為有始函數(shù)，即t0,幅度發(fā)散幅度發(fā)散 0的任何值，都有的任何值，都有0)(lim ttetu 所以其收斂域?yàn)樗云涫諗坑驗(yàn)閟平面的右半面平面的右半面3. 線性增長信號線性增長信號 tn0lim tntet 對于對于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收斂域?yàn)樗云涫諗坑驗(yàn)閟平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域134. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0lim ttatee 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域返回返回te只有當(dāng)只有當(dāng) 時，才有時，才有所以其收斂域?yàn)樗云涫諗坑驗(yàn)閟平面上平面上 的部分的

7、部分.14 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換設(shè)設(shè)f(t)為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換1、單位階躍信號、單位階躍信號u(t)L L )(tu 0dtest|0sests1 即即stu1)(L L ate 0dteestatas 1即即L L ateas 12、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)te153、 tn n為正整數(shù)為正整數(shù) L L nt 0dtetstn 010|dtntseestnststn 01dtetsnstnL L nt1! nsn即即 stRLtL21)( 特特殊殊： 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換 1

8、ntLsn stL10 0.21tLsnsnsntLn 164、正弦函數(shù)、正弦函數(shù))(21sintjtjeejt t sinL L則則 )(21tjtjeej LL)11(21 jsjsj 22 s 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換17即即 22sin stL L同理同理 22cos sstL L 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換185、沖激函數(shù)、沖激函數(shù) (t) 1)()(0 dtettst L L 1)( t L L即即同理同理 0)(0stett L L 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換返回返回19 3.

9、5 3.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 利用拉氏變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時，常常需要從象函利用拉氏變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時，常常需要從象函數(shù)數(shù)F(s)求出原函數(shù)求出原函數(shù)f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm 其中，其中，ai ,bj均為實(shí)數(shù)，均為實(shí)數(shù)，m，n為正整數(shù)為正整數(shù) 部分分式法的實(shí)質(zhì)部分分式法的實(shí)質(zhì)：將：將F(s)展開為簡單分式之和，展開為簡單分式之和，再逐項求出其拉氏反變換。再逐項求出其拉氏反變換。20一、當(dāng)一、當(dāng)m m n n時時 設(shè)設(shè)N(s)比比D(s)高高r階階 將將F(s)化為化為s的多項式與真分式之

10、和的多項式與真分式之和 )()()(2210sBsAsgsgsggsFrr 則其拉氏反變換為：則其拉氏反變換為： )()()()()()(1)(10sBsAtgtgtgtfrrL 一、部分分式法一、部分分式法21二、二、F(s)F(s)為真分式的情況為真分式的情況1、D(s)=0 的根為單實(shí)根的根為單實(shí)根)()()()()()(21nnpspspsasNsDsNsF 將上式展開為將上式展開為 n個簡單分式之和，即個簡單分式之和，即 )()()()(1)(2211nniinpskpskpskpskasF niiinpska1)(1其中，其中，ki為待為待定系數(shù)定系數(shù) 一、部分分式法一、部分分式法

11、22 為了確定為了確定ki，在方程兩端同時乘以因子，在方程兩端同時乘以因子(s-pi) ，再令再令s=pi ，則，則ipsinisDsNpsak )()()(或用另一辦法或用另一辦法(由羅比塔法則由羅比塔法則)ipsnisDsNak )()( 一、部分分式法一、部分分式法23 確定了確定了ki 之后，求出各簡單分式對應(yīng)的之后，求出各簡單分式對應(yīng)的時間函數(shù)，迭加后即為時間函數(shù)，迭加后即為f(t)nitpinniiintuekapskatfi111)(11)(L 一、部分分式法一、部分分式法24例：已知例：已知231)(2 sssF求求f(t)解：解：)2)(1(23)(2 sssssD有兩個互異

12、實(shí)根有兩個互異實(shí)根將將F(s)展開為部分分式：展開為部分分式：21)(21 sksksF 一、部分分式法一、部分分式法2521)(21 sksksF1) 2)(1(1) 1()() 1(|111 ssssssFsk1) 2)(1(1) 2()() 2(|222 ssssssFsk2111)( sssF即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以： )()(2tueetftt 26、D(s)=0 的根為重實(shí)根的情況的根為重實(shí)根的情況設(shè)設(shè)p1為為r重實(shí)根重實(shí)根)()()()()()(1)(11111211211) 1( 111nnrrrrrrnpskpskpskpskpskpskasF 式中：含有

13、單極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法與前述同式中：含有單極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法與前述同 一、部分分式法一、部分分式法271)()()(11psrnrsDsNpsak 1)()()(1)1(1psrnrsDsNpsdsdak 1)()()()!(1)()(1psririrnisDsNpsdsdirak 含有重極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法如下：含有重極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法如下： 一、部分分式法一、部分分式法28 nritpintprrrrniekaektktrktrkatf111122) 1( 1111)!2()!1(1)(1 一、部分分式法一、部分分式法29、D(s)=0 的根為共軛復(fù)根的情況的根

14、為共軛復(fù)根的情況因?yàn)橐驗(yàn)镈(s)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以有復(fù)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以有復(fù)根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。 一、部分分式法一、部分分式法設(shè)設(shè))( js 則則)()()()(1sDjsjssNsF 30)()()()(1sDjsjssNsF （）用上面所講方法進(jìn)行部分分式展開（）用上面所講方法進(jìn)行部分分式展開這種方法要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，比較麻煩這種方法要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，比較麻煩（）配方法（）配方法)()()()(122sDsMsbassF 一、部分分式法一、部分分式法31已知正弦函數(shù)已知正弦函數(shù) 22)()(sin stutetL L 22)()(cos sstute

15、tL L余弦：余弦：所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方法寫成如下形式：法寫成如下形式：22)( s或或22)( ss 一、部分分式法一、部分分式法32例：例：52)(2ssssFjs21 極點(diǎn)為極點(diǎn)為222) 1(11)(sssF22222) 1(2212) 1(1sss)(2sin21)(2cos)(tutetutetftt 一、部分分式法一、部分分式法返回返回33 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)若若 , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L則則 )()()()(22112

16、211sFasFatfatfa L L2、時間平移、時間平移若若 )()(sFtf L L則則 0)()()(00stesFttuttf L L34證明：證明： 00000)()()()(dtettuttfttuttfstL L 0)(0tstdtettf令令0tt 則則0ttdtd 0000)()()( deefttuttfstsL L)(0sFest 返回返回35例：周期函數(shù)例：周期函數(shù)f(t)，周期為，周期為T，若，若f1(t)表示從表示從t=0開始開始 的第一個周期的波形，且的第一個周期的波形，且f1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F1(s)， 求求f (t)的拉氏變換的拉氏變換解：解：

17、 )2()2()()()()(111TtuTtfTtuTtftftf且且 ,)()(11sFtf L L sTsTesFesFsFtf2111)()()()(L L)1)(21 sTsTeesFsTesF 11)(1 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)363、s域域平移平移若若 )()(sFtf L L則則 )()(00ssFetfts L L4、尺度變換、尺度變換若若 )()(sFtf L L則則 0)(1)( aasFaatfL L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)375、時域微分、時域微分若若 )()(sFtf L L則則)0()()

18、( fssFdttdfL L)0()0()()(222 fsfsFsdttfdL L)0()0()0()()()1(21 nnnnnnffsfssFsdttfdL L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)38 當(dāng)當(dāng)f(t)為有始函數(shù)時，為有始函數(shù)時，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均均為為0，此時，此時)()(sFsdttfdnnn L L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)396、時域積分、時域積分若若 )()(sFtf L L則則ssFdft)()(0 L LsdfssFdft 0)()()( L L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)40 000)()(dtedfdfsttt L L證明：證明：分部積分：分部積分： 000)()(|dttfse