第四章方差分析

1、第四章第四章 方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中,經(jīng)常遇到這樣的問題:影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多,我們需要了解在這眾多的因素中,哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響.為此,要先做試驗(yàn),然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析.方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法. 在方差分析中,把在試驗(yàn)中變化的因素稱為因子,用A、B、C、.表示;因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平,因子A的r個(gè)不同水平用A1、A2、.、Ar表示.1 單因子方差分析1.1 基本概念水平水平觀測(cè)值觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12.x1n1A2x21x22x2n2Arxr1xr2xrnr 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)

2、油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: 品種田塊A1A2A3A4A51256244250288206222230027728021232802902303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異. 試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè) H0:1=2=3=4=5是否成立.若是拒絕 ,那么我們就認(rèn)為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異;反之,就認(rèn)為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的.方差分析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法. 在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響,五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平.由于

3、同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同,我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體,在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布,即第i個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從分布N(i,2), i=1,2,3,4,5. 設(shè)在某試驗(yàn)中,因子A有r個(gè)不同水平A1,A2,.,Ar,在Ai水平下的試驗(yàn)結(jié)果Xi服從正態(tài)分布N(i,2),i=1,2,.,r,且X1,X2,.,Xr間相互獨(dú)立.現(xiàn)在水平Ai下做了ni次試驗(yàn),獲得了ni個(gè)試驗(yàn)結(jié)果Xij,j=1,2,.,ni這可以看成是取自Xi的一個(gè)容量為ni的樣本,i=1,2,.,r. 實(shí)際上,方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法. 在實(shí)際問

4、題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè).我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù),可以有單因子方差分析,雙因子分析,多因子分析等.例中是一個(gè)單因子方差分析問題. 由于XijN(i,2) ,故Xij與i的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤差ijN(0,2) .這樣一來,可以假定Xij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式:,.,2 , 1,111rinnnniiriiriii 為了今后方便起見,把參數(shù)的形式改變一下,并記 稱為一般平均,i為因子A的第i 個(gè)水平的效應(yīng). Xij= i+ ij,i=1,2,.,r;j=1,2,.,ni其中諸ijN(0,2),且相互獨(dú)立.要檢驗(yàn)的假設(shè)是 H0:1=2=r 在這樣的改變下,單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以

5、寫成:所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成:iijiijnjriX,.,2 , 1;,.,2 , 1,0.:210rH 為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量,下面我們分析一下什么是引起諸Xij 波動(dòng)的原因.riiin10 引起諸Xij 波動(dòng)的原因有兩個(gè):一個(gè)是假設(shè)H0為真時(shí),諸Xij的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的;另一個(gè)可能是假設(shè)H0不真而引起的.因而我們就想用一個(gè)量來刻劃諸Xij之間的波動(dòng),并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來,這就是方差分析中常用的平方和分解法.rinjijTiXXS112)(rinjijiXnX111其中令之間的波動(dòng)反映之間的偏差平方和來與樣本總平均通常用.ijijXXX1.2 平方和分解公式rin

6、jiiijrinjijTiiXXXXXXS112112).()(則其中交叉乘積項(xiàng)iinjiijriiirinjiijXXXXXXXX1111.)().(2).(.)(2iinjijiinjijiXnXXX111.,.令riiirinjiijXXnXXi12211).(.)(0.).( ).(21iiriiXtXXX).(.)(2).(.)(11112112XXXXXXXXirinjiijrinjirinjiijiii.).(.)(12211為一個(gè)平方和分解式則記AETriiiArinjiijESSSXXnSXXSi下面我們來看各式的意義.,111稱為總平均值是所有數(shù)據(jù)的平均值rinjijiXn

7、X.,1.1為組平均值稱均值個(gè)總體中抽得的樣本平是從第iXnXinjijii).(,)(112總離差平方和稱為總偏差平方和指標(biāo)度的一個(gè)是描述全部數(shù)據(jù)離散程的離差平方和值表示所有數(shù)據(jù)與總平均rinjijTiXXS).(,.)(211組內(nèi)離差平方和偏差平方和稱為誤差差反映了試驗(yàn)中的隨機(jī)誤的離差平方和均值表示每個(gè)數(shù)據(jù)與其組平rinjiijEiXXS).(,)(,).(12組間離差平方和稱為因子偏差平方和差異程度均值之間的的不同水平因子反映了各總體平方和值的離差表示組平均值與總平均AXXnSriiiA1.3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造.),(,0.:2210且相互獨(dú)立一切為真時(shí)當(dāng)NXHijn2112) 1()(

8、SnXXSrinjijTi) 1() 1(2222nSnST故.2是全體樣本的樣本方差其中S對(duì)于各組樣本有212.) 1()(iinjiijSnXXi組樣本的樣本方差是第組樣本的樣本容量是第其中iSinii2因此rinSniii, 2 , 1),1() 1(222.,22221相互獨(dú)立且各組樣本方差rSSS分布的可加性知及由21) 1(riinrn)() 1(21222rnSnSriiiE.,.,.,2 , 1),(.)(.,.,) 1 , 0(,.,:)(212212212121相互獨(dú)立且則且如果其自由度分別為線性組合的平方和的是某些隨機(jī)變量相互獨(dú)立的個(gè)為設(shè)分解定理柯赫倫kjjkkjnjnQ

9、QQkjfQnfffnQQQfXXXQNnXXXCochran.,)/() 1/(,0.:,0210不真可以認(rèn)為假設(shè)值過大時(shí)當(dāng)也不應(yīng)太大從而的值不應(yīng)太大為真時(shí)故當(dāng)假設(shè)異程度均值之間的差反映的是因子不同水平由于HFrnSrSFSHSEAArA.) 1(,)() 1(122222相互獨(dú)立與且故有條件全部滿足可知柯赫倫分解定理的及由于EAAEATSSrSrnrnSSS), 1()/() 1/(,0.:,210rnrFrnSrSFHEAn為真時(shí)當(dāng)由此可知.,.,), 1(,001下無顯著差異間在顯著性水平認(rèn)為因子各水平否則接受下有顯著差異著性水平認(rèn)為因子各水平間在顯拒絕假設(shè)時(shí)當(dāng)對(duì)給定的顯著性水平按照顯

10、著性檢驗(yàn)程序HHrnrFF 一般,當(dāng)FF0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”; 當(dāng)FF0.05時(shí),稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異.1.4 檢驗(yàn)過程.,)/() 1/(1111,11.1.12.12.212.112.21122rinjijnjijiriiEAEATEAriiiriiiArrinjijrinjijTiiiiiXTXXnnrnSrSFrnfSSSrfTnnXXnnXSnfTnXXnXSni為試驗(yàn)的總次數(shù)其中可用下式則在具體計(jì)算時(shí)次個(gè)水平下試驗(yàn)了第設(shè)在行的試驗(yàn)次數(shù)不等若因子的每一水平所進(jìn)等重復(fù)試驗(yàn)計(jì)算表各水平

11、的試驗(yàn)號(hào)水平12t和 xi.和平方 x2i.1x11x12x1t2x21x22x2trxr1xr2xrt 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: 品種田塊A1A2A3A4A51256244250288206222230027728021232802902303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異.計(jì)算表各水平的田塊品種1234和和平方A1256 222 280 29810561115136A2244 300 290 27511091229881A32

12、50 277 230 32210791164241A4288 280 315 25911421304164A5206 212 220 212850722500 解解:先列表計(jì)算412.2514155359228 .1370784)(201iiijijxx5141251411395472523620, 4, 5ijijijijxxntr這里2 .246878 .13707841395472TS7 .131958 .1370784553592241AS5 .114917 .131952 .24687ATESSS89. 4)15, 4(06. 3)15, 4(36. 2)15, 4(99. 095.

13、 090. 0FFF查表知方差分析表方差來源 平方和 自由度 均方和F 值顯著性因子影響13195.743298.925隨機(jī)誤差11491.515766.1總和24687.2194.31*.89. 4)15, 4(31. 4)15, 4(06. 399. 095. 0有顯著差異所以不同品種的畝產(chǎn)量因此FFF不等重復(fù)試驗(yàn)計(jì)算表各水平的試驗(yàn)號(hào)水平12ti和 xi.和平方 x2i.1x11x12x1ti2x21x22x2tirxr1xr2xrti例例: 下面給出了隨機(jī)選取的下面給出了隨機(jī)選取的, 用于計(jì)算器的四種用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間類型的電路的響應(yīng)時(shí)間(以毫秒計(jì)以毫秒計(jì)).表表: 電

14、路的響應(yīng)時(shí)間電路的響應(yīng)時(shí)間類型類型I類型類型II類型類型III類型類型IV19 1522201820 4021332716 17151826182219這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間. 電路類型為因素電路類型為因素. 這一因素有四個(gè)水平這一因素有四個(gè)水平, 試驗(yàn)的目的是要考察各類型電試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響.設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài)設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài), 且各總體方差相同且各總體方差相同, 但參數(shù)均未知但參數(shù)均未知. 又設(shè)各樣本又設(shè)各樣本相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 解解 分別以分別以 1, 2, 3,

15、4記類型記類型I,II,III,IV四種電路響應(yīng)四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值時(shí)間總體的平均值. 我們需檢驗(yàn)我們需檢驗(yàn)( =0.05)H0: 1= 2= 3= 4,H1: 1, 2, 3, 4不全相等不全相等.現(xiàn)在現(xiàn)在n=18, s=4, n1=n2=n3=5, n4=3,試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345和和和平方和平方類型類型I1915222018948836類型類型II204021332714119881類型類型III1617151826928464類型類型IV182219593481ST,SA,SE的自由度依次為的自由度依次為17,3,1444.71418386899218224112TxSinji

16、jTi98.31818386359)9214194(5118222222412TnXSiiiA46.395ATESSS表表:方差分析表方差分析表方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度均方均方F值值顯著性顯著性因素因素318.983106.333.76*誤差誤差395.461428.25總和總和714.4417因因F0.05(3, 14)=3.343.76 F0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”; 當(dāng)FF0.05時(shí),稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異. 例例:為了考察蒸餾水的pH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與

17、球蛋白的影響,對(duì)蒸餾水的pH值(A)取了4個(gè)不同水平,對(duì)硫酸銅溶液濃度(B)取了3個(gè)不同水平,在不同水平組合(Ai,Bj)下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比,其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角.試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無顯著差異.解解計(jì)算表B AA1A2A3A4和平方和B13.52.62.01.49.590.25B22.32.01.50.86.643.56B32.01.91.20.35.429.16和7.86.54.72.521.5162.97平方和60.84 30.25 22.09 6.25 131.4326. 022. 252.3897.1624129. 552.3843.1313177. 752.382

18、9.4652.38)(121,29.4612, 3, 42413141312BATEBATijijijijSSSSSSSxxrsnsr這里查F-分布表得:F0.05(3,6)= 4.76, F0.05(2,6)= 5.14 , F0.01(3,6)=9.78, F0.01(2,6)=10.9,由此可知FA F0.01(3,6); FB F0.01(2,6).所以因子A及因子B的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響.),(),(,.,.,22121分布獨(dú)立地服從水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果在個(gè)不同水平取因子平個(gè)不同水取因子有二個(gè)因子在變動(dòng)設(shè)在某試驗(yàn)中ijjisrNBABBBsBAAArAsjrrisrsjj

19、riijjiisjijirisjij,.,2 , 11;,.,2 , 111,.1.1.11并令把參數(shù)改變一下為了研究方便3 有交互作用的雙因子方差分析3.1 模型sjijriijjiijijjiijrisjjBiA11,.,2 , 1, 0,.,2 , 1, 0,它們滿足關(guān)系式效應(yīng)個(gè)水平的交互的第個(gè)水平與因子的第為因子則稱若sjjriijijBiA1100,它們滿足關(guān)系式個(gè)水平的效應(yīng)的第為因子個(gè)水平的效應(yīng)的第為因子為一般平均稱tksjriNXXttBAijksjijriijrisjjiijkijjiijkijkji,.,2 , 1;,.,2 , 1;,.,2 , 1), 0(, 0, 0,

20、0, 0:,)2(),(,21111且相互獨(dú)立為析模型則有交互作用的方差分如表所示結(jié)果為并記次試驗(yàn)水平組合下至少要做在那么結(jié)果是否有顯著影響為了研究有交互效應(yīng)對(duì)有交互作用方差分析試驗(yàn)表B 因子B1B2BsA1X111, X11tX121, X12tX1s1, X1stA2X211, X21tX221, X22tX2s1, X2stA因子ArXr11, Xr1tXr21, Xr2tXrs1, Xrst, 0:0.:0.:0321022101jiHHHijsr設(shè)為對(duì)此模型要做的檢驗(yàn)假3 .2 平方和分解 risjtkijkXnX1111其中n=rst 仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先

21、引入下述記號(hào)：sjXrtXXXriXstXXXsjriXXXXijrjtkijkjiisjtkijkiijtijtkijki,.,2 , 1.,1. .,. .,.,2 , 1.,1.,.,.,2 , 1;,.,2 , 1.,.,.111111. . .jjjijiijijjiijXXXsX由此可知總的偏差平方和可作如下的分解:BABAErisjiiijsjjriirisjtkijijkrisjtkijkTSSSSXXXXtXXrtXXstXXXXS111212121 1121 112). .(). .().(.)()(其中各偏差平方和表達(dá)式如下:risjtkijijkEXXS1112.)(r

22、iiAXXstS12).(sjjBXXrtS12). .(risjjiijBAXXXXtS112). .(3.3 各偏差平方和的意義 SE表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差,稱為誤差平方和; SA除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子A的效應(yīng)間的差異,稱為因子A的偏差平方和; SB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子B的效應(yīng)間的差異,稱為因子B的偏差平方和; SAB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng),稱為交互作用的偏差平方和.)1(, 1() 1(/) 1/(,01trsrFtrsSrSFHEAA為真時(shí)當(dāng) 同無交互作用的情況類似可得:

23、3.4 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn))1(),1)(1() 1(/) 1)(1/(,03trssrFtrsSsrSFHEBABA為真時(shí)當(dāng))1(, 1() 1(/) 1/(,02trssFtrsSsSFHEBB為真時(shí)當(dāng) 這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)H01,H02,H03,的統(tǒng)計(jì)量.按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序,對(duì)給定的顯著性水平, 當(dāng)FAF1-(r-1,rs(t-1)時(shí)拒絕H01; 當(dāng)FBF1-(s-1,rs(t-1)時(shí)拒絕H02; 當(dāng) FABF1-(r-1)(s-1),rs(t-1)時(shí)拒絕H03. 具體的計(jì)算過程,各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡(jiǎn)化的表達(dá)式,且可列成一張計(jì)算表和方差分析表.) 1() 1)(1(111

24、111,1122.212.212.11122trsfSSSSSsrfSSXnXtSsfXnXrtSrfXnXstSrstfXnXSEBABATEriBAsjBAijBABrijBAriiATrisjtkijkT可用下式在具體計(jì)算時(shí)有交互作用方差分析計(jì)算表B 因子A 的B1B2Bsxi.x2i.A1x11.x12.x1s.A2x21.x22.x2s.A因子Arxr1.xr2.xrs.x.j.總和B的x2.j.有交互作用方差分析表來源平方和自由度均方和F 值顯著性因子 ASAr-1SA /(r-1)FA因子 BSBs-1SB /(s-1)FBABS AB(r-1)(s-1)S AB/(r-1)(s-1)F AB誤差SErs(t-1)SE / rs(t-1)總和STrst-1 一般,當(dāng)FF0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)FF0.05時(shí), 稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水