高等數(shù)學(xué)課件：w-10-1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

1、高等數(shù)學(xué) 第第 十十 章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一一. . 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出二二. . 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì)三三. . 計(jì)算方法計(jì)算方法四四. . 幾何與物理意義幾何與物理意義重點(diǎn)：弧長(zhǎng)積分的計(jì)算重點(diǎn)：弧長(zhǎng)積分的計(jì)算難點(diǎn)：理解弧長(zhǎng)積分難點(diǎn)：理解弧長(zhǎng)積分高等數(shù)學(xué)一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取

2、極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值高等數(shù)學(xué)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義與性質(zhì),),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘積作乘積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一為第為第又又個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L高等數(shù)學(xué).),(lim),(,),(,),(,010 ni

3、iiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記記作作線線積積分分第第一一類(lèi)類(lèi)曲曲上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分或或在在曲曲線線弧弧則則稱(chēng)稱(chēng)此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)這這和和的的極極限限存存在在時(shí)時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的最最大大值值如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小弧弧段段的的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的曲線形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量.),( LdsyxM 高等數(shù)學(xué)2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù)

4、 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 高等數(shù)學(xué)注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2 LdsyxfLyxf曲曲線線積積分分記記為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)高等數(shù)學(xué)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 高等數(shù)學(xué)三、對(duì)弧長(zhǎng)曲

5、線積分的計(jì)算三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在其其中中的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)高等數(shù)學(xué)注意注意: :;),(. 1 一一定定要要小小于于上上限限化化為為定定積積分分時(shí)時(shí)的的下下限限 Ldsyxf.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ?高等數(shù)學(xué)推

6、廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.,)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 高等數(shù)學(xué)例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 高等數(shù)學(xué)例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從

7、其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I高等數(shù)學(xué)例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由由對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa高等數(shù)學(xué)四、幾何與四、幾何與物理意義物理意義,),()1(的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz 高等數(shù)學(xué),)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對(duì)對(duì)yx.,22 LyLxdsxIdsyI曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., LLLLdsdsyydsdsxx 高等數(shù)學(xué)五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2 2、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3 3、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的